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文档简介

重难点23与圆有关的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1斜率型最值(范围)问题】............................................................2

【题型2直线型最值(范围)问题】............................................................2

【题型3定点到圆上点的最值(范围)】........................................................3

【题型4圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】............................................4

【题型5过圆内定点的弦长最值(范围)问题】..................................................4

【题型6圆的切线长度最值(范围)问题】......................................................5

【题型7周长面积型最值(范围)问题】........................................................5

【题型8数量积型最值(范围)问题】..........................................................6

【题型9坐标、角度型最值(范围)问题】......................................................6

【题型10长度型最值(范围)问题】...........................................................7

►命题规律

1、与圆有关的最值与范围问题

从近几年的高考情况来看,与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题,由于圆既能与平面几何相

联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类

问题考查形式多样,对应的解题方法也是多种多样,需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1与距离有关的最值问题】

在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离

最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想进行求解得到相关结论.

1.圆上的点到定点的距离最值问题

一般都是转化为点到圆心的距离处理,加半径为最大值,减半径为最小值.

2.圆上的点到直线的距离最值问题

已知圆C和圆外的一条直线I,则圆上点到直线距离的最小值为:八一一厂,距离的最大值为:八一+r.

【知识点2利用代数法的几何意义求最值】

1.利用代数法的几何意义求最值

(1)形如〃=E2的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如m=(x-a)2+(y-by的最值问题,可转化为曲线上的点到点(0力)的距离平方的最值问题.

【知识点3切线长度最值问题】

1.圆的切线长度最值问题

(1)代数法:直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;

(2)几何法:把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

【知识点4弦长最值问题】

1.过圆内定点的弦长最值问题

己知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该直径垂直的弦.

【知识点5解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1.与圆有关的最值与范围问题的解题方法

(1)数形结合法:处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借

助数形结合思想求解.

(2)建立函数关系求最值:根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参

数法、配方法、判别式法等进行求解.

(3)利用基本不等式求解最值:如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a2或者a+b的表

达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定

三相等”的验证.

(4)多与圆心联系,转化为圆心问题.

(5)参数方程:进行三角换元,通过参数方程,进行求解.

►举一反三

【题型1斜率型最值(范围)问题】

【例1】(23-24高二上•湖北武汉•阶段练习)已知P(m,n)为圆C:(久一l)2+(y—1)2=1上任意一点,则有

的最大值为()

A.—B.--C.1+—D.1--

3333

【变式1-1](2024•河南•模拟预测)已知点P(x,y)在圆(久一1)2+(y-I)2=3上运动,则公的最大值为()

A.-6-V30B.6+V30C.-6+V30D.6-V30

【变式1-2](2024•陕西商洛•三模)已知P(x(),yo)是圆C:/+产—2%-2y+1=0上任意一点,则也考■的

%0—3

最大值为()

A.-2B.-iC.土"D.3

233

【变式1-3](2024・福建南平•三模)已知P(m,n)为圆C:0—1/+(y—1)2=1上任意一点,则照的最

大值为.

【题型2直线型最值(范围)问题】

【例2】(23-24高三上•河南•阶段练习)已知点PQ,y)是圆C:O—a)2+必=3(a>0)上的一动点,若圆C

经过点4(1,夜),贝0-乂的最大值与最小值之和为()

A.4B.2V6C.-4D.-2V6

【变式2-1](24-25高二上•全国•课后作业)如果实数满足等式/+y2+4x-2y-4=0,那么d+y?

的最大值是;2x-y的最大值是.

【变式2-2](23-24高二上•黑龙江绥化•阶段练习)已知x,y是实数,且(久—+(y—2/=4.

⑴求3x+4y的最值;

(2)求?的取值范围;

(3)求J/+y2的最值.

【变式2-3](2024高三•全国・专题练习)已知实数x,y满足方程N+f—公+1=0.求:

(14的最大值和最小值;

(2)j+x的最大值和最小值;

(3•2+俨的最大值和最小值.

【题型3定点到圆上点的最值(范围)】

【例3】(2024•陕西铜川•三模)已知圆。(久一。)2+(、-6)2=1经过点力(3,4),则其圆心到原点的距离的

最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【变式3-11(23-24高三下•山东济南•开学考试)己知P是圆。:/+产=9上的动点,点Q满足所=(3,—4),

点力(1,1),则|4Q|的最大值为()

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【变式3-2](2024•全国•模拟预测)M点是圆C:(x+2)2+产=1上任意一点,43为圆的:(x-2>+y2=3

的弦,且|4B|=2/,N为4B的中点,则|MN|的最小值为()

A.1B.2C.3D.47

【变式3-3](2024・四川乐山•三模)已知圆0:%2+y2=i6,点F(—2弓+09),点E是±2第一y+16=0

上的动点,过E作圆。的切线,切点分别为4B,直线48与E。交于点M,则|M用的最小值为()

A3C3遥八5遥c3V19

A-7B--c-VD--

【题型4圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】

[例4](2024•河北邯郸•模拟预测)已知跖N是圆C:比2+y2_2y_3=0上的两个点,且|MN|=2近,

P为MN的中点,。为直线八x—y—3=0上的一点,则|PQ|的最小值为()

A.2V2B.V2C.2-V2D.V2-1

【变式4-1](2024•辽宁鞍山•二模)已知直线Z:£—y—2=0,点C在圆0-1)2+产=2上运动,那么点C

到直线I的距离的最大值为()

A.-V2+1B.-V2C.-V2D.—

2222

【变式4-2](2024•河北•二模)已知力(巧,为),B(久2,力)是圆/+俨=9上的两个动点,且叼久2+为乃=-p

若点M满足前=2而,点P在直线比+By-4b=0上,则|MP|的最小值为()

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【变式4-3](2024・湖南岳阳•二模)已知点4句,为),3(>2,乃)是圆/+必=16上的两点,若/HOB=],

则I%l+为—2|+I久2+>2—2|的最大值为()

A.16B.12C.8D.4

【题型5过圆内定点的弦长最值(范围)问题】

【例5】(23-24高二上•重庆•期末)已知圆的方程为/+产一8%=0,则该圆中过点P(2,l)的最短弦的长

为()

A.V10B.VilC.2V10D.2V11

【变式5-1](2024•陕西西安•模拟预测)已知直线〃tx+y—2t—43=0(teR)与圆C:(x—l)2+y2=16

相交于4B两点,则弦长|A8|的取值范围是()

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.(4旧,8)D.[4,4V3]

【变式5-2](23-24高二上•广东珠海・期末)已知直线八mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与

圆C:(x—+(y—2)2=25相交于/,B两点,则的最小值为()

A.4V5B.2C.4D.2^5

【变式5-3](2024•江西赣州•二模)已知直线2:(m+ri)x+(m—n)y—2m—O(mn*0).圆C:(x—2)2+(y—

2)2=8,则()

A./过定点(1,-1)B./与。一定相交

C.若/平分。的周长,则m=1D./被。截得的最短弦的长度为4

【题型6圆的切线长度最值(范围)问题】

【例6】(2024•全国•模拟预测)已知尸为直线/:x—y+l=0上一点,过点P作圆C:(x-+产=i的

一条切线,切点为/,则|P川的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【变式6-1](2024•新疆・二模)从直线x—y+2=0上的点向圆万2+丫2-4万一4了+7=0引切线,则切

线长的最小值为()

A.—B.IC.—D.--1

242

【变式6-2](2024•四川宜宾•二模)已知点P是直线x+y+3=0上一动点,过点P作圆C:(x++产=i

的一条切线,切点为力,则线段P4长度的最小值为()

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【变式6-3](2024・湖北•模拟预测)已知点P为直线I:3x—4y+12=0上的一点,过点P作圆C:(光—3尸+

(y—2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为()

12口13「V170„V194

AA-TB-Tc--D--

【题型7周长面积型最值(范围)问题】

【例7】(2024•上海普陀・二模)直线2经过定点P(2,l),且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A,B两点,

。为坐标原点,动圆M在△OAB的外部,且与直线1及两坐标轴的正半轴均相切,则△048周长的最小值是

()

A.3B.5C.10D.12

【变式7-1](2024・山西吕梁•一模)已知圆。:(久一4)2+3-2)2=4,点「为直线刀+丫+2=0上的动点,

以PQ为直径的圆与圆Q相交于4B两点,则四边形P4QB面积的最小值为()

A.2V7B.4V7C.2D.4

【变式7-2](2024高三•全国・专题练习)设尸为直线x—y=0上的动点,为圆C:(x-2)2+y2=1

的两条切线,切点分别为4B,则四边形4PBC的周长的最小值为()

A.3B.2+V3C.4D.2+2V3

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)已知4(一3,0),B(0,3),设C是圆M:/+y2一2%一3=0上一动点,

则△ABC面积的最大值与最小值之差等于().

A.12B.6V2C.6D.3近

【题型8数量积型最值(范围)问题】

【例8】(2024•陕西安康•模拟预测)在平面直角坐标系中,曲线丫=炉一4久+1与坐标轴的交点都在圆C

上,力B为圆C的直径,点P是直线3久+4y+10=0上任意一点;则丽•丽的最小值为()

A.4B.12C.16D.18

【变式8-11(2024・全国•模拟预测)已知圆。是圆心为原点的单位圆,48是圆。上任意两个不同的点,M(2,0),

则|加+而|的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,6)

【变式8-2](2024•河南开封•二模)已知等边△ABC的边长为百,尸为△ABC所在平面内的动点,且|而|=1,

则而•丽的取值范围是()

A•卜粉B.卜渭]C.[1,4]D,[1,7]

【变式8-3](2024•河北唐山・二模)已知圆C:/+(y—3尸=4,过点(0,4)的直线I与工轴交于点P,与圆C

交于4B两点,则而・(刀+方)的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【题型9坐标、角度型最值(范围)问题】

【例9】(2024•江西•模拟预测)已知点”是圆%2+、2=1上一点,点可是圆。(%-3)2+俨=3上一点,

则NCMN的最大值为()

A.-B.-C.-D.-

2346

【变式9-1](2024•全国•模拟预测)已知直线-y+2=0与圆。:/+y2=1,过直线,上的任意一点P

作圆。的切线Q4,PB,切点分别为4,B,贝I」乙4。8的最小值为()

A.—B.—C.-D.-

4326

【变式9-2](23-24高一下•河南洛阳・期末)在平面直角坐标系久Oy中,已知。(0,0),力(果0),曲线C上任

一点M满足|0M|=4|AM|,点P在直线y=&(%-1)上,如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2,那么点

P的横坐标t的范围是()

A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4

【变式9-3]⑵-24高二上•江西九江•期末)已知点P在直线Z:3久+4y+3=0上,过P作圆M:x2+y2-6%-

4y+9=0的两条切线,切点为4B,贝吐APB的最大值为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【题型10长度型最值(范围)问题】

【例10】(2024•山东枣庄•一模)在平面直角坐标系xOy中,已知4(一3,0),8(1,0)〃为圆。。一3)2+(>-

3)2=1上动点,则|P*2+|PB|2的最小值为()

A.34B.40C.44D.48

【变式10-1](23-24高三下•重庆•阶段练习)已知圆C:/+y2=4上两点力(打〃1),8(>2,月)满足打利+

为力=0,则|打+V3yi+6|+|x2+V3y2+6]的最小值为()

A.3V2-2B.6-2V2

C.6V2-4D.12-4V2

【变式10-2](2024・四川成都•模拟预测)已知P为直线Z:x+y=O上一点,过点P作圆M:(x-+(y-

1)2=1的切线P力(4点为切点),B为圆N:(x—3)2+(y—3)2=4上一动点.则|P周+|PB|的最小值是

()

A.V31-2B.3V2-1C.V31D.2近一2

【变式10-3](23-24高三上•辽宁大连•阶段练习)已知圆的:(%—2)2+(y—3)2=1,圆(无—3尸+(y—

4)2=9,M,N分别是圆Ci,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2迎D.5近一4

►过关测试

一、单选题

1.(2024•江西•模拟预测)已知实数a,b满足。2+》2=。一小则|a+b-3|的最小值为()

A.V2B.2C.苧D.4

2.(2024•四川攀枝花•三模)由直线y=x上的一点P向圆(久—4/+必=4引切线,切点为Q,则|PQ|的最

小值为()

A.V2B.2C.V6D.2V2

3.(2024•全国•模拟预测)直线y=k久+2被圆好+、2一6万一7=0截得的弦长的最小值为()

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

4.(2024•山东济南•三模)圆。-I)2+(y+=4上的点到直线3x+4y—14=0的距离的最大值为()

A.3B.4C.5D.9

5.(2024・陕西汉中•二模)已知OM:/+y2—2%—2y—2=0,直线〃2久+y+2=0,P为/上的一动点,

A,3为OM上任意不重合的两点,则cos乙4PB的最小值为()

A•一等B.4C.-gD.-I

6.(2024•安徽•模拟预测)已知点M是直线匕:a久+y—2a=0和《x—ay+2=0(aGR)的交点,4(一1,0),

且点M满足|M4|=;|M阴恒成立,若C(2,2),则2|M4|+|MC|的最小值为()

A.V6B.2V6C.V10D.2V10

7.(23-24高二上•黑龙江,期末)已知直线y=kx+2(fcGR)交圆。+y2=9于PQc-yi),Q(久2,乃)两点,

则|3打+4%+16|+|3冷+4y2+16|的最小值为()

A.9B.16C.27D.30

8.(2024•陕西西安一模)已知圆。的方程为:/+y=1,点4(2,0),B(0,2),P是线段上的动点,过P

作圆。的切线,切点分别为C,D,现有以下四种说法:①四边形PC。。的面积的最小值为1;②四边形PC。。

的面积的最大值为次;③丽•丽的最小值为-1;④瓦•丽的最大值为去其中所有正确说法的序号为()

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

二、多选题

9.(2024•安徽六安•模拟预测)已知圆C:%2+y2-4%-5=0,点P(a,Z?)是圆C上的一点,则下列说法正确

的是()

A.圆C关于直线x—3y—2=0对称

B.已知4(1,一2),8(5,0),则|P川2+的最小值为32—12应

C.2a+b的最小值为2—

D.弋2的最大值为广

a+34

10.(2024•吉林延边•一模)已知力。1,丫1),8。2,丫2)是圆。:/+:/=4上的两点,则下列结论中正确的是

()

A.若点。到直线力B的距离为鱼,贝!||4

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