直线与圆、圆与圆的位置关系（8题型分类）-2025年高考数学专项复习（原卷版）

专题41直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类

彩题如工总

彩和正宝库

1.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为心圆的半径为力

2.圆与圆的位置关系（。。1，。。2的半径分别为小厂2,1=|。1。2|）

图形量的关系

外离0d>n+心

外切d=']+丫?

相交6l〃一.I<dv〃+r2

内切d=l〃一r21

内含

3.直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距4、半径r和弦长|42|的一半构成直角三角形，弦长|4均=2、产了.

(2)代数法：设直线>=履+/"与圆/+,2+瓜+£伊+尸=0相交于点M,N,代入，消去》得关于x的一元

二次方程，则|W|=弥1+必々(X“+XN)2—4XMXM

【常用结论

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆/+9=，上一点P(xo，yo)的圆的切线方程为Xttx+yoy=，.

(2)过圆/+产=户外一点〃(尤0，州)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为苫然+加丫=户.

2.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.

(2)两个圆系方程

①过直线Ax+By+C=0与圆f+产+瓜+@+尸=0交点的圆系方程为d+V+Ox+Ey+F+MAx+By+C)

=0(/eR)；

②过圆Ci：r+V+Dix+Eiy+BuO和圆C2：/+丫2+。2尤+&>7+/;'2=0交点的圆系方程为x2+y2+£)ix+

?2

Eiy+7i+〃x+y2+D2x+E2y+尸2)=0(4W—1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).

彩得瓢祕籍(_)

判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系判断.

⑵代数法：联立方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

题型1：直线与圆位置关系的判断

1-L(2024•河北张家口•二模)己知点尸(1,%)为圆。:一+丁=2上的动点，则直线/：%x-%y=2与圆C的

位置关系为()

A.相交B.相离C.相切D.相切或相交

1-2.（2024•安徽蚌埠•三模）直线/：元+切+1-5=0与圆C:（x—iy+（y—2）2=9的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

1-3.（2024高三•黑龙江绥化•阶段练习）若直线即切=1与圆/+;/=1相交，则点尸（。⑼（）

A.在圆上B,在圆外C.在圆内D.以上都有可能

题型2：圆上的点到直线距离个数问题

2-1.（2024高二上•四川・期末）若圆G:（x+l『+（y-2>=产（厂>0）上恰有2个点至U直线/：4尤一3、-10=0的

距离为L则实数『的取值范围为（）

r22321「22"I

A.（3,5）B.（4,6）C.y,yD.—,6

2-2.（2024高三•全国•专题练习）已知圆O：X2+/=4上到直线/：x+y=a的距离等于1的点至少有2个,

则。的取值范围为（）

A.（-3五,3\/^）B.（-co,-+8）

C.2-72,2-\/2jD.卜℃,-2A/^）O（2A/^,+oo）

2-3.（2024•江苏南京•模拟预测）圆C：x2+（y-2）2=R2（R>o）上恰好存在2个点，它到直线>=石了-2的

距离为1,则R的一个取值可能为（）

A.1B.2C.3D.4

2-4.（2024高三上・贵州贵阳•期末）若圆C:x2+y2_]2x+10y+25=0上有四个不同的点到直线

/:3x+4y+c=0的距离为3,贝!|c的取值范围是（）

弦长问题

①利用垂径定理：半径「，圆心到直线的距离/，弦长/具有的关系/=/+g）2,这也是求弦长最常用的

方法.

②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.

③利用弦长公式：设直线/：丫=履+6,与圆的两交点(占，%)，(%，%),将直线方程代入圆的方程，消元后

222

利用根与系数关系得弦长：/=J1+片\xt-X21=^(l+fc)[(%j+x2)-4x,x2]=yl(l+k)-.

\A\

题型3:弦长问题

3-1.(2024•宁夏银川•三模)已知直线/：丘-y-2左+2=0被圆C：/+(y+l>=16所截得的弦长为整数，

则满足条件的直线/有条.

32(2024・广东深圳•二模)过点(1』)且被圆尤2+,2一心-分+4=0所截得的弦长为2近的直线的方程

为.

3-3.(2024•全国)已知直线/：x-my+l=0与C:(%-1)+丁=4交于A,2两点，写出满足“VABC面积为”

的m的一个值____.

3-4.(2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习)已知直线/：3尤-y-5=0与圆C：V+V-2x-6y+6=0交于A,

B两点，贝U|AB|=.

彩得甄秘籍(二)

1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y一为=网龙一项)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d

—r,进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y-yo^k(x-xo),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后

令判别式/=0进而求得左

注意验证斜率不存在的情况.

2.常见圆的切线方程

222

过圆x+y=/上一点P(.x0,%)的切线方程是x()x+=r；

过圆(x-a)2+(y-b)2=/上一点尸(不，％)的切线方程是(%-a)(尤-a)+(%-6)(y-b)=/.

题型4:切线问题

4-1.（2024•河南开封三模）已知点A（L0）,8（2,0）,经过8作圆（x7）?+（y-2『=5的切线与y轴交于点尸,

则tan/AP3=.

4-2.（2024•北京•模拟预测）经过点（1,0）且与圆Y+/一4.—2y+3=0相切的直线方程为.

43（2024高三上•贵州•开学考试）己知圆C:/+y2-2y=0,过直线/：无+y+1=0上任意一点尸，作圆的

两条切线，切点分别为A,8两点，则n邳的最小值为.

4-4.（2024高三上•湖北,开学考试）已知过点*3,3）作圆O:尤2+y=2的切线，则切线长为.

4-5.（2024高二下•上海杨浦•期中）由直线x+y+6=。上一点尸向圆C：（x-3y+（y+5）2=4引切线，则切线

长的最小值为.

22

4-6.（2024高三上■湖北■阶段练习）已知eQ+（y-2）2=1,eO2:（x-3）+（y-6）=9,过x轴上一点、P

分别作两圆的切线，切点分别是M,N,当1PMi+|PN|取到最小值时，点尸坐标为.

彩健题淞籍

（四）

涉及与圆的切线有关的线段长度范围（最值）问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上

的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

题型5:直线与圆位置关系中的最值（范围）问题

5-1.（2024高三上•北京昌平•期中）已知圆0:尤2+丁-以+41+4=0与直线/：6-〉-左-1=。相交于43两点，

则的最小值是.

5-2.（2024•江苏镇江•二模）已知：C:（x-iy+（y-l）2=3,点A为直线/：y=-l上的动点，过点A作直线与

C相切于点尸，若。（-2,0）,则|42|+|4。|的最小值为.

5-3.（2024高三下•安徽池州•阶段练习）已知M-.x2+y2-2x-2y+l=0,直线/：x+2y+2=0,尸为/上的

动点，过点尸作：M的切线PAP8,切点为A4当1PM"ABl最小时，直线的方程为.

54（2024高三上•河南洛阳•开学考试）已知圆”：（x-5）2+（y-5）2=16,点N在直线/：3x+4y-5=0上，

过点N作直线NP与圆M相切于点P,则AMVP的周长的最小值为.

5-5.（2024・湖北•模拟预测）已知点尸在圆。:一+9=1运动，若对任意点尸，在直线/:x+y-4=0上均存

在两点A,8,使得乙4尸BN]恒成立，则线段48长度的最小值是（）

A.V2-1B.72+1C.20-1D.4亚+2

卷为•瓢祕籍（五）

圆与圆的位置关系

（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代

数法.

（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去/,Y2项得到.

题型6:圆与圆的位置关系

6-1.（2024•河北唐山•二模）已知圆C|：x2+y2-2x=Q,圆C2：（x-3）2+（y-l）2=4,则与C2的位置关

系是（）

A.外切B.内切C.相交D.外离

62（2024•陕西榆林•模拟预测）已知圆C：（工+5）2+（丫-12）2=4和两点4（0/），B（0,-&）（&>0）,若圆C

上存在点P,使得/AP3=90。，则6的取值范围为（）

A.[11,15]B.[10,16]C.[8,12]D.[9,13]

6-3.（2024・陕西铜川•模拟预测）已知4（-2,0）,B（2,0）,若圆（x-a-l）?+（y-30+2了=4上存在点P满足

PA-PB=5，则。的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

6-4.（2024高二上,北京,阶段练习）圆G：/+y。—4x+2y+1=0.与圆C2:X2+/+4x-4y-1=0的位置关

系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

题型7:两圆的公共弦问题

7-1.（2024,全国•模拟预测）若圆G:尤2+丁-4x+2y=0与圆C］:/+V-8x+10y+16=。交于P,。两点，

则直线PQ的方程为.

7-2.（2024高三•全国•专题练习）已知圆C1：（x-4）2+（y-3）2=16与圆G：x2+y2-2x+2y-9=0,若两圆

相交于A,B两点，贝

7-3.（2024•天津和平•二模）圆x2+y2-4x+4y-12=0与圆丁+尸=4的公共弦所在的直线方程为.

题型8:两圆的公切线问题

8-1.（2024,湖南长沙•一模）已知圆G:（尤-2）2+（>-2）2=片«>0）,圆C2:（尤+1）。+（^+1）?=］（马>0）,圆q

与圆3相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则任为.

8-2.（2024・河南•模拟预测）圆M:Y+V+2x-8=0与x轴交于两点（A在2的左侧），点N满足仁萼=2,

INti\

直线/:y=丘+m（k>0）与圆〃和点N的轨迹同时相切，则直线I的斜率为.

8-3.（2024・湖北•模拟预测）已知圆G：（x+3%）2+（y+4%+2）2=1+左2与圆c2：（x+3k）2+y2=4k2有三条公切

线，贝U后二.

8-4.（2024•湖南岳阳三模）写出与圆«：Y+V=1和.：（x-3）2+V=1都相切的一条直线方程.

媒习与梭升

一、单选题

1.（2024•陕西宝鸡•二模）直线/：xcosa+ysina=l（a£R）与曲线C/+产=］的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

2.（2024•江西•模拟预测）设A（-2,0）,8（2,0）,0为坐标原点，点尸满足+|PB|2<16,若直线区-y+6=0

上存在点。使得/尸。0=9,则实数％的取值范围为（）

6

A.问B.卜双-40卜［46+8)

V5后

D.

3.（2024•北京）若直线2x+y—1=。是圆（兀-〃）2+y2=i的一条对称轴，则。=（）

11

A.-B.——C.1D.-1

22

4.（2024高二上•黑龙江鹤岗•期中）圆/+2%+/+4、—3=0上至!J直线x+y+l=。的距离为④的点共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2024高三・全国•专题练习）已知圆C：x2+y2+4Q/+4a2-4=。和圆。2：N+y2—2勿+62-1=。只有

则5+5的最小值为（

一条公切线，若〃，施R且次?工0,)

A.3B.8C.4D.9

6.（2024•甘肃兰州•模拟预测）在平面直角坐标系冗0y中，已知圆C：必+产―我=0及点A（—1,0）,5（1,2）,

在圆。上存在点P,使得|巩|2+|尸引2=12,则点尸的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2024•山西•模拟预测）已知圆G：》2+（丫_耳2=〃（4>0）的圆心到直线x_y_2=0的距离为2&,则

圆G与圆C?：彳2+〉2-2彳-4、+4=0的公切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

8.（2024高二上・安徽滁州・期末）圆C|：Y+y2-6x-10y-2=0与圆C2：Y/+4x+14y+4=0公切线的

条数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2024・江西上饶•一模）直线丘+y-l+4左=0（keR）与圆（x+l）2+（y+2）2=25的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

10.（2024•四川成都•一模）圆C：（无-1）2+"-1）2=1与直线/：：+_1=1的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

1L（2024高二上•广东珠海,期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理J对定点A、3和在直

线/上的动点尸，当/与△APB的外接圆相切时，最大.若40,2）,8（0,8）,尸是x轴正半轴上一动点，

当P对线段A3的视角最大时，AlPB的外接圆的方程为（）

A.(x-4)2+(y-4)2=25B.(x-4)2+(y-5)2=16

C.(x-5)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=25

12.（2024高二上•四川内江•期中）已知点尸在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点A（4,0）,B（0,2）,则错误的

是（）

A.点尸到直线的距离小于10B.点尸到直线的距离大于2

C.当NPBA最小时，|P@=30D.当最大时，|/叫=30

13.（2024•河南•模拟预测）已知圆C：（x-l）2+（y-2）2=5,圆C'是以圆/+产=1上任意一点为圆心，半

径为1的圆.圆C与圆C交于A,8两点，则当—ACB最大时，|CC[=（）

A.1B.72C.V3D.2

14.（2024•新疆乌鲁木齐三模）已知直线/：x+2y-4=0与x轴和y轴分别交于A,3两点，以点A为圆心，

2为半径的圆与x轴的交点为M（在点A右侧），点尸在圆上，当尸最大时，的面积为（）

361—48

A.B.8C.2+2\/10D.

15.（2024・四川成都•模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A,

8是NMQV的ON边上的两个定点，C是边上的一个动点，当C在何处时，-ACB最大？问题的答案

是：当且仅当VABC的外接圆与边相切于点C时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点。，E的坐

标分别是（0,m）,尸是x轴正半轴上的一动点.若/DEE的最大值为B，则实数机的值为（）

O

A.2B.3C.相=3或相=；D.2或4

16.（2024•全国）过点（0,-2）与圆％2+,2一4工_1=0相切的两条直线的夹角为。，则sina=（）

A.1B.巫C.叵D.诬

444

17.（2024•全国）已知。的半径为1,直线B4与>。相切于点A,直线P8与。交于8,C两点，D为

BC的中点，若|尸。=后，则P4PD的最大值为（）

A1+V2R1+2近

22

C.1+72D.2+应

18.（2024高二下•河北衡水•期末）若圆f+丫2=，（r>0）上仅有4个点到直线x-y-2=。的距离为1,则

实数厂的取值范围为（）

A.+1,+cojB.+ljC.（0,应-1）D.^0,^2+1）

19.（2024高三下•江苏南京•开学考试）过抛物线V=8x上一点尸作圆。:（*-2）2+丁=1的切线，切点为A、

B,则当四边形B4CB的面积最小时，直线的方程为（）

A.2%—1—0B.x—1=0C.2%—3=0D.4x—7=0

20.（湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题）己知圆C:（x-4>+（,+3）2=4和两点

A（-o,0）,B（a,0）（a>0）,若圆C上存在点P,使得NAP8=90。，则”的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

21.（2024•湖南株洲•一模）在平面直角坐标系中，已知两点0（0,0）,A（3,4）到直线/的距离分别是1与4,

则满足条件的直线/共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

22.（2024•安徽黄山二模）若圆。:/+（>-2）2=16关于直线“犬+分-12=。对称，动点尸在直线y+6=。上，

过点尸引圆C的两条切线尸河、PN,切点分别为M、N,则直线恒过定点Q,点。的坐标为（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（0,0）D.（0,12）

23.（2024•贵州毕节•一模）已知点尸在直线/：3x+4y-33=0上，过点尸作圆C:（x—l）?+丁=4的两条切线，

切点分别为A8,则圆心C到直线A3的距离的最大值为（）

.124

A.—B.-C.1D.一

333

24.（2024•山东泰安・模拟预测）已知直线/：m—y+m+l=0Ow0）与圆。：/+产―4%+2y+4=0,过直线

/上的任意一点尸向圆。引切线，设切点为A5,若线段长度的最小值为名，则实数加的值是（）

121277

A.——B.——C.-D.——

5555

22

25.（2024高三•北京•强基计划）如图，过椭圆乙+工=1上一点加作圆f+y2=2的两条切线，过切点的

94

直线与坐标轴于P,Q两点，。为坐标原点，则△尸。。面积的最小值为（）

X

123

A.万B.-C.-D.前三个答案都不对

26.（2024•黑龙江大庆•三模）已知直线/是圆C:（x-2y+（y_l）2=l的切线，并且点3（3,4）到直线/的距离是

2,这样的直线/有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

27.（2024・河南•模拟预测）已知直线/:尤85戊+殍111戊=1（04戊（2兀）与圆。：（尤-2）2+卜-逐）-=4相切，

则满足条件的直线/的条数为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

28.（2024高三上•江苏南京•阶段练习）已知圆C：。-3）2+/=4,点M在抛物线T：丁=4尤上运动，过

点M引直线44与圆C相切，切点分别为P,Q,则下列选项中户。|能取到的值有（）

A.2B.25/2C.2道D.275

三、填空题

29.（2024・天津南开•二模）若直线丘-y-2及+3=。与圆/+（＞+1）2=4相切，贝1］左=.

30.（2024高二上,江苏宿迁•阶段练习）已知M,N分别是圆G:Y+/-4》一4丁+7=0,圆C?:Y+/-2x=0

上动点，P是直线尤+＞+1=。上的动点，则|尸闾+|附|的最小值为.

31.（2024高三上•天津滨海新•阶段练习）己知圆”:f+必一2殴=0（。＞0）与直线元+y=0相交所得圆的弦长

是2拒，若过点4（3,6）作圆u的切线，则切线长为.

32.（2024,福建福州•模拟预测）写出经过抛物线V=8x的焦点且和圆炉+（k1）2=4相切的一条直线的方

程.

33.（2024高三上广东梅州,阶段练习）直线x+y-2=0分别与x轴，＞轴交于A,B两点，点P在圆

（x+2/+（y-l）2=；上，贝ILAB尸面积的取值范围是.

34.（2024高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）己知圆O:犬+丁=4与圆C:f+/T+6丫-3=o相交于A,B

两点，贝U|M|=.

35.（河北省石家庄部分重点高中2023届高三下学期3月月考数学试题）如图，正方形ABCD的边长为4,

E是边A3上的一动点，FGLEC交EC于点、P,且直线FG平分正方形ABCD的周长，当线段3尸的长度最

小时，点A到直线3P的距离为.

DC

Q

AEB

36.（2024•江西•模拟预测）已知圆C的方程为（x-3）2+（y-4）2=25,若直线/：3x+4尸5=0与圆C相交于4,8

两点，则VABC的面积为.

37.（2024•河北邯郸•二模）已知直线，：尤-y+5=。与圆。：/+/-2》一4〉一4=0交于4,8两点，若M是圆

上的一动点，则AM4B面积的最大值是.

38.（2024・广东广州•三模）写出经过点（L0）且被圆/+y2-2x-2y+l=0截得的弦长为④的一条直线的方

程.

39.（2024高三下•江西南昌•阶段练习）圆心在直线y=2x上，与x轴相切，且被直线无-y=。截得的弦长为

血的圆的方程为.

40.（2024•河南郑州•模拟预测）已知圆。/+/一6工+5=0,直线y=g（x+l）与圆C相交于跖N两点，则

\MN\=.

41.（2024高二下,新疆•期中）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,P8是圆Y+/-2x-2y+1=0的

两条切线，A,8是切点，C是圆心，那么四边形R4cB面积的最小值为.

42.（2024高三上•福建福州•期中）已知4（%,%）,巩工2，%）是圆。：/+/=1上两点，若4。8=微，贝!]

1Al+%—+的最大值为.

43.（2024高三上广东・阶段练习）已知实数心了满足：（尤+2）2+（）;-1）2=1,则|1-2x+y|的取值范围是.

44.（2024高二上•河北石家庄,期中）已知圆C：（x+iy+y=9与直线/：（l+32）^+（l+^）y-2-4/l=0（26R）

交与A,8两点，当|AB|最小值时，直线/的一般式方程是.

45.（2024高三下•安徽亳州•开学考试）若在圆C：炉+'2=/（厂＞0）上存在一点「，使得过点尸作圆M：

（X-2）2+/=1的切线长为血,则r的取值范围为.

46.（2024•江苏无锡•三模）已如尸（3,3）,“是抛物线F=4x上的动点（异于顶点），过河作圆

C:（尤-2y+y2=4的切线，切点为A,贝U|M4|+|四的最小值为.

47.（2024,四川成都•二模）若直线4:x+冲-2=0与4wy+2=0（，weR）相交于点尸，过点尸作圆

C:（x+2>+（y+2）2=l的切线，切点为则1PMi的最大值为.

48.（2024•江苏•二模）过点尸（3,-2）且与圆C：Y+丁一2了-4>+1=0相切的直线方程为

49.（2024高二上•上海浦东新•期中）已知。也c是平面内的三个单位向量，若则,+2c|+8+2b-2c|

的最小值是.

50.（2024,河北邯郸•一模）已知点A（0,0）,B（6,0）,符合点A,8到直线/的距离分别为1,3的直线方程

为（写出一条即可）.

51.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知圆。:/+9=产与直线3彳+分一10=0相切，函数

〃尤）=log.（2%-1）+四过定点P,过点尸作圆0的两条互相垂直的弦AC,BD,则四边形ABCZ）面积的最大

值为.

52.（2024高二下•广东广州,期末）写出与圆（x-4y+（y+3）2=16和圆Y+y2=i都相切的一条直线的方

程.

53.（2024,福建宁德•模拟预测）已知圆C：x2+y2+2x-2y=0,直线/的横纵截距相等且与圆C相切，则

直线/的方程为.

54.（2024高三下•上海徐汇•阶段练习）若丁=4,则++卜一1|的最小值为.

55.（2024高三・全国•专题练习）点（0,0）,（3,4）到直线/的距离分别为1和4,写出一个满足条件的直线/

的方程：.

56.（20