一元二次不等式和基本不等式中的恒成立及有解问题（4大压轴考法）原卷版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题08一元二次不等式和基本不等式中的恒成立

及有解问题

注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题............................2

题型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题...............................3

题型三、一元二次不等式在区间上的有解问题.................................3

题型四、基本不等式中的恒成立问题...........................................4

压轴能力测评（16题）...............................................5

“解题知识必备“

一、一元二次不等式在实数集上的恒成立

、（

1、不等式>0对任意实数x恒成立川[a=b=0或4a>0

c>0[A<0

tz<0

2、不等式af,+Zzx+ccO对任意实数x恒成立川a=b=0或4

c<0[A<0

注：对于二次不等式恒成立问题，

恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在X轴上方；

恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在无轴下方.

二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法

方法一：若y〉0在集合A中恒成立，即集合A是不等式y〉0的解集的子集,

可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；

方法二：转化为函数范围问题，即已知函数y的范围为[加,〃],

贝Iy2a恒成立nymin>a,BPm>a-,y<a恒成立今ymax<a,即〃<a.

三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；

一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.

即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

1、对任意的。〉y恒成立=a〉笫皿；

若存在。〉y有解今a〉Vmin；

若对任意。〉y无解今aV丁代.

2、对任意的。<y恒成立n。<；

若存在Xe[〃Z,〃],。<丁有解今。<Vmax；

若对任意a<y无解今a2Vmax•

X压轴题型讲练♦♦

【题型一一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课后作业）若关于尤的不等式尔+依+2>0的解集是R,则实数。的取值范围是（）

A.{40<a<8}B.|tz|0<^<81

C.{4〃<（）或a>8}D.{《aKO或a>8}

2.（23-24高一下.江苏镇江.期中）若命题FXER,f+以+看<o”是假命题，则实数，的最小值为（）.

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高一下.湖南•期中）设命题p：VxeR,x2+4x+2m>0（其中加为常数），贝『'命题p为真命题”

是“根的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.（23-24高一下.上海闵行•阶段练习）已知函数〃x）=/+2a.3对任意实数x都有〃力<0成立，则实数

a的取值范围是.

5.（24-25高一上•上海•期中）关于龙的一元二次不等式尤2+〃a+4<。的解集为空集，则实数机的取值范围

为.

【题型二一元二次不等式在区间上的恒成立问题】

一、单选题

1.（23-24高一上.全国•期末）“Vxe[-2,3],f一。与。为真命题”是“°41”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高一下・贵州贵阳•期中）对任意的xe（O,y）,尤2＜皿+1＞0恒成立，则加的取值范围为（）

A.[1,+＜»）B.（-1,1）C.（-8,1]D.（fl）

3.（23-24高一上.贵州铜仁・期末）当xe（-l,l）时，不等式2日?一打一＜。恒成立，贝心的取值范围是（）

8

A.（—3,0）B.[—3,0）C.1-3,：D.^-3,—

二、填空题

4.（24-25高一上•上海•课后作业）已知-尤2+4x+aN0在xe[0,l]上恒成立，则实数。的取值范围是.

三、解答题

5.（23-24高一・全国•课堂例题）不等式〃x）=m：2+bx+c＜O（a＞。）在尤＜〃｝上恒成立，你能写出成

立的等价条件吗？

6.（22-23高一上•陕西咸阳•阶段练习）（1）若对于一切实数x,不等式西2一3蛆一2＜0恒成立，求加的取

值范围；

（2）当14x42时，不等式％2+7加+4＜0恒成立，求加的取值范围.

7.（23-24高一上•湖北恩施・期末）已知函数=-（力2-1卜+〃?一1.

⑴当机＜0时，解关于x的不等式/（力23尤+m-2；

⑵若不等式对一切xe[0,2]恒成立，求实数机的取值范围.

8.（22-23高二上•陕西咸阳•阶段练习）已知函数/（Hn/d+Z办一片+1.

（1）当a=2时，求〃力＜0的解集；

⑵是否存在实数无，使得不等式02炉+2改一4+1却对满足。4_2,2]的所有。恒成立？若存在，求出x的

值；若不存在，请说明理由.

【题型三一元二次不等式在区间上的有解问题】

一、单选题

1.（23-24高一上•安徽马鞍山•阶段练习）命题：“女武0,4]使得不等式*2一2%-3+°20成立”是真命题，则

实数”的取值范围是（）

A.{a|aWT}B.{o|a>4）C.{a|a>-5}D.{a\a>i\

二、填空题

2.（23-24高一上•江苏盐城・期末）关于x的不等式依2一2X+1W0在（0,2]上有解，则实数”的取值范围

是•

3.（23-24高一上•山东烟台•期中）已知命题he（O,+8）,力^-4x+2<0为真命题，则实数彳的取值范围

为.

三、解答题

4.（23-24高一上•江苏徐州•阶段练习）已知函数y=ox2-（2a+3）x+6（aeR）.

⑴若>>。的解集是{Nx<2或%>3},求实数。的值；

⑵当a=l时，若-24xV2时函数yW—（7"+5）X+3+〃Z有解，求机?+3的取值范围.

5.（23-24高一上•福建•期中）已知函数/（力=加-（2。+3）兀+6（℃11）

⑴若〃力>0的解集是{x|x<2或x>3},求实数。的值;

⑵当a=l时，若-24xW2时函数/（04一（%+5）%+3+2%有解，求机的取值范围.

6.（23-24高一上•山东济南•阶段练习）已知函数/（》）=/-依+b.

⑴若不等式”x）>0的解集为（F,1）（3,内），求实数a,6的值；

⑵当〃-1）=0时，

（i）解关于x的不等式/（力>0；

（i）若存在xe[l,2],使得〃x）W0,求实数。的取值范围.

【题型四基本不等式中的恒成立问题】

一、单选题

1.（23-24高一上・江西•阶段练习）已知x>0,y>0,且x+y+孙=8,若不等式x+y2疗-3利恒成立,

则实数机的取值范围是（）

A.4<m<lB.p77|-l<m<4^

C.{m\m<-4^m>l]D.{加|根W-1或加24}

2.⑵-24高一下•贵州遵义・阶段练习）“a=9”是'不等式28（。>0）对于任意正实数无，>恒

成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高一上•江苏盐城•期中）设x>y>z,〃eN,且」一+」一之」一恒成立，贝!J”的最大值为（）

x—yy—zx-z

A.2B.4C.6D.8

2

4.（23-24高一上•四川眉山•阶段练习）设正实数x,V满足了>1，y>2,不等式

27尤3+,3-18》2-2,22机。-2）（3尤-2）恒成立，则实数机的最大值为（）

A.20B.4&C.8D.16

二、解答题

,*4

5.（23-24局一上•江苏南京•阶段练习）已知命题p：使得〃?2尤+；成立；命题q：正数a,b满

x-1

12

足2a+6=1,不等式机V—+—恒成立.

ab

⑴若命题〃真命题，求实数机的取值范围；

（2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.

21

6.（23-24高一上•广东佛山•阶段练习）已知x,y都是正数，且一+—=1.

^y

（1）分别求％,y的取值范围；

（2）求2x+y的最小值及此时％,y的取值；

（3）不等式（2%+»2机（x+2y）恒成立，求实数m的取值范围.

♦♦压轴能力测评2

一、单选题

1.（23-24高二下•广西玉林・期末）已知命题。：Vxe[1,2],尤?+依一2>0,则P的一个必要不充分条件是（）

A.a<—\B.a>0C.a>\D.a>2

2.（23-24高一上.江苏南京.阶段练习）若；,2,使得3年-2%+1V0成立是假命题，则实数九可能

取值是（）

A.2后B.2退C.4D.5

3.（23-24高二上.浙江•期中）若关于尤的不等式Y-（m+l）x+9V。在[1,4]上有解，则实数机的最小值为（）

A.9B.5C.6D.—

4

4.（23-24高一上广东深圳•阶段练习）不等式1。町W6+2y2对任意的”九0及2<yW3恒成立，则实数

。的范围是（）

A.>81B.{44212}C.\aD.j«p

二、填空题

5.（23-24高一上•天津•期中）已知关于x的不等式2日2十玄—?<o对一切实数元都成立，则满足条件的实数

O

k的取值范围为.

6.（23-24高一上•北京丰台•期末）能说明“关于x的不等式V一依+2。>。在R上恒成立，，为假命题的实数。的

一个取值为.

7.（2025高三・全国・专题练习）已知x2+x+5Wor2+2（2x+cW2x2+5x+9对任意xeR恒成立，贝U

a+c=.

8.（23-24高二下.江苏南京.期末）“VxeR,,2-4）尤?+（4+2）尤+G0”为真命题，请写出一个满足条件的

实数a的值______.

9.（23-24高一下•江苏镇江•开学考试）设0<根<：,若一+1丁之左恒成立，则左的取值范围为________.

2m1-2m

91m

10.（23-24高一上.江西南昌•阶段练习）已知。>6>。且--+--2——恒成立，实数机的最大值

a—bb—ca—c

是.

三、解答题

4—x

11.（23-24高一上.山东济宁・期中）已知关于x的不等式一->1,其解集为A.

x+2

（1）求该不等式的解集A；

（2）对VxeA,不等