一般一元二次方程的解法及韦达定理（知识讲解+综合训练）（解析版）

章节复习知识精讲与综合训练

专题05一般一元二次方程的解法及韦达定理

4配方法|

4求根公式

知识精讲

知识点01一般一元二次方程的解法

1、将一元二次方程配成(X+加)2="的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

配方法的步骤

①先把二次项系数化为1:即方程左右两边同时除以二次项系数；

②移项：把常数项移到方程右边；

③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(X+")2=〃的形

式；

④当〃W0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.

_Z7±J/??_4QC

2、把％=...-..........(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求

2a

根公式.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法。

求根公式法的一般步骤

①把一元二次方程化成一般形式办2+/?%+C=0(。，0)；

②确定Q、b、c的值；

③求出加-4〃。的值(或代数式)；

若尸一4死20,贝U把°、b、c及廿一4℃的值代入求根公式x=*如必竺，求

2a

出M、x2；若Z?2-4QC<0,则方程无解.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①aWO；②62-4*20.

【典例分析】

【例1】填空：

(1)X2--X+=(x-)2；

2-----------

(2)X2-+-=(%-)2；

-------25-----

(3)x2-—x+=(%-)2；

a

(4)4x2-+4=(2X_)2.

a

r型安11121b2b4bb

164554(r2aaa

【解析】通过公式/±2。6+/=(。±6)2进行解答.

【总结】本题考查通过公式a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方.

【例2】如果/+办+4是一个完全平方式，那么。的值可以是()

A.2B.-2C.2或-2D.都不对

【答案】D

【解析】通过公式。2±2.6+〃=(.±6)2进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平

方两种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍.

【总结】本题考查通过公式1±2“6+62=("±方『进行配方，要考虑两种情形.

【例3】己知0,6,c是有理数，试证明关于x的方程：

x2-2ax+a2-b2-c2+2bc=0的根也是有理数.

【答案】略.

【解析】由f-Zax+a。+26c=0,可得：(x-af--c)2=0,

所以X]=a+b-c,x2=a-b+c,由于a,b，c是有理数，

所以a+6—c、a-b+c也是有理数，所以即证.

【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用.

【例4】已知关于x的方程：x2-4(m-l)x+3m2-2m+4k=0,当加取任意有理数

时，方程的根都是有理数，求才的值或者是左的取值范围.

【答案】k=--.

4

2

【解析】解：a=l,b=-4(m-1),c=3m-2m+4kf

得△=b?-4ac=16（m-l）*2-4（^3m2一2加+4左）=4m2-24加+16-16左,

・・・当加取任意有理数时，方程的根都是有理数，.•.〃一4这是完全平方式，

.­.16-16^=36,k=--.

4

【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解.

知识点02韦达定理

韦达定理如果再，马是一元二次方程办2-6x+c=0(aw0)的两个根，由解方程中

的公式法得，%==+"j。,迎=一人而-4女

2a2a

那么可推得西+X,=-2,=£这是一元二次方程根与系数的关系.

aa

【典例分析】

【例5】若方程/-(加+l)x+加=0有解，利用适当的方法解这两个根，分别是

;若这两个根互为相反数则加的值是

;若两个根互为倒数，则加的值是.

【答案】x[=m,x2=1；—1；1.

【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相

应m

的值.

【总结】本题考查一元二次方程的解法.

【例6】如果再，%是方程212+3工一6=0的两个根，那么石+%2=；

玉•%2=_______________■

【答案】-3；-3.

2

【解析】由韦达定理，可得：x1+x2=――9xxx2=—3.

【总结】本题考查韦达定理西+迎=-2,再/=£的应用.

aa

综合训练

一、单选题

1.已知mb是方程Y+x—3=0的两个实数根，贝|〃2一6+2022的值是()

A.2026B.2024C.2022D.2020

2.方程%2-9=0的解是()

A.X]=x?-3B.Xj—%2=-3C.X]=3,X]——3D.石=0,%2=9

3.用配方法解一元二次方程2——2x-1=0,下列配方正确的是

_3

-4

4.定义新运算"※J对于实数加、n、p、q,有阿㈤※国/]=加〃+pq,其中等式右边

是通常的加法和乘法运算，例如：[2,刃※[4,5]=2x5+3x4=22.若关于x的方程

※设-2左用=0有两个实数根，则左的取值范围是()

A.k<—B.k>—C.kM—且上40D.k<—且上N0

4444

5.关于X的一元二次方程x?+p无+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方

程/+处+P=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是()

A.〃是正数，q是负数B.5-2)2+(g-2)2V8

C.4是正数，p是负数D.(p-2)2+(q-2)2>8

6.用配方法解方程2x2-x-l=0时.变形结果正确的是()

7.下列因式分解中，正确的是(

A.x2-2=(x+2)(x-2)B.x2-4x+4=(x-2)

C.x2+x=x(x+1)D.t2+t-16=(什4)(?-4)+t

8.用配方法解方程d+2尤-1=0时,配方结果正确的是()

A.(x+2)2=2B.(x+1)2=2C.(x+2>=3D.(x+1)2=3

9.已知。、6是一元二次方程V+5x+3=0的两个根，则“小|+6不|的值是（）

A.-2A/3B.-372C.3V2D.2A/3

10.用一根长为20厘米的绳子，围成一个面积为》平方厘米的长方形，则了的值不可

能是（）

A.30B.20C.16D.10

二、填空题

11.在等腰“3C中，BC=4,AB、/C的长是关于x的方程X2_10X+"?=0的两根,

则m的值是.

12.在实数范围内分解因式：3X2-X-1=.

13.已知2，=a,3x=t,贝!124*=.（用含a,/的代数式表示）

14.已知a、/是方程/-x-l=0的两个实数根，则代数式储+a（"-2）的值为.

15.已知。、〃是方程尤2+xT=0的两个实数根，则代数式M+a?4+〃2+q2的值为

16.若二次三项式一+反+c在实数范围内可分解因式为（》-二8）（X+。8）,则该二次

44

三项式对应一元二次方程b,c的值分别为.

17.若关于元的一元二次方程-犷+左=0的解是再=-2,x2=l,则关于x的一元

二次方程a（x-h+3）2+k=0的解是.

18.设不、xZ是方程2/+5x-7=0的两个根，则的值为.

19.若关于x的一元二次方程办2>0）的两个根分别是羽-1和2〃?+4,贝1]2=

a

20.我们知道一元二次方程Y-2X-3=0的两个根为西=3,x2=-l,那么在关于加

的方程〃/一2加2一3=0中，实数机的值是—.

三、解答题

21.（1）解方程：2（x—l）2=3（1-x）；

（2）用配方法解方程：3X2+6X-2=0.

22.求下列各式中的x

・0=母66-父8一尸(17)

C9£

-=---------------(£)

xxC—乙箕

.x£-6=(£-x)@(Z)

0=产1(1一久£)(T),£3

I8-=t(Z+^)£(E)

0=6叽([t)亿)

0=91-产-⑴

参考答案：

1.A

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出。2+即3,4+氏-1,将其代入即可

求出结论.

【详解】解：mb是方程N+x—3=0的两个实数根，

••・。2+。=3,a+b=-l,

a2-8+2022

=/—（—〃—1）+2022

=a?+〃+1+2022

=3+1+2022

=2026

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运

用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键.

2.C

【分析】直接开平方法求方程的根，对照选择即可.

【详解】解：因为/-9二0，

解得西=3,%=-3,

故选C.

【点睛】本题考查了直接开平方法求方程的根，解题的关键是熟练掌握解方程的方式.

3.C

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断.

【详解】解：方程2/_2X；=0,

整理得：x2-x=j-,

配方得：x2-x+1==,即（X-；）2=，

故选：C.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

4.C

【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别

式两个方面入手，即可解决.

【详解】解：;[N+1,幻※[5-2左，月=0,

+1）+（5—2左）x=0.

整理得，丘2+(5-2k)x+后=0.

•••方程有两个实数根，

判别式ANO且片与0.

由A^O得，(5-2人)2-4左220,

解得，左V,

•■k的取值范围是左4;且上N0.

4

故选：C

【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运

算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关

系是解题的关键.此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度

重视.

5.D

【分析】设方程x2+px+q=0的两根为X/、物方程/+qy+p=O的两根为力、y2.根据方程

解的情况，结合根与系数的关系可得出x/・X2=q>0,乃•"=P>0，即可判断A与C；②由

方程有两个实数根结合根的判别式得出加-4.0,q2-4p>0,利用不等式的性质以及完全平

方公式得出(p-2)2+(q-2)2>8,即可判断B与D.

【详解】解：设方程N+0x+q=O的两根为X/、%方程/+处+0=0的两根为刃、y2-

・.・关于x的一元二次方程/+»+4=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程jAqy+p

=0也有两个同号非零整数根，

；.Xi,X2=q>0,"叩2=。>°，

故选项A与C说法均错误，不符合题意；

・•・关于x的一元二次方程x2+*+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程/+0+0

=0也有两个同号非零整数根，

■•p2-4农0,q2-4p>0,

(p-2)2+(q-2)2=p2_4q+4+q2-4p+4>8(p、q不能同时为2,否则两个方程均无实

数根)，

故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题

的关键.

6.A

【分析】先给方程两边同除2,然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可.

【详解】解：2X2-X-1=0

x2--x--=0

22

22

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二

次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1;④等式两边

同时加上一次项系数一半的平方.

7.C

【分析】根据平方差公式完全平方公式，提公因式法因式分解因式计算即可求解，对于D

选项先解一元二次方程求得方程的根.

【详解】解：A.X2-2=(X+V2)(X-V2),故该选项不正确，不符合题意；

B.X2-4X+4=(X-2)2,故该选项不正确，不符合题意;

C.x2+x=x(x+l),故该选项正确，符合题意；

D.令r+"16=0,解得％二土画/广士恒，

故该选项不正确，不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了因式分解，解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键.

8.B

【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即

可.

【详解】解:vx2+2x-l=0,

x?+2x+1=2,

；.(x+l)2=2.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握.

9.A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到“+b=-5,ab=3,可知"0,b<0,将

化简为一2而，代入仍=3即可得出结论.

【详解】解：:。、6是一元二次方程Y+5x+3=0的两个根,

・,.。+6=—5,ab=3,

a<0,b<0,

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关

系得到。+6=-5,=3是解答本题的关键.

10.A

【分析】设围成矩形的长为无厘米，则围成矩形的宽为(10-x)厘米，利用矩形的面积计算

公式，即可得出V=x(10-x),利用完全平方公式可得出y=-(x-5『+25,利用平方的非

负性可求出》的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论.

【详解】解：设围成矩形的长为x厘米，

围成矩形的宽为：20^2-x=10-x,

：.y=x(10-x)

=-x2+10x

-10x+25)+25

=-(X-5)2+25,

v(x-5)2>0

二-(x-5)W0

••--(X-5)2+25<25,

•••当x=5时，了取得最大值，最大值为25,

••J的值不可能为30.

故选：A.

【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性.根据各数量之间的关系，找出

V关于尤的关系式是解题的关键.

11.24或25##25或24

【分析】等腰。BC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨

论.当8c是底边时，AB=AC,则方程无2一1(^+〃7=0有两个相等的实根，即A=0,即可

得到关于〃，的方程，求得加的值；当8c是腰时，则方程一定有一个解是》=4,根据一元二

次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边，与机的值.

【详解】解：在方程--10x+〃?=0中，X,+x=--=10,

2a

当这两边是等腰三角形的腰时，有石=%=5,

xxx2=25=m,

当有两个边的长都为4时，有4+%=10,

**•%2=6,

m=x]x2=4x6=24,

：.m=24或25.

故答案为：24或25.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识

点是解题的关键.

i2.

【分析】先解方程3--x-l=0,求得方程的两个根，即可求解.

【详解】解:3x2-x-1=0,

,,,a—3,6,=—l,c=—1,

A=6'—4ac=1+12=13,

【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键.

13.a3t##ta3

【分析】利用累的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果.

【详解】解：:2x=a,y=t,

•1•24x

=(23X3X

=23XX3X

=(2X)3X3"

—CIt•

故答案为：a3t.

【点睛】本题考查了幕的乘方与积的乘方，掌握幕的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关

键.

14.0

【分析】先确定1+〃=1,3=-1,再用夕+民小表示〃+&伊一2),后代入求值即可.

【详解】因为。、万是方程=0的两个实数根，

所以1+/7=1,口尸=—1,a2—a—1=09

所以M+a(夕一2)

=a2+a(3*(3-2a

=a2-a+印邛一a

P-a

=1-(77+ctr)

=1-1=0.

故答案为：0.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根

与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键.

15.4

【分析】先确定a+P=T,S=T,再用。+4,3表示。2+。2刀+羽2十分2,后代入求值即

可.

【详解】因为。、£是方程f+x—ln。的两个实数根，

所以1+/7=—\yaf3=-1；

所以02+a1B+a伊+(31

=cif2+afi(a+4)+42

=a2+J32+1

=(a+£)2_2a/?+l

=(-1)2-2X(-1)+1

=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根

与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键.

已经向邓老师汇报，等信息，请老师撤回吧!

16.一直1

216

【分析】利用平方差公式计算后，再利用平方差公式计算，再和二次三项式比较即可.

【详解】解：-三与(X+三与

故答案为：b=_g,c=~72-

216

【点睛】本题考查二次三项式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟练掌握平方差公式和

完全平方公式能灵活运用是解题关键.

17.再=-5,x?——2

【分析】令y=x+3,代入o(x-/?+3)2+k=0可求得y的值，从而求得x的值.

【详解】解：令片x+3,代入。(x-/)+3)2+k=0可得：

a(y-h)2+k=0,

由已知可得：力二-2或%二1，

VX=y-3,

•'•Xi=-5,X2=-2,

故答案为Xi=-5,X2=-2.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解

题关键.

53

18.—

4

【分析】由根与系数的关系可得%+%=-2=一：，%.％=£=-〈，再由

a2a2

x+x2

i2=(X1+X2)-2X1X2,代入计算即可.

■、*5b5c7

［详解】斛：x+x=—=--,x-x=-=,

12a2l2a2

2

X；+X；=（再+X2）-2项工2

53

故答案为：v-

4

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握占+%=——b，玉.马c=£是解

a°

题的关键.

19.4

【分析】利用直接开平方法得到x=±、归，得到方程的两个根互为相反数，所以

Va

机-1+2机+4=0,解得加=-1,则方程的两个根分别是-2与2,则有口=2,然后两边平

Va

方得到2=4.

a

［详解］由办2=6（°%＞0）得/=9,解得x=土出,可知两根互为相反数.

aVa

•••一元二次方程办2=6（仍＞0）的两个根分别是m-1和2m+4,

/.m-1+2m+4=0,解得加=一1,

二一元二次方程办2=6（仍＞0）的两个根分别是一2与2,

【点睛】本题考查直接开方法解一元二次方程方程，正数的平方根互为相反数等知识，掌握

正数的平方根互为相反数是解题的关键.

20.±73

【分析】将加4-2加2—3=0变形为（机2丫一2（加2）—3=0,可矢口机2是方程/一2》一3=0的一个

根，据此即可作答.

【详解】将〃/一2机2一3=0变形为（加2丫一2（加2）-3=0,

可知m2是方程X?-2x-3=0的一个根，

・•・x2-2x-3=0的根是3和-1,

又"m2>0

•*-m2=39

即加=+V3，

故答案为：.

【点睛】本题考查了运用一元二次方程的根解特定的高次方程的知识，理解方程的根的定义

是解答本题的关键.

21.（1）=――,x2=1；（2）x=—1+，x2=-1—^1-

21323

【分析】（1）把方程移项变形后，利用因式分解法解方程即可；

（2）直接利用配方法解方程即可.

【详解】解：⑴2（X-1）2=3（1-X）

解：移项，得2（x—l『+3（x—1）=0

因式分解得，（2x+l）（—1）=0,

・•・2x+1=0或x-1=0,

解得再=——，入2=1