指、对、幂数比较大小问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点03指、对、幕数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】................................................................2

【题型2中间值法比较大小】......................................................................3

【题型3特殊值法比较大小】......................................................................4

【题型4作差法、作商法比较大小】................................................................6

【题型5构造函数法比较大小】....................................................................7

【题型6数形结合比较大小】......................................................................9

【题型7含变量问题比较大小】...................................................................12

【题型8放缩法比较大小】........................................................................14

►命题规律

1、指、对、塞数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幕数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和幕函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、塞数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如和"2,利用指数函数>=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如K和甘，利用幕函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如1吗再和地0马,利用指数函数bg.x单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”

规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】(2024・湖南衡阳•模拟预测)已知a=3°3,b=0.33,c=log",则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【解答过程】a=303>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,：.a>b>c.

故选：A.

【变式1-1](2024•四川自贡•三模)已知a=log2：,b=1.202,c=0.521,则a,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.

【解答过程】因为y=log2%在xe(0,+8)上单调递增，

所以a=log2|-<log2l=0即a<0；

因为y=1.2,为增函数，故6=1,202>1.2°=1即b>1；

因为y=0.5x为减函数，故0<OS2，]<0.5°=1即。<c<l,

综上a<c<6.

故选：A.

034

【变式1-2](2024•贵州贵阳•三模)已知a=4,b=(log4a),c=log4(log4a),则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1,利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1,利用对数函

数单调性得到c<0,则比较出大小.

【解答过程】因为a=403>40=l,b=(log4a1=0.34<1,且OS4>0,则0<b<1,

c=log4(log4a)=log40.3<0,

所以a>b>c,

故选：A.

a

【变式1-3](2024•山东泰安・模拟预测)己知a=log020.3,b=Ina,c=2,则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.

【解答过程】因为y=logo,2%在(。,+8)上单调递减,所以logo,21<logo,20.3<log020.2,即0<a<1,

因为y=Inx在(0,+8)上单调递增，所以lna<lnl,即b<。，

因为y=2方在R上单调递增，所以2a>2°,即c>l,

综上，c>a>b.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】(23-24高三上•天津南开•阶段练习)已知a=eai,b=1-21g2,c=2-log310,则a,b,c的

大小关系是()

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0,1,分析判断即可.

【解答过程】由题意可得：a=e0-1>e。=1,

b=l-21g2=1-lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,则0<b<1,

因为log310>log39=2,则c-2—log310<0,

故选：B.

1

【变式2-1](2024•陕西铜川•模拟预测)已知a=(J人=Sg65,c=log56,贝()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】取两个中间值1和I，由。=五>'|,b<log66=1,1=log55VcV狎可比较三者大小.

【解答过程】a=Q)2=疵>卡=：,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故选：C.

【变式2-2](2024•山东潍坊•二模)已知a=eT,b=Iga,c=e°,则()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.

【解答过程】a=e-1e(0,1),b=\ga=Ige-1=-Ige<0,c=e°=1,

所以b<a<c,

故选：A.

31

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知。=0.5,b=log090.3,c=logi1,则a,b,c的大小关系为()

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值与,1”分析大小即可.

【解答过程】因为y=0早在R上单调递减，则0.5&1<0.51=p即a<

又因为y=logo.9%在(0,+8)上单调递减，则logo,90.3>logo>90.9=1,即b>1；

可得c=logi|=log32,且y=log?%在(0,+8)上单调递增，

32

则[=log3V3<log32<log33=1,epi<c<1；

综上所述：a<c<b.

故选：D.

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】(2024•陕西商洛•模拟预测)设Q=logo,50.6,b=0.49-°3,c=0.6-°6,则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用基函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=logosx在(0,+8)上单调递减,^flUlog0,5l<log050.6<log050.5,即。<a<1.

因为y=K。,6在(0,+8)上单调递增，又0.49-0-3=O.7-06=(三)"6,O.6-0-6=

又:>夕>1,所以G)°’6>(予)06>1。.6,故C>6>1,所以c>b>a.

故选：A.

【变式3-11(23・24高二下•云南玉溪•期中)已知实数a,瓦c满足2。+。=2,2匕+b=遮，c=log163,则

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得C<构造函数人比)=2方+居XCR,由函数的单调性得T<a<b及，即

可得出判断.

1-1

【解答过程】由对数函数单调性得，C=log163<log164=log16162=

构造函数/■(%)=2x+x,xER,则/'(a)=2。+a=2,/(/?)=2b+b=45

因为y=2工和y=x单调递增，所以f(x)单调递增，

因为2〈遮，即f(a)<f(b),所以a<b,

又f6)=23+[=誓<2,所以f(a)>f()即a"，

所以c<a<b,

故选：A.

i-1ii-1

【变式3・2】(2024•宁夏银川•二模)若a=logF，b=(1)，，c=log34,d=则()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.

【解答过程】因为a=log"=log3,>logs^=1,g)VGY<G)=[vbvl'

I1

log34<log3=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故选：A.

i

【变式3・3】(2024•天津和平•一■模)设G)=2,b=logi3-logi9,c=%则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0,可得a最小，再利用提>。3得出仇c大小.

【解答过程】由0=2可得a=logi2<logil=0,

33

b=logi3—logi9=logi|=log23>1,c=0'=2E=V2>0,

下面比较仇c,

323

因为32>(25)=8,所以3〉22,

~3a

所以b=log23>log222=

而c3=（沟3=2<（I）=y,故cv|,所以cVb,

综上，b>c>a.

故选：B.

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】（2023・四川成都•一模）若a=3一"b=©）二c=logij,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<aVI,0<fa<l,O1,再作商比较的大小，从而可

求解.

【解答过程】因为0<a=3一"V3。=1,0<b=（I）-1<（|）°=1,

c0-41.1111z11、12/1、121121

令户J=3一巾x2一”3运x2一§,而（3运x2f=（3记）x=3X2-4=^<1,即3运x

（2）

2~<1,所以Q<b,

又因为c=logi|=logi^->logi-^->logi1=1,所以c>b>a.

25J]I。”022

故选：D.

【变式4-1]（2023•贵州六盘水•模拟预测）若。=当，6=殍，。=浮，则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=Inx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出a,瓦c

的大小关系.

【解答过程】因为b—a=里—㈣=迎上陋=史坦>0,所以b>a；

3266

匚、

又-v-z因m为c-a=^ln5——ln-2=-21n5-—5-1n2=-ln25-—l-n32<0,所u以ia>c；

综上所述：c<a<b.

故选：C.

【变式4-2]（2024•四川成都•二模）若a=ln26,b=41n2Tn3,c=（l+ln3）2,则a,b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解题思路】作差法比较a*的大小，利用对数的性质比较a,c的大小.

【解答过程】a=ln26=（ln2+ln3）2,c=（Ine+ln3）2

因为ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=In26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

则a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故选：D.

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)若a=2°5I=3°25,c=logo/OS则a,瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断见c范围，比较它们的大小；利用作商法比

较a,b的大小，即可得答案.

【解答过程】因为函数y=2%在R上单调递增，所以。=20-4<20-5=V2.

111

又冲品=(釐户守=(爵>1,所以b…&

______3

因为0.52=025<0.343,故0.5<<0.343=0.7%y=logo?%在(。,+°o)上单调递减，

3o_

所以logo.70.5>logo,7(),75=->V2,所以a<c,

所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c,

故选：B.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(2024•全国•模拟预测)已知a=InZ,b=ln7xln2,c=臀，则()

2m2

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】根据。<ln2<1得到c的值最大，然后构造函数f(x)-(l-ln2)lnx-ln2,根据/(x)的单调

性和/'(8)<0得到a<b.

【解答过程】因为0<ln2<l,所以a=ln7—ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比较a,6的大小.

构造函数/'(%)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

显然n>)在(0,+8)上单调递增.

因为/'(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=/(7)<f(8)<0,所以

a<b,所以a<b<c.

故选：C.

1c

【变式5・1】（2024•全国,模拟预测）设a=5，，b=-,c=log45,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】先比较。和b,构造函数y=/在上（0,+8）单调递增，

・••@）4=5>等='">£即a>b；

44

又・.・助=5,4c=410g45=log45,且45=4X256>5=625,

45

/.4c=log45<log44=5=4b,>c,

J.a>b>c.

故选：A.

【变式5-2]（2024・天津和平•一4模）已知a=log。,203b=logo^OZc=log23,则a,hc的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得.

【解答过程】v0<a=log020.3<1,b=log030.2>1,c=log23>1,

又勺=logo30.2.log32=".史=等吗

C80.353lg3-llg31g23Tg3

2

因为函数/(x)=/—x=(x—£)—3在(0，)上单调递减，且"0)=0,又因为1>lg3>lg2>0,

所以f(lg3)</(lg2)<0,所以儒<1,即给|<1,所以g<l,

/Ugjjig□—igoc

b<c,即a<bVc.

故选：C.

【变式5-3](2023・河南・校联考模拟预测)已知实数。,瓦。满足小+log2a=0,2023f=log2023^c=log7V6,

则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.

【解答过程】设f(%)=/+log2X,/(%)在(0,+8)上单调递增，

又/@=一3<°"(1)=1>°'所以

设。㈤=(短丫

一Sg2023%，9(%)在(0,+8)上单调递减,

2023

又。（1）=康>。，9（2。23）=（七）"-l<0,所以1<b<2023,

因为c=log7V6<log7V7=I，所以cV.

综上可知，c<a<b.

故选：B.

【题型6数形结合比较大小】

【例6】（2024•河南•模拟预测）已知a=Imr,>=log3;r,c=$Hn2,则a,瓦c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】

利用对数函数和指数函数，幕函数的性质求解.

【解答过程】e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=ln7r=ln（V^）2,c=V^ln2=ln2低,

下面比较（四）2与2低的大小，构造函数y=%2与y=2%,

由指数函数y=2%与基函数y=/的图像与单调性可知，

当％G(0,2)时，x2<2尤;当％6(2,4)时，x2>2X

由％=低€(0,2),故(/)2<2®,故IrnrVln2标，即aVc,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式6-1](2023•江西赣州•二模)若log?%=log4y=logsz〈一1,则()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3%

mmm

【解题思路】设log3%=log4y=log5z=m<-1,得到％=3,y=4,z=5,画出图象，数形结合得到答

案.

mmm

【解答过程】令log?%=log4y=log5z=m<-1,则％=3,y=4,z=5,

3%=3m+\4y=4m+\5z=5m+1,其中m+1V0,

在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5”,

尸4":^^：

y=5：

m+l\0"""x

故5zV4yV3%

故选：D.

c

【变式6・2】(2024•全国•模拟预测)已知Q=C),(；)=^ogab,a=logic,则实数a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到Q,b,C6(0,1),得到logabV1=logaQ,

求出b>a,根据单调性得到c=<g)a=a,从而得到答案.

【解答过程】令f(x)=(|)"-%,其在R上单调递减，

X/(0)=1>0J(l)=-3<。，

由零点存在性定理得a6(0,1),

则y=loga%在(0,+8)上单调递减，

可以得到bE(0,1),

又丫2=在R上单调递减，画出=凝与=log”的函数图象,

可以看出cG(0,1)，

因为G)<G)=L故loga"<1=loga。，故">/

因为a,cG(0,1),故a，>a1=a,

由a。=logical,c=G)<G)=a.

综上，c<a<b.

故选：D.

【变式6-3](2024•广东茂名・统考一模)已知%,y,z均为大于0的实数，且*=3丫=logsz,贝大小关

系正确的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2%,y=3%,y=logs%与直线y=t>l的交点的横坐标的关系,

再作出图像，数形结合求解即可.

【解答过程】解：因为居y,z均为大于0的实数，

所以*=3y=iog5z=t>i,

进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=logs%与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，

故作出函数图像，如图，

由图可知Z>x>y

故选：C.

[例7]⑵-24高三上•天津滨海新•阶段练习）设以b、c都是正数，且4a=6匕=9S则下列结论错误的是（）

A.c<b<aB.abbe=acc.4b•9“=4°•9，D.-=---

cba

【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,瓦c,再利用换底公式和对数运算，判断选项.

【解答过程】设4a=°=9。=k>1,所以a=log4k=意，b=log6k=康，c=log9k=总,

A.由对数函数的单调性可知，0<10gze4Vlogk6<log/,可知cVbVa,故A正确;

logfc6(log4+log/-log"logfc36121og6

B.b(a+fc---------------=--------fe-----------------

logfc4-logk9log"logk44ogfc9

■■=2CLCj故B错误;

logfc4-logfc9

C.4a-9C=(66)2=36b=(4.9y=#.》，故c正确.

D.(+;=log/i.4+log/c9=log/^36=21og^.6=贝4=--故D正确.

故选：B.

【变式7-1](2024•江西•模拟预测)若ae°=blnb(a>0),贝1J()

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

【解题思路】令ae。=b\nb=fc,k>0,构造函数，作出函数图象，即可比大小.

【解答过程】因为。>0,

所以ae。>a>0,

因为ae°=blnb,

所以blnb>0,可得b>l,

令ae。=b\nb=k,fc>0,

所以e。=-\nb=p

afb

设/(%)—e*,g(x)=Inx,h(x)=一,

作出它们的图象如图:

由图可知aV仇故选项A正确.

故选：A.

【变式7-21(2023•全国•模拟预测)已知见瓦c均为不等于1的正实数，且Inc=alnbjna=bine,则a,瓦c

的大小关系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【解题思路】分析可知，Ina、Inb、Inc同号，分a、b、cE(0,1)和a、b、cE(L+8)两种情况讨论，结合

对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.

【解答过程】Inc=alnb,\na=bine且a、b、c均为不等于1的正实数，

则Inc与Inb同号，Inc与Ina同号，从而Ina、Inb、Inc同号.

①若a、b、c6(0,1),则Ina、Inb、Inc均为负数,

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=alnb>Inb,可得c>b,止匕时a>c>b；

②若a、b、cG(1,+oo),则Ina、In。、Inc均为正数，

Ina=bine>Inc,可得a>c,Inc=alnb>Info,可得c>b,此时a>c>b.

综上所述，a>c>b.

故选：D.

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)已知正实数a,b,c满足e。+e12a=e。+e—。，b=log23+log86,c+

log2c=2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解题思路】根据e。+e~2a=ea+e"可得e。一e-c=ea-e-2a,由此可构造函数/(%)=ex-e-x,根据外)

的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2

变形为log2c=2-c,利用函数y=Iog2%与函数y=2-汽的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围,

从而判断b与c的大小.由此即可得到答案.

【解答过程】ec+e~2a=e°+e~c=>ec—e~c=ea—e~2a,

故令/(%)=ex-e~x,则/(c)=ec—e-c,/(a)=ea-e~a.

易知y=-e~x=一★和y=e%均为(0,+8)上的增函数，故f(%)在(0,+8)为增函数.

Ve~2a<e~a,故由题可知，ec—e-c=ea—e~2a>ea—e-a,即f(c)>/(a),贝!Jc>a>0.

易知b=log23+log2V6=log23V6>2,log2c=2—c,

作出函数y=log2］与函数y=2-％的图象，如图所示，

则两图象交点横坐标在（1,2）内，即1VCV2,

•••c<b,

:.a<c<b.

故选：B.

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024・陕西西安・模拟预测）若。=0.3小5,\=38312盾=10826〃=「1,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【解题思路】由题意首先得0<aV1,d=V0,进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,从而我们只需要比较Iog34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即

可比较.

【解答过程】a=0.3115<0.31°=1,所以0<aVl,d=0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

又因为制=畸<与善=篙<1,

log23In3-ln3In31n3（ln3）z

所以b<c,即d<a<b<c.

故选：B.

i

【变式8-1]（2023•河南郑州•模拟预测）已知a=log35,b=2（|）\c=31og72+log87,贝!J（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【解答过程】因为a=log35=ilog325<|log327=|,

1111

；（短）0（枭）"=（）,所以"2（丁>|且6<2，

c=31og72+log87=log784-log87>Z^/logyS-log87=2,

所以c>b>a.

故选：B.

【变式8-2]（2023上•安徽•高二校联考阶段练习）已知a=回-旧力=6~\c=log53-|log35,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.

【解答过程】因为a==—

。=6三=层>卷=[，矗故。«工），

c=log53-|log35=1log527-|log325>|logs25-|log327=|-1=|,

所以a<b<c.

故选：A.

【变式8-3]（2024•全国•模拟预测）已知a=log8」4,b=log31e,c=ln2.1,,则（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解题思路】先证明b>0,c>0,利用比商法结合基本不等式证明cVb,再根据对数运算性质，结合对数

函数性质证明Q<c即可得结论.

【解答过程】因为b=log3.ie>0,c=ln2,1>0,

所以"=需=ln2.1Xln3,1<（1£^1丫=（噜）=

又e2=7.389,所以倔豆<e,所以InV^比<Ine=1,

所以：<1,故c<b,

b

因为a=log4=21n2_ln2

8-1ln8.1-

又e2《7.389,所以8.1>e2,所以In倔T>1,

所以a<ln2,又ln2<ln2.1=c,

所以a<c,

所以a<c<b,

故选：A.

A过关测试

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）设a=log62,b=log123,c=log405,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】取到数计算得4=1+警，工=1+萼，作差法比较匕工的大小，即可得到b,c大小，利用中间

blg3clg5bc

值押可比较a,c大小.

【解答过程】•.,1=log312=1+log34=1+苔=1+-=log540=1+logs8=1+瞿=1+

。lg3lg3Clg5Igb

11212312

•g§=21g2xlg5-31g2xlg3_lg2⑵g5-31g3）_Ig2（lg25-lg27）<0

•*bclg3lg5Ig3xlg5Ig3xlg5Ig3xlg5'

iI

又b>0,c>0,b>c.

bc

V-=1+log58<14-log5V125=1+log552=|,c>|；

2

i,—£5a<-

V-=log26=1+log23>1+log2V8=1+log222=5

••Cl<c.

.*.a<c<b.

故选：D.

2.（2024•安徽宿州•一模）已知37n=4,。=2加一3,6=46一5,贝（1（）

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得Iog23>log34>log45,即

可判断大小.

【解答过程】由3加=4na=log34,

10g23_log'=昼_位:史Tg*>礴-（喳詈）2=41g23Tg28=函9化8

183lg2lg3Ig21g3Ig2-lg341g2-lg341g2.lg3

[ogM_1。/5=跃_度」gZ4Tg3.1g5〉叶4-（当叼2=喑4Tg2土」g216Tg215>0,

lg3lg4Ig3-lg4Ig3-lg441g3-lg441g3-lg4

•*-log23>log34>log45,

;.b=4m-5>4^45-5=0,a=2m-3<2io^3-3=0,

AZ?>0>a.

故选：B.

3.（2024・贵州毕节•一模）已知a=31og83,b=-1logil6,c=log43,则a,b,c的大小关系为（）

23

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解题思路】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简见瓦c,并判断范围，采用作差法结合基本不

等式可判断a即可得答案.

【解答过程】由题意可得a=31og83=3x笔=log23>1,

10g22

b=-1logil6=-g义蜜毕=log34>1,0<c=log43<1,

2

32log3-

又10g23-10g34=臀-虫=（吁产吗

8283lg2ig3Ig21g3

由于lg2>0Jg4>0,lg2Hlg4,・•・1g21g4<（吧詈>=（lgV8）2<（lg3）2,

故log23-log34>0,/.a>bf

综合可得a>b>c,

故选：A.

c=lo

4.（2023•内蒙古赤峰•模拟预测）设a=（5），6=Q），g2（log34）,贝|（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1,让其和见瓦c进行比较，从而得出结果.

【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y=（|7在R上单调递增，故a=g）0'7>（|）°=1；

由y=（J的值域，且在R上单调递增可知，℃=（|）°，<仔）°=1；

根据对数函数的单调性，y=log3%在(。,+8)上单调递增，故log34>log33=1,由y=log”在(0,+8)上

4

单调递减，故c=log3(log4)<logsl=0.结合上述分析可知：c<0<b<l<a.

434

故选：A.

1

5.(2024•云南昆明,模拟预测)已知Q=e§,b=ln2,c=log32,贝Ua,的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】引入中间变量1,再利用作差法比较hc的大小，即可得答案；

1

【解答过程】a=e3>e°=1,b=ln2<Ine=1,c=log32<log33=1

,*,a取大，

6-c=ln2-log32=J|-g=lg2-(^-^)>0,b>c,

a>b>c,

故选：B.

c2a3bc5c

6.(2024•陕西宝鸡•一模)已知实数a,b,c满足牙=(a=(=2,贝！|()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c,再转化成整数幕比较即可.

【解答过程】因为三=?=?=2,所以e2a=4,e3b=6,e5c=10,

即得2a=ln4,3b=ln6,5c=InlO得a=ln2,b=lnV6,c=InVlO,

因为y=In%是(0,+8)上的增函数，比较2,遍,泞的大小关系即是a,he,的大小关系，

2,苑V1U同时取15次幕，因为塞函数y=钟在(0,+8)上是单调递增的，比较2叱65,1()3即可，

因为2*=524288,65=7776,103=1000所以2上>103>65

即2>V10>连，即得a>b>c.

故选：A.

7.(2023・湖南永州•一模)已知a=log3ii,b=-,c=-—，则()

log3-n-l2-log3ir

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】先利用对数函数单调性求出aC(1,1.5),从而确定b>2,ce(1,2),作差法判断出a<c,从

而求出答案.

【解答过程】a=log3n>log33=1,

33

因为35=V27>IT,所以Q=log3n<log332=1.5,

所以QC(1,1.5),

logn-1G(0,0.5)，故b=-~~>2，

3log3-n-l

2-log3TTe(0.5,1),故c=—i—G(1,2),

2-10g3Tl

令…=log3ir--一=网第丁。皿2;i=二0。邸-氏<0

2—log3Tl2—log3H2—log3ll

所以a<c<b.

故选：D.

8.(2023•陕西西安•一模)已知函数/(x)=-2x,若2。=log2。=c,则()

A.f(b)</(c)<f(a)B./(a)<f(b)<f(c)

C./(a)</(c)<f(b)D./(c)<f(b)<f(a)

x

【解题思路】在同一坐标系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的图像，得到a<c<b,借助/'(久)=-2x的单

调性进行判断即可.

【解答过程】/(x)=-2x在R上单调递减，

x

在同一坐标系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的图像，如图：

所以a<c<b,故/'(b)</(c)</(a),

故选：A.

二、多选题

9.(2024•河