西藏林芝某中学2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（理科）解析版

西藏林芝第二高级中学2021-2022学年高二上学期期末

数学试卷（理科）解析版

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1.在等差数列｛即｝中，若“2=1,公差d=2,则46=

下列函数中，最小值是2&的是（

9

A.y=x+—B・尸Vx+r-

XVx

C.y=~+―-—D.y=/+_?_

X~43

3.“xVO”是“xER且xWO”的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

4.以b（0,1）为焦点的抛物线的标准方程是（）

A./=4yB.x^=2yC.y2=4xD.y2=2x

5.在△ABC中，〃=30,b=25,A=150°,则△ABC的解的个数为（）

A.一个解B.两个解C.无解D.无法确定

6.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，

“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦.设经过〃次

二分形成即卦，则〃3+。4+。5+。6=（）

A.120B.122C.124D.128

7.在△A3C中，ZA=30°,〃边的长度为1,则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.AC.2D.3

8.若变量％,y满足约束条件2x-y<l，则z=3x-y的最大值为（

K1

A.-7B.-1C.1D.2

9.命题“V无>2,/-3>0”的否定是()

A.3xo^2,刈2-3W0B.Vx>2,/-3W0

C.3xo>2,xo2-3W0D.VxW2,x2-3W0

10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,点尸是抛物线C上一动点，则线段FP的中点。的

轨迹方程是（）

A./=4（y-1）B.y2=4xC.y2—4（x-1）D./=4y

11.在△ABC中，若V^asiriB=c-bcosA,则B=（）

A.—B.—C.2L或2兀D.2L或3兀

633366

12.等比数列｛词中，ai—1,。5=4。3,S为｛<?〃｝的前n项和.若Sm—63,则m的值是（）

A.6B.7C.8D.不存在

二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知命题p：关于x的方程％2-依+。+3=0有实数根，命题0机-lWaW〃z+l,p是q

的必要非充分条件，则实数机的取值范围是.

14.若x>0,则^^的最大值是

2

X+4

15.在△ABC中，若a=l,b=M，A+C=2B,则△ABC的面积是.

16.在等比数列｛外｝中，已知。2=2,优=8,则a3a5+。8=.

三、解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（12分）设递增等差数列｛坳｝的前〃项和为S”,已知03=1,。4是03和。7的等比中项,

（I）求数列｛而｝的通项公式；

（II）求数列｛丽｝的前〃项和S.

18.（12分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2a.

（1）求卓区■的值；

sinA

（2）若b=4+l,c—b+2,求cosC的值.

19.（12分）设｛斯｝是公比不为1的等比数列，。5为。6,。7的等差中项，44=-8.

（I）求｛丽｝的通项公式;

（II）设氏=。2”-1-。2〃，求数列｛a｝的前〃项和7k

20.（12分）焦点在X轴上的椭圆的方程为/f=1，点P（点，1）在椭圆上.

4m

（1）求相的值.

(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

2222

21.(12分)已知双曲线C：2_-2_=1(a>0,6>0)与双曲线工_-2_=1有相同的

2,242

ab"乙

渐近线，且经过点-V2).

(I)求双曲线C的方程；

(II)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

22.(10分)已知抛物线C：/=2px(p>0)的准线与无轴交于点M(-1,0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点M的直线/与抛物线C相切，求直线/的方程.

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1.在等差数列｛。〃｝中，若〃2=1,公差d=2,则〃6=（）

A.9B.11C.3D.6

【分析】利用等差数列的通项公式直接求解.

【解答】解：在等差数列｛砺｝中，〃2=1,公差d=2,

ae—〃2+4d=1+8=9.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2.下列函数中，最小值是2&的是（）

o—o

A.y=x+—B.y=十:

xVx

C.y=x2+―-—D.y=/+_?_

x2+q4x3

【分析】选项A,当x<0时，y<0,可排除；

选项8,直接利用基本不等式，可判断；

选项C,配凑可得>=/+4+上―-4,再结合对勾函数的单调性，得解;

X2+4

选项。，当x<0时，y<0,可排除.

【解答】解：选项A,当x<0时，y=x+2<0,最小值不可能是2加,即A错误;

因为4>。，所以>=当且仅当4=2

选项3,4v4

即x=2时，等号成立，即8正确;

选项C,因为—+4三4,所以y=/+--—=/+4+----4^4+A-4—A,当且仅当

22

X+4X+442

x=0时，等号成立，即C错误；

选项。，当x<0时，>=尤3+±<0,最小值不可能是2、及，即。错误.

X

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式的应用，理解基本不等式“一正二定三相等”的使用条件

是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.“x<0”是“X6R且xWO”的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：当x<0时，满足X6R且xWO,即充分性成立，

当x>0口寸，满足xeR且尤WO,但x<0不成立，即必要性不成立，

则x<0"是“xCR且无WO”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是

解决本题的关键，是基础题.

4.以尸（0,1）为焦点的抛物线的标准方程是（）

A.7=4yB./=2yC.y2—4xD.y2—2x

【分析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛

物线的标准方程.

【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0,1）,

所以抛物线开口向上，且p=2,

则抛物线的标准方程/=4»

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题.

5.在△A8C中，a=30,b=25,A=150°,则△ABC的解的个数为（）

A.一个解B.两个解C.无解D.无法确定

【分析】由正弦定理求得sinB=_",由题意可得2为锐角，故满足条件的角B有唯一

12

个，故△ABC的解的个数为1.

【解答】解：在AABC中，a=30,b=25,A=150°,则由正弦定理可得

----3-0-7-=--2-5--，

sinl50sinB

解得sinB=

12

由于B为锐角，故满足条件的角2有唯一个，故△ABC的解的个数为1,

故选：A.

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，以及大边对大角，判断

三角形的解的个数方法，属于中档题.

6.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，

“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦.设经过w次

二分形成4"卦，则。3+。4+。5+。6=（）

A.120B.122C.124D.128

【分析】依题意可得｛即｝是首项为2,公比为2的等比数列，写出通项公式，然后求和.

【解答】解：依题意可得｛即｝是首项为2,公比为2的等比数列，

贝（J。3+〃4+〃5+〃6=8+16+32+64=120.

故选：A.

【点评】本题主要考查了归纳推理和等比数列的通项公式，属于基础题.

7.在△A3C中，ZA=30°,〃边的长度为1,则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.1C.2D.3

2

【分析】根据正弦定理可得可得，F—=2凡代入数据可得结果.

sinA

【解答】解：在△ABC中，/A=30°,。边的长度为1,

设三角形外接圆的半径为R，

由正弦定理可得，-A_=27?,

sinA

所以:"二？；?，解得R=l,

7

故选：A.

【点评】本题主要考查正弦定理，属于基础题.

8.若变量x,y满足约束条件，2x-y<b贝Uz=3x-y的最大值为（）

y<l

A.-7B.-1C.1D.2

【分析】由题意作出其平面区域，将z=3x-y化为y=3x-z,-z相当于直线y=3x-z

的纵截距，由几何意义可得.

x+y》-l

【解答】解：由题意作出约束条件，2x-y<l的平面区域,

将z=3x-y化为y=3x-z,-z相当于直线y=3尤-z的纵截距，贝岫［丫口解得,

［2x-y=l

x=l,y=l,A(1,1),

则z=3x-y的最大值为：3X1-1=2,

【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题.

9.命题“Vx>2,/-3>0”的否定是()

A.xo2-3^0B.Vx>2,7-3W0

C.3xo>2,xo2-3W0D.x2-3W0

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为xo2-3W0,

故选：C.

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

10.已知抛物线Cy=81的焦点为凡点尸是抛物线c上一动点，则线段仪的中点。的

轨迹方程是()

A./=4(y-1)B.y2=4xC.y2=4(x-1)D.x2=4y

【分析】利用中点的坐标公式，结合代入法进行求解即可.

【解答】解：设。(％,y),P(xi,yi),则y；=8x］，

又F(2,0),。为尸尸的中点,

2+X[

由中点坐标公式得＜“2Xj=2x-2

从而＜

y「2y

代入y；=8x「得(2y)2=8⑵-2),

即y2—4(x-1).

故选：C.

【点评】本题考查了动点的轨迹方程，属于基础题.

11.在△ABC中，若J^asinB=c-bcosA,则B=()

A.—B.—C.三或2兀D.匹或$兀

633366

【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得其退=tanB=逅，

C0SD3

结合范围Be(0,n),即可得解8的值.

【解答】解：根据正弦定理,可知a=2RsinA,6=2RsinB,c=2RsinC,

代入原式可得愿sinAsinB=sinC-sinBcos/，

又•.•A+8+C=TI,

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

贝IJ^sinAsinB=sinAcosE，

VsinA^O,

...sinB粤,

cosBo

:.Be(0,Tt),得R=2£

6

故选：A.

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计

算能力和转化思想，属于基础题.

12.等比数列｛丽｝中，＜21=1,05=4。3,Sn为｛。“｝的前n项和.右Sm=63,则机的值是()

A.6B.7C.8D.不存在

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q=±2,结合等比数列的前”项和公式,

分2种情况讨论，分析可得答案.

【解答】解：根据题意,等比数列解“｝中,ai=l,a5=4a3,

则/=效=4,则乡=±2,

a3

当q=2时，若S”=63,则有.I,,(2/1)=63,解可得机=6；

2-1

当q=-2时，若Sm=63,则有I'((二2)21)_=63,变形可得：(-2)"=-168,

(-2)-1

无解；

故机=6；

故选：A.

【点评】本题考查等比数列的前〃项和公式，注意”的取值范围，属于基础题.

二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。)

13.已知命题p：关于x的方程x?-or+a+3=0有实数根，命题q：机-1WaW〃z+l,p是q

的必要非充分条件，则实数机的取值范围是(-8,-3]57,+8).

【分析】先求出命题0对应的机的范围，然后根据充分，必要条件的定义以及集合的包

含关系建立不等式，由此即可求解.

【解答】解：命题p：由题意可得A=/-4(a+3)20,解得或aW-2,

因为p是q的必要不充分条件，

贝"机-1,m+1]^(-8,-2]U[6,+8),

所以只需机-126或机+1W-2,解得m，7或mW-3,

所以实数机的范围为(-8,-3]U[7,+8),

故答案为：(-8,-3]U[7,+8).

【点评】本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

14.若x>0,则的最大值是1

2

X+4-2

【分析】变形可得一缉2，再利用基本不等式，得解.

2x4

X+4

X

【解答】解：因为x>0,所以3-1,当且仅当x=4,即X

22X

X+4

=2时，等号成立,

所以的最大值为1.

2

X+42

故答案为：1.

2

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

15.在△ABC中，若a=l,6=我，A+C=2B,则△ABC的面积是返.

—2—

【分析】由已知先求出8,然后结合余弦定理可求c,再由三角形面积公式可求.

【解答】解：因为A+C=28且A+B+Cnit,

所以2=三，

3

由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB,

即3=l+c2-2C*COS-ZL,

3

整理得c?-c-2=0,

解得c=2或c=-1（舍），

所以△ABC的面积S=-^-acsinB=~~XIX2X^^~=

故答案为：返.

2

【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.

16.在等比数列｛〃〃｝中，已知〃2=2,06=8,则〃3。5+。8=32.

【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，求出/=2,即可求解.

【解答】解：设等比数列的公比为q,

q4=9=4，则『=2,

a2

2=32

所以。3。5+。8=a2a6+a6q=2X8+8X2-

故答案为：32.

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题.

三、解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（12分）设递增等差数列｛斯｝的前〃项和为S”已知43=1,。4是。3和47的等比中项，

（I）求数列｛而｝的通项公式；

（II）求数列｛丽｝的前n项和S”.

【分析】（I）设等差数列｛即｝的首项为公差为d（d>0）,由03=1,。4是。3和。7

的等比中项列方程组，然后求解等差数列的首项和公差，则通项公式可求；

（II）直接代入等差数列的前〃项和公式即可.

【解答】解：（I）设等差数列｛斯｝的首项为m,公差为d（1>0）,

由43=1得，ai+2d=1①，由44是〃3和〃7的等比中项得，

(%+3d)"(a[+2d)(%+6d)②，

整理②得，2a管+3d2=0，因为力＞0,所以2m+3d=0③，

联立①③得：〃i=-3,d=2.

所以an=a\+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5.

4n

(II)数列｛〃〃｝的前n项和Sn=na[十二'\1)~=-3n+2n=$~-

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了等差数列的

前〃项和，是基础题.

18.(12分)在△A3C中，内角A,B,。所对的边分别为处b,c,且〃cos8+bcosA=2〃.

(1)求s：nC的值;

sinA

(2)若c=b+2,求cosC的值.

【分析】(1)直接利用三角函数的关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果；

(2)利用(1)的结论和余弦定理的应用求出结果.

【解答】解：(1)在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且〃cos5+bcosA

=2〃，

利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosA=2sinA,

整理得：sin(A+B)=sinC=2sinA,

所以：sin1

sinA

(2)由于(1)得：c=2a,

且满足b=〃+l,c=Z?+2,

b=a+l(a=3

整理得：＜c=2a，解得,b=4，

c=a+3c=6

a2+b2-c29+16-3611

利用余弦定理：Q='

C0S2X3X4-24

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

19.(12分)设｛斯｝是公比不为1的等比数列，45为。6,。7的等差中项，04=-8.

(I)求｛斯｝的通项公式;

（II）设阮=。2”-1.1a23,求数列｛岳｝的前〃项和北.

【分析】（I）设等比数列｛斯｝的公比为q（qWl）,由等差数列的中项性质和等比数列的

通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；

（II）求得为，可得｛加｝是以3为首项，4为公比的等比数列，由等比数列的求和公式,

可得所求和.

【解答】解：（I）设等比数列｛斯｝的公比为4（q3l）,

因为。5为。6,47的等差中项，

所以2。5=。6+〃7，即2a『az+aRq'

又因为Q5W0,所以2=#/,

即q2+q-2=0,

因为qNl,

所以q=~2.

所以an=a4qn7=-8X（-2）n-4=（-2）nH-

nn2n

（II）由（I）得ya2n_「a2n=（一2）2~2_（一2产T=22_2+2-1=3乂产1，

所以｛加｝是以3为首项，4为公比的等比数歹!J,

【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查

方程思想和运算能力，属于基础题.

20.（12分）焦点在x轴上的椭圆的方程为日工=1，点P«历，1）在椭圆上.

4m

（1）求机的值.

（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

【分析】（1）把P（加，1）代入椭圆的方程，解得m.

（2）由（1）知椭圆的方程为/+式=1,即可得出答案.

42

【解答】解：（1）把尸（加,1）代入椭圆的方程.（泥）2.+>=1,

4m

解得m=2.

（2）由（1）知椭圆的方程为幺+上一=1,

42

22

所以。=2,b=A/2>c=yja-]y=V4-2=V2>

所以椭圆的长轴长为2a=4,短轴长为26=2A/5,焦距2c=2A/5，离心率e=£=垂

a2

【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题.

2222

21.（12分）已知双曲线C：工_=1（a>0,b>0）与双曲线-2_=1有相同的

a2,b24±42

渐近线，且经过点M（加,-V2）.

（I）求双曲线C的方程；

（II）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

【分析】（I）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程.

（II）利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的