指数与指数函数（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第05讲指数与指数函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：指数与指数塞的运算..................................4

高频考点二：指数函数的概念......................................6

高频考点三：指数函数的图象......................................7

角度1：判断指数型函数的图象...................................7

角度2：根据指数型函数图象求参数..............................8

角度3：指数型函数图象过定点问题..............................9

角度4：指数函数图象应用......................................10

高频考点四：指数（型）函数定义域...............................16

高频考点五：指数（型）函数的值域...............................17

角度1：指数函数在区间［私用上的值域..........................17

角度2：指数型复合函数值域....................................18

角度3：根据指数函数值域（最值）求参数.......................19

高频考点六：指数函数单调性.....................................22

角度1：由指数（型）函数单调性求参数.........................22

角度2：根据指数函数单调性解不等式...........................23

高频考点七：指数函数的最值.....................................26

角度1：求已知指数型函数的值域................................26

角度2：根据指数函数最值求参数...............................28

第四部分：新定义题(解答题)......................................32

第一部分：基础知识

(1)概念：式子布叫做根式，其中九叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质：

①=a("eN*且”>1)；

②当〃为奇数时，=当〃为偶数时，=\a\=[a，a~°^

"-a,a<0

2、分数指数塞

m___

①正数的正分数指数募的意义是^J="(a>0,7%/eN*,且〃>1)；

m

②正数的负分数指数幕的意义是a：m,neN*且”>1)；

③0的正分数指数哥等于0；0的负分数指数募没有意义.

3、指数塞的运算性质

r+

①a%'=a\a>0,r,5GR）；

②（"）'=a"（a>0,r,seR）；

③(ab)r=a'b'\a>0,b>0,reR).

4、指数函数及其性质

(1)指数函数的概念

函数/(©=相(。>0,且awl)叫做指数函数，其中指数》是自变量，函数的定义域是R.

(2)指数函数/(x)=a，的图象和性质

底数a>\0<a<l

图象

-二

定义域为R,值域为(0,+8)

性质

图象过定点(0,1)

当x>0时，恒有

当尤>0时,恒有/a）>i；

0</（x）<l；

当尤<o时，恒有0</（%）<1

当无<0时，恒有y（x）>i

在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数

指数函数/（x）=优（。>0,且akl）的图象和性质与。的取值有关,应分a>1

注意

与0<a<l来研究

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•天津・统考高考真题）设a=L0产5,6=1。心64=0.6°点，则（c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据对应哥、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=1.01*在R上递增，则a=1.01°5<6=1。产6,

由y=X0-5在［0,+8）上递增,则。=1.01。$>c=0.6®.

所以6>a>c.

故选：D

2.（2022•浙江•统考高考真题）已知2"=5,log83=b,则4。厘=（）

255

A.25B.5C.——D.-

93

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14a（2"）25

【详解】因为2"=5,^=log83=-log23,即2*3,所以4y=*=—=第=不.

34（2第）39

故选：C.

3.（2022•北京•统考高考真题）已知函数/（刈=士，则对任意实数X,有（）

A./（-x）+/（x）=0B./（-x）-f（x）=0

C.f（T）+/（x）=lD./（一尤）一/（无）=；

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

112X

【详解】7(-%)+/(%)=------------F=1,故A错误，C正确;

l+2-x1+2%1+2,1+2'

%

112尤12-1」

/(-%)-/(%)==1,不是常数，故BD错误;

XXX

1+2-x1+2、1+21+2尤2+12+1

故选：C.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：指数与指数塞的运算

典型例题

-2

29

（上•湖北•高一校联考期末）计算：

例题1.202427§+7+lg--21g3=

【答案】24

【分析】由指数幕运算和对数运算可求.

2

【详解】27i+

故答案为：24

例题2.（2024上•河南潺河•高一潺河高中期末）计算.

]_

-12

-0.25||3

(1)(0.008Ip-3x(1)°81+3

X

【答案】（1）3

(2)2

【分析】（1）利用分数指数幕的运算法则计算即可;

（2）先将根式转化为指数累，利用指数的运算法则计算即可.

]_

i

-12

-0.25[|3

【详解】（1）（0.008Ip-3x（1）°81+3

X

=(0,3)44)一3Tx34*(95)

（2）W-125+,（-36）2+,（兀一46-芯一兀丫

=［（-5）3］3+（64）Z+|K-4|-（3-K）

=—5+6+4—兀一3+兀=2.

练透核心考点

1.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）化简求值.

_224

（1）（0.12）。+（|卜］3沪（厮）7（1_何

1+10g32

⑵3+Ig5+log32xlog23xlg2

【答案】①0-2

（2）7

【分析】（1）利用分数指数幕和根式的运算公式，即可化解求值;

（2）利用对数运算法则和运算公式，化解求值.

［详解］（1）川2m3胃:乒

=l+-x--3+>/2-l=V2-2；

94

1+Iog32

（2）3+Ig5+log32xlog23xlg2

=3i.3iog,2+lg5+］g2=3x2+lg（2x5）

=6+1=7.

2.（2024上•湖南长沙•高一统考期末）计算下列各式的值：

⑴N-0+0.25入层）;

⑵Ig：+21g2-log24+e叱

【答案】⑴-3

（2）1

【分析】（1）根据指数累的运算法则，化简求值，即得答案;

（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案；

【详解】(1)原式=一4一1+0.5文(可=-5+白4=一3.

(2)原式=lg|+lg4-2+2=lgl0—2+2=1.

高频考点二：指数函数的概念

典型例题

例题1.(2024上,内蒙古呼伦贝尔•高二校考期末)已知指数函数/。)=才'(0>0且"l)J(l)=g,则/(-1)=

()

1।

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】A

【分析】先根据函数值求出。，再求函数值即可.

【详解】f(x)=ax,f(V)=a1=-=^-,:.a=3,

a3

；./(一l)=jT)=a=3.

故选：A.

例题2.(2024上•云南昆明•高一期末)若指数函数“X)的图象经过点(2,9),求的解析式及“T)的

值.

【答案】〃力=31/(-1)=|

【分析】设〃#=炉(。>0,。彳1),由"2)=9可求出。的值，可得出函数的解析式，进而可求得/'(-I)

的值.

【详解】解:设指数函数〃x)=a，(a>0,awl),则八2)=〃=9,解得。=3,

所以，/(x)=3\

故1)=3-=；.

练透核心考点

1.(多选)(2024•江苏•高一假期作业)若函数〃x)=(病+2,”-2)就是指数函数，则实数"，的值为()

A.-3B.1C.-1D.-2

【答案】AB

【分析】根据指数函数的定义求解.

【详解】因为函数〃%）=屐+2加-2）优是指数函数，

所以苏+2m—2=1,解得根=1或相=-3.

故选：AB

2.（2024上•山东枣庄•高一校考期末）若指数函数＞=/（力的图象经过点12,：J,则/[-鼻=

【答案】1/0.125

O

3

【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入X=-=即可.

2

【详解】设指数函数/（力="（。＞0且。中1）,

l

•・"（"过点（一2,4],;.1=[,解得：a=4,.­.f（x）=4,

\lo）lo

故答案为：—.

O

高频考点三：指数函数的图象

角度1:判断指数型函数的图象

典型例题

例题1.（2024下•浙江温州•高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数y=a*与

【答案】D

【分析】分0＜。＜1和。＞1两种情况，利用函数的单调性进行判断即可.

【详解】对于A,B,当。时，函数＞=优在R上为单调递减函数；

又1-。＞0,所以)=1+上三在区间(-8,1)和区间(1,+®)上单调递减，

且当x=0时，y=^=a＞0,故A和B均错误；

对于C,当时，函数y=就在R上为单调递增函数，

又所以y=Y=l+f在区间(-8,1)和区间(1,y)上单调递增，故C错误，D正确.

x—1x—1

故选：D.

例题2.(2024上•江西宜春•高一校考期末)函数y=2㈤的图象是()

【答案】A

【分析】根据图象变换可得函数＞=2用的图象是由函数y=2"的图象向左平移1个单位长度得到的，由此

可得出结论

【详解】因为函数y=2向的图象是由函数y=2'的图象向左平移1个单位长度得到的，

而＞=2,的图象过点(1,2),且在R上是增函数，

所以＞=2向的图象过点(0,2),且在R上是增函数，

故选：A

角度2：根据指数型函数图象求参数

典型例题

例题1.(2024・上海•高一专题练习)若函数y=：+7”的图象与x轴有公共点，则"Z的取值范围是()

A.m<—1B.—1<m<0C.m>lD.0<m<l

【答案】B

【分析】>=§产+“与无有公共点，转化为y=（；产与y=一切有公共点，结合函数图象，可得结果.

【详解】y=（Jf+机与尤有公共点，即y=（Jf与y=一m有公共点，y=g）Z图象如图

可知0<Tn<1—1<777<0

故选：B

【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.

例题2.（多选）（2024•全国•高一专题练习）函数=的图象如图所示，其中。涉为常数，则下列结

论正确的是（）

A.a>1B.b>0C.0<A<lD.b<0

【答案】AD

【分析】根据〃x）的单调性确定a>1,由〃0）=/e（0,l）确定b<0.

由图知（）为减函数，故。所以。故正确错误;

【详解】〃尤）fx<5<1,>1,AC

由图知/（0）=。展（0,1）,所以b<0,故B错误D正确.

故选：AD

角度3：指数型函数图象过定点问题

典型例题

例题L（2024上•重庆•高一重庆市青木关中学校校考期末）函数/（尤）="-3+15＞。且的定点

为.

【答案】（3,2）

【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标.

【详解】因为〃力=/3+1（。＞0且”1）,令彳_3=0,得到X=3,此时y=2,

所以函数的定点为（3,2）,

故答案为：（3,2）.

例题2.（2024上•广东江门•高一统考期末）已知函数〃力=。1+1（。＞0,且awl）的图象恒过定点P,

则尸的坐标为.

【答案】（1,2）

【分析】根据指数型函数的性质求解即可.

【详解】由函数可知，当x=l时，f（l）=a°+l=2,

即函数图象恒过点P（l,2）.

故答案为：（1,2）

角度4：指数函数图象应用

典型例题

例题1.（2024下•四川遂宁•高三射洪中学校考开学考试）函数=-品

•cos尤的图象大致为（）

【分析】根据函数奇偶性即可排除CD,由特殊点的函数值即可排除A.

【详解】/（X）=（1-37-^）-COSX,则“X）的定义域为R,

l-^.COSX=f-l+

又/(~x)=COS(t)=•cos尤

y+1)I

所以/（尤）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD,

当X=7t时，=\OSJT=-1+-^—＜0,故排除A.

I3+1J3+1

故选：B.

例题2.（2024上•安徽•高一校联考期末）函数〃力=4M-阴在［-3,3］上的大致图象为（）

【答案】D

【分析】根据给定函数的奇偶性，结合了（。）=-1即可判断得解.

【详解】依题意，/（-x）=41-%|-eh^=41x|-ew=/（x）,因此函数/（幻是偶函数，其图象关于y轴对称,

排除AB；

又〃0）=-1,选项C不满足，D符合题意.

故选：D

例题3.（2024上•上海•高一上海南汇中学校考期末）已知函数＞=|3工-1|的定义域为［区切，值域为0,；

则b-a的最大值为（）

।4,2

B.log2

A-log3-3C-log3-D.2

【答案】B

【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.

3x-l,x>0

【详解】由题意得，＞=|3'-1|=

-3x+l,x<0,

作出函数图象如图所示,

令,-1卜；，解得klogsg或X=log3|>

42

则当b=log3§,〃=log3§时，人-。取得最大值，

42

止匕时人一a=log3——log3—=log32.

故选：B

练透核心考点

1.（2。24上・陕西西安・高一西安市铁一中学校考期末）函数的图象大致为（）

【答案】D

【分析】根据奇偶性可知函数”力为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解.

【详解】由题可知，2-2吗0=>"±1，

所以函数/（X）的定义域为{x|xw±l},关于原点对称，

又/（T）==^="x）,所以函数f（x）为偶函数，排除A,C；

2-211

4

又/(2)=「=-2<0,排除B.

2-4

故选：D.

2.（多选）（2024上•湖南娄底•高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数y=f+以+。-3与>=优的图

象可能是（）

Fy

【解析】按照。>1、0<。<1讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.

【详解】若则函数y=/是R上的增函数,

函数>=/+办+。-3的图象的对称轴方程为尤=-|<0,故A可能，B不可能;

若0<a<1,则函数丁=就是R上的减函数，

。一3<0,函数>=/+办+。一3的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为尤=—|<0,

故C可能，D不可能.

故选：AC.

3.（多选）（2024上•江苏常州•高一统考期末）若函数/（尤）=/+6（其中。>0且"1）的图象过第一、

三、四象限，贝U（）

A.0<«<1B.a>l

C.—1<Z?<0D.Z?<-1

【答案】BD

【分析】根据图象的性质可得：a>l,a°+b<0,即可求解.

【详解】函数/。）=屋+》（其中”>0且"1）的图象在第一、三、四象限，

根据图象的性质可得：a>l,a°+b<0,

即a

故选：BD.

4.（多选）（2024下・全国・高一开学考试）已知函数"力="">0且。片1）的图象如图所示，则函数了=苫。+4

的大致图象不可能为（）

【分析】由指数函数的图象特征，结合幕函数在第一象限的图象特征可得答案.

【详解】根据题意可得。>1,

y=x"+。的图象是y=V1向上平移a个单位得到的，

结合塞函数的性质可知y=x\a>1）在（0,+s）上为单调递增函数,

当。为奇数时，y=x〃+a图象如C选项所示；当a为偶数时，y=/+。图象如B选项所示,

选项A,D不符合题意.

故选：AD.

5.（2024上•江苏徐州•高三校考开学考试）函数"》）=（》-犬3）州在区间卜3,3］上的图象大致是（）

【分析】判断函数为奇函数得到选项C错误，计算〃2）<0,得到选项D错误，根据0<x<l时，/（%）>0,

选项B错误，得到答案.

【详解】函数/3=卜-三）.小，xe[-3,3]的定义域关于原点对称，

=（-》+%3）,2/=-（彳-/）.2冈=-/（%）,

所以了（无）是奇函数，函数〃x）的图象关于原点对称，选项C错误；

因为/⑵=（2-23卜2同<0,所以选项D错误；

当0<x<l时，/（X）=X（1-X2）-2H>0,选项B错误.

故选：A.

6.（2024上•福建宁德•高一统考期末）函数y=a"2+l（。>0且awl）的图象经过的定点坐标为.

【答案】（2,2）

【分析】由指数型函数的定点问题，令x-2=0,即可得定点坐标.

【详解】由函数>=优-2+1（q>0且awl）,

令x-2=0,得x=2,

所以y=a°+l=2,

所以函数y=/T+l（a>0且awl）的图象经过的定点坐标为（2,2）.

故答案为：（2,2）.

7.（2024上•黑龙江齐齐哈尔•高一统考期末）函数〃x）=4a'T+5（a>0）,且awl）的图象恒过定点尸，点

尸又在嘉函数g（x）的图象上，则g（-2）=.

【答案】4

【分析】由已知求出定点尸的坐标，根据待定系数法求出g（x）,从而可得结果.

【详解】由尤一3=0,得x=3,所以定点以3,9）,

设g（x）=x-又g（3）=3"=9,得a=2,所以g（x）=d,

所以g（-2）=（_2y=4,

故答案为：4.

高频考点四：指数（型）函数定义域

典型例题

例题L（2024上•山东威海,高一统考期末）函数〃x）=«l-的定义域为（）

A.[0,+oo）B.（0,+co）C.（-8,0]D.（-oo,0）

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.

【详解】对于函数〃同=，一&1,有1一可得=g:,解得尤20,

因此，函数/（尤）的定义域为[0,+"）.

故选：A.

例题2.（2024上•北京•高二统考学业考试）函数/（对=乒？的定义域为（）

A.[-3,+a?）B.[-2,+oo）C.[2,+00）D.[4,+oo）

【答案】C

【分析】根据函数/'（X）的解析式有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数=万有意义，则满足3，-920,即3入9=3,解得xN2,

所以函数的定义域为[2,+8）.

故选：C.

练透核心考点

1.（2024•江苏•高一假期作业）函数-4的定义域为（）

A.（-oo,2]B.（^O,5）U（5,-HX>）

C.[2,叫D.[2,5不（5收）

【答案】D

【分析】函数〃x）=卫二士的定义域满足u",解得答案.

Lx-5[x-5w0

后7f2%-4>0

【详解】函数〃耳=上二士的定义域满足,~,解得xN2且xw5.

''尤一5[x-5/O

故答案为：D

-4

2.（2024上•安徽阜阳•高一统考期末）函数-----R的定义域为____.

（%-3x—4J

【答案】［2,4）“4,4w）

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0、x°中XN0求解出X的范围，则定义域可知.

f2-420

【详解】由题意可知2c二八，解得了22且xw4,

［x-3x-4^0

故函数的定义域为［2,4）“4,+4.

故答案为：［2,4）u（4,4w）.

高频考点五：指数（型）函数的值域

角度1：指数函数在区间［私加上的值域

典型例题

例题1.（2023上•广西南宁•高一校考期中）函数/（x）=2，,xe［-1』的值域是（）

A.（0,2）B.C.1,2D.［0,2］

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性即可得解.

【详解】因为/（£）=2,是定义域在R上的增函数.

所以当时，/（%）^=/（-1）=1,/«_=/（1）=2,

所以〃x）的值域为1,2.

故选：C.

例题2.（2023上•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）函数y=2*+2尤-1,xe［2,+e）的值域

为.

【答案】［7,+8）

【分析】根据函数的单调性求得正确答案.

【详解】函数y=2'+2x-1在区间［2,+8）上单调递增，

所以”22+2x2-1=7,

所以值域为［7,y）.

故答案为：[7,y)

角度2：指数型复合函数值域

典型例题

例题1.(2023上•福建三明•高一校联考期中)函数"X)=4'-+2在xW1时的值域是.

【答案】[L2]

【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.

【详解】当一1WX<1时，1<21<2,函数/(x)=(2，>一22+2=(2-1了+1,

显然当2'=1，即x=0时，当2工=2,即x=l时，/(4皿=2,

所以所求值域是口，2].

故答案为：[1,2]

例题2.(2023上•全国•高一专题练习)已知函数=的图象经过点

(1)求实数。的值；

⑵求函数的定义域和值域.

【答案】(1)-1

(2)R；(-1,1)

【分析】(1)把已知点代入函数解析式计算即得；

(2)根据函数解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函数定义域，将函数式分离常数成/("=1-彳石，

再从y=3,的值域开始，从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域.

【详解】⑴将点代入〃尤)=?可得：乎=!，解得：a=-L

72)3+142

(2)由(1)可得：=要使函数有意义，须使3"+1。0,而此式恒成立，故函数的定义域为R.

v73"+1

299

因〃耳=1—丁二，当xeR时，3">0,3X+1>1,则0<k7<2,故—1<1—=^<1,即函数的值域为

3+13+13+1

(-1,1).

(1、-2x2—8x+l

例题3.(2023上•河南省直辖县级单位•高一校考阶段练习)求函数y=(-3VxVl)的单调区间与值

域.

【答案】单调减区间是[-3,-2],单调增区间是(-2』；值域是[3工31

【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出.

z[x-2X2-8X+1

【详解】•.,函数(-3<%<1),

设f=-2x2-8x+l,-3Wx41.

.1.t=—2(x+2)~+9,

当—34x41时，-9VY9,

•,心/J"叫".

：・函数y=/J在xe[1,3]上的值域是[3-9,39].

又原函数是由y=[£|和/=-2尤2一8尤+1两个函数复合而成，

第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数

,函数；的单调减区间是[T-2],单调增区间是(-25.

角度3:根据指数函数值域(最值)求参数

典型例题

例题L(2023下•广东广州・高一校考期中)函数y="-2(a>0Ma1,-1<x<1)的值域是-*1,则

实数”()

112-3

A.3B.-C.3或]D.§或,

【答案】C

【分析】由指数函数的性质分别对0<。<1和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.

【详解】函数>=虐-2(a>0且"L-1W1)的值域为一』，

又由指数函数的单调性可知，

当Ovavl时,函数y=优-2在[-1[]上单调递减，值域是-2]

0<a<l0<a<l

a1-2=-|,即•1，解得a=5

所以有■a二一

3

611—2=1a1=3

当q>l时，函数>=优-2在［-M］上单调递增，值域是［--2,。-2］

a>la>l

所以有卜-2=-1即yT=g,

解得a=3.

tz1—2=1〃=3

综上所述，a=g或。=3.

故选：C.

例题2.（2023上•全国•高一期末）如果函数尸d+Za'T,g>0且awi）在区间［fl］上的最大值是14,

则。的值为（）

„1「„1

A.3B.—C.—5D.3或一

33

【答案】D

【分析】利用换元法，令t=a，,转化为二次函数y=（什1）2—2,根据单调性及在区间［T』上的最大值是14,

求出。的值即可.

【详解】令t=a*,则y=a"+2a*T=〃+2r—~2.

当时，因为所以fe-,a,

a

「1-

又因为函数y=（r+l）9—-2在-,a上单调递增，

所以Ymax=（°+1）~—2=14,解得a=3（a=-5舍去）.

当0<a<l时，因为xw［—1,1］,所以fea,；,

「1一

又函数y=（r+l）9—-2在a,-上单调递增，

则ymax=t+l）-2=14,

11

解得（a=_y舍去）.

综上知a=3或〃=g.

故选：D.

练透核心考点

1.（2023上•新疆喀什・高一统考期末）y=,xe[0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.1,1

_8_8

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.

【详解】函数y=gJ,xe[0,3]单调递减，所以函数的最大值为[j=1,

最小值为仕]3=L所以函数的值域为心.

⑶818」

故选：D

2.（2023上•广东东莞•高一东莞市东莞中学校考期中）函数/（x）=2-?+1的值域为.

【答案】（0,2]

【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】令仁-Y+1W1,因为指数函数y=2,在R上单调递增，

所以有2'42】=2，而2,>0,

因此函数/（X）=24M的值域为（0,2].

故答案为：（0,2]

3.（2023上•黑龙江绥化•高三校考阶段练习）当x<l时，函数/（力=平-2向+2的值域为.

【答案】口，2]

【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.

（详解】因为=4'-2加+2=（2'）一2*2*+2,

令y23由于尤41,则fe（O,2],

则原函数可化为y=产-2/+2,re（0,2],

当f=l时，>取最小值1,当/=2时，y取最大值2,

故ye[l,2],gp/（x）e[l,2].

故答案为：[1，2]

4.（2023•江苏•高一专题练习）已知函数/。）=2曰_1在区间[0,汨上的值域为[0,3],则实数加的取值范

围为-

【答案】[2,4]

【分析】利用函数的最值求出X,通过函数的值域，求出口的取值范围

2”—2—1r>9

【详解】/（》）=2M」=

2'一,则"X）在（-8,2）上递减，在［2,+⑹上递增,

所以当x=2时，函数取得最小值0,

由2k盟-1=3，得x=0或x=4,

所以函数/（x）=2M-1在区间。m］上的值域为［0,3］时，me［2,4］,

故答案为：［2,4］

z［xax2-4x+3

5.（2023,全国，局二专题练习）已知函数/（x）=j,若/（X）的值域是（0,+8）,求“的值.

【答案】0

【分析】利用换元法，令1=加-公+3,则y，则由题意可知才=--4%+3的值域为R,从而可求出。

的值

【详解】令/=加-4工+3,贝!|y=

因为/⑴的值域是（0,+8）,即了=I的值域是（0，y）,

所以》=改2一以+3的值域为R,

若。工0,则f=^-4x+3为二次函数，其值域不可能为R,

若。=0,则仁Tx+3,其值域为R,

所以a=0

高频考点六：指数函数单调性

角度1：由指数（型）函数单调性求参数

典型例题

x2-lax+2,x<1

例题1.（2024下•内蒙古赤峰•高三校考开学考试）若函数〃尤）=<x是R上的减函数，则，的

,x>l

取值范围是（）

j_7

A.B.cD.

1-°42,6

【答案】A

【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.

X2—2ax+2,x<1

【详解】由函数=I'】在R上为单调递减函数,

a>\

7

则满足<0<<7-^<1解<<

--6-

l2-2a+2>a--

2

7

即实数。的取值范围为1,工,

0

故选：A.

例题2.（2024上•湖南湘西•高一统考期末）若函数/（》）=2*+侬在区间【-Ml上单调递增，则实数。的取值

范围是（）

A.（-℃,2］B.［2,+oo）

C.（-oo,-2］D.［-2,+oo）

【答案】B

【分析】由题意得：g（X）=T?+办在［-U］上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.

【详解】由题意得：85）=-/+办在［-1,1］上单调递增，

所以对称轴工=321,所以a22.

故选：B.

角度2：根据指数函数单调性解不等式

典型例题

例题1.（2024上•广东潮州•高一统考期末）已知函数〃力=5忖+/,则满足的x的取值

范围是（）

【答案】A

【分析】分析函数”X）的奇偶性及其在［0,+"）上的单调性，将所求不等式变形为解之即可.

【详解】因为函数〃%）=出+无2的定义域为R,且〃_尤）=57+（_尤）2=出+炉=〃尤），

所以，函数，（无）为偶函数，

则不等式等价于川2X-［）</\］,

因为函数y=5*、y=/在［0,+。）上均为增函数，

当工20时，/（x）=5X+x2单调递增,

所以，|2x-l|<—,可得一§<2%—1〈耳，解得§<兀<§,

故原不等式的解集为,1）.

故选：A.

例题2.（2024上•河北邯郸•高一统考期末）已知函数=州，贝U/（2->/（2x+3）的解集为

【答案】

【分析】根据题意，求得函数〃尤）的单调性与奇偶性，把不等式转化为|2-x|>|2x+3|,即可求解.

【详解】由函数〃力=2国，可得其定义域为R,M/（-X）=2H=2W=/（X）,

所以〃%）=州为偶函数，当xe［0,4w）时,f（x）=2x,

可得〃%）=州在［0,+8）上单调递增，

根据偶函数的性质，不等式“2-x）>〃2x+3）,即为川2-x|）>〃|2x+3|）,

可得|2—x|>|2x+3|,整理得3f+16x+5<0,解得-5<x<-g,

所以/（2-x）>“2x+3）的解集为15,T1

故答案为：（―5，-