直线、平面平行的判定与性质（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题33直线、平面平行的判定与性质6题型分类

彩题如工总

题型6：平行关系的综合应用题型1:直线与平面平行的判定

题型5：探索性问题题型2：直线与平面平行的性质

直线、平面平行的判定与性质6题

型分类

题型4：平面与平面平行的性质题型3：平面与平面平行的判定

彩和也宝库

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此

a(ta

判定定理平面内的一条直线平行,一bua>=〃〃a

那么该直线与此平面平行a//b.

一条直线与一个平面平

〃〃a]

行，如果过该直线的平面◎')/

性质定理曲\^a//b

与此平面相交,那么该直

aC\6=b,

线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

auB、

如果一个平面内的两条itbuB

判定定理交直线与另一个平面平行,aC\b=P〉»〃a

那么这两个平面平行Z7〃〃a

b"aJ

两个平面平行，如果另一个

性质定理平面与这两个平面相交,那1=>〃//b

6n尸zj

么两条交线平行

【常用结论】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则。〃及

2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若p//y,则。〃/

3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即bA_a,则

4.若Q〃夕，QU。，贝！J〃〃夕.

彩他题初籍

直线与平面平行的判定与性质

(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(aCa,bua,a//b=>a//a).

③利用面面平行的性质(a〃/，aua=a〃价.

④利用面面平行的性质(a〃S，a<tp,a//a=>a///3).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

题型1：直线与平面平行的判定

1-1.(2024高三・全国・专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,尸分别为尸。，尸8的中点，连接EA当G

为尸C上不与点P,C重合的一点时，证明：所〃平面BDG.

1-2.（2024高三・全国•专题练习）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABC。为矩形，二面角A-CD-尸的大

小为45。，DE//CF,CDIDE,AD=2,DC=3.求证：平面ADE.

1-3.（2024高三・全国•专题练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，E,尸分别是48,PC的中点.求

证：£F〃平面PAD.

14（2024高三・全国•对口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF,如图所示，N、M分别是对角线AE、

ENBM

上的点，且——二——.求证：〃平面防C.

ANMD

1-5.（2024・陕西安康・三模）如图，在四棱锥P-ABC。中，ED,平面ABCD,且四边形ABCQ是正方形,

E,F,G分别是棱BC,AD,P4的中点.

⑴求证：PE〃平面3FG；

平面JBCDC平面=/,证明：CDIII.

2-4.(2024高三下•河南•阶段练习)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，尸。,平面A5CD,

TT

PD=AD=CD=2,ZBAD=~,E为PC上一点.

(1)平面E4£>c平面P3C=/,证明：BC//1.

(2)当直线BE与平面BCD的夹角为刍时，求三棱锥P—BDE的体积.

彩傩甄祕籍。

平面与平面平行的判定与性质

(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/La,I邛0a〃扮.

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃从p//y^a//y).

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.

题型3:平面与平面平行的判定

3-1.(2024高三・全国・专题练习)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2,DE=BF,BF//DE,

〃为棱AE的中点.求证：平面即仍//平面EFC.

4-2.（2024高三.全国.专题练习）如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，点。为棱AC上动点（不与A,C重合）,

平面耳2。与棱4G交于点E.求证：BBJ/DE.

4-3.（2024高一•全国•课后作业）如图，在四棱柱ABCD-ABGA中，底面ABCD为梯形，AD//BC,平面

ADCE与BB1交于点E.求证：EC//A.D.

彩他题祕籍

解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.

题型5:探索性问题

5-1.（2024高三•全国•专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A与C中，ACYBC,AC=2,且BC=CG=1,

,BD

点D在线段BC（含端点）上运动，设％=当钻〃平面AC。时，求实数4的值.

5-2.（2024高三.全国•专题练习）如图、三棱柱4BC-的侧棱AA垂直于底面ABC,AABC是边长为

B.E

2的正三角形，⑨=3,点D在线段A0上且4。=2。8,点E是线段8G上的动点.当差为多少时，直

线£®〃平面ACJA?

5-3.（2024高二上•安徽合肥•阶段练习）已知正方体ABCO-AAGA中，P、Q分别为对角线3。、CA上的

（1）求证：2。//平面4。。4；

（2）若R是A8上的点，『的值为多少时，能使平面尸QR〃平面A2D4?请给出证明.

彩傩甄祕籍（四）

平行关系的综合应用

证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面

平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

题型6:平行关系的综合应用

6-1.（2024高二上•山西朔州朝中）如图所示，四边形EFG8为四面体的一个截面，若四边形所G8

为平行四边形.

⑵若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

6-2.（2024.福建泉州•模拟预测）如图所示的几何体是由圆锥与圆柱。。组成的组合体，其中圆柱的轴

截面ABC。是边长为2的正方形，圆锥的高S«=2,M为圆柱下底面圆周上异于A,B的点.

⑴求证：50〃平面MOC；

⑵若30°<ZBOM<45°,求直线AD与平面MOC所成角的正切值的取值范围.

6-3.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，NA=90°,AD=6,BC=4,AB=2,E,

厂分别是BC,AD上的点，£EFHAB,现将四边形ABE尸沿EF向上折起成直二面角，设区£=了（0<%<4）.

A

(1)若x=l,在边AO上是否存在点尸，满足AP=2AD,使得CP〃平面筋即？若存在，求出4；若不存在,

说明理由.

(2)当三棱锥A-CDF的体积最大时，求点F到平面ACD的距离.

6-4.(2024・河南•模拟预测)如图，在三棱锥P—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=26.,

「8=/^=6,8尸,4尸,以7的中点分别为DE,0,AO=@)0,点尸在AC上，BF1AO.

(1)证明：Ef7/平面AP。；

(2)证明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角尸—3C—A的大小.

炼习与桎升

一、单选题

1.(2024高一.全国.课后作业)已知直线。和平面a,那么能得出a//a的一个条件是()

A.存在一条直线6,aUb且bua

B.存在一条直线6,且

C.存在一个平面夕，au尸且a〃月

D.存在一个平面夕，a〃夕且a〃2

2.(2024高三.全国・专题练习)设a,夕为两个不同的平面，则a〃夕的一个充分条件是()

A.。内有无数条直线与月平行B.a,2垂直于同一个平面

C.a,夕平行于同一条直线D.a,P垂直于同一条直线

3.（2024高一•全国•课后作业）如图，在正方体ABC。一4夕。。中，E,尸分别为平面ABCQ和平面AECD

的中心，则正方体的六个面中与E尸平行的平面有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2024高一下.江苏常州•期末）若a、夕是两个不重合的平面，

①若。内的两条相交直线分别平行于夕内的两条直线，则。〃£；

②设夕相交于直线/,若a内有一条直线垂直于/,则C6；

③若a外一条直线/与a内的一条直线平行，则〃/&-

以上说法中成立的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

5.（2024高一下.四川成都.阶段练习）设a,6为两条直线，名尸为两个平面，下列四个命题中，正确的命题

是（）

A.若aIla,bua,则a//6B.若aIla,b//p,a/1/3,则q//6

C.若。ua,bu。,a/lb,则a//尸D.若aUa,bua,a//b,则a//a

6.（2024高一下.全国•课后作业）如图，己知立方体48CD—4〃。。，点E,F,G,〃分别是棱ADBB',

B'C,的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面49。，平行的条数是（）

A.0B.2

C.4D.6

7.（2024高一.全国.课后作业）如果a,b表示直线，«,夕表示平面，那么下列说法中正确的是（）

A.若abua,则a〃aB.若a〃a,b//a,则

C.若a〃b,b//a,则a〃aD.若a〃a,au0,a[\p=b,则a〃6

8.（2024高三.全国・专题练习）如图，正方体ABCD-A4GR的棱长为1,E,尸是线段8Q上的两个动点,

BF/mACE,则麻的长度为（）

A.2及B•学C.72D.2

9.（2024高一•全国•课后作业）直线。与平面a不平行，则a内与a平行的直线有（）

A.无数条B.0条C.1条D.以上均不对

10.（2024高三•全国•对口高考）过直线/外两点作与/平行的平面，那么这样的平面（）

A.不存在B.只有一个C.有无数个D.不能确定

11.（2024高一•全国•课后作业）如果两直线。〃6,且“〃0（,则b与a的位置关系是（）

A.相交B.b//aC.buaD.b〃a或bua

12.（2024高一.全国•课后作业）b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出Mla的是

A.b与a内的一条直线不相交

B.6与a内的两条直线不相交

C.6与a内的无数条直线不相交

D.6与。内的所有直线不相交

13.（2024.全国）设a,4为两个平面，则&〃Q的充要条件是

A.a内有无数条直线与夕平行

B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

14.（2024•浙江）如图已知正方体ABCD-ABIG。，M,N分别是4。，的中点，贝|（）

A.直线4。与直线垂直，直线MN〃平面43co

B.直线4。与直线平行，直线跖V，平面以兀（力

C.直线AQ与直线相交，直线MN〃平面ABC。

D.直线4。与直线。出异面，直线平面3。2瓦

15.（2024•全国）在正方体ABCD-A4G。中，E,尸分别为AB,BC的中点，贝|（）

A.平面片£厂，平面8。。B.平面用跖，平面

C.平面片所〃平面AACD.平面4斯//平面

16.（2024高一下•四川成都•期末）在底面为等边三角形的三棱柱ABC-AgG中，已知平面ABC,

AB=2,M=4,。是棱CG的中点，M是四边形山狙4内的动点，若〃平面A&X则线段GM长

度的最小值为（）

A.2A/2B.2C.y/3D.77

17.（2024高二上・浙江杭州・期中）如图,四棱锥尸-48。。的底面至。。是平行四边形,〃、"分别为线段尸C、

PB上一点，若PM:MC=3:1,且AN〃平面BDAf,则PN:NB=

B.3:1

C.3:2D.2:1

18.（2024高一•全国•课后作业）下列说法正确的是（）

A.直线/平行于平面a内的无数条直线，贝1|/〃a

B.若直线a在平面a外，则。〃a

C.若直线acb="，直线6ua,贝！Ja〃a

D.若直线a〃b,bua,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线

19.（2024高一•全国•课后作业）已知A、B、C、。是不共面四点，M,N分别是AACD、△BCD的重心.以

下平面中与直线MN平行的是（）

①平面ABC；②平面AflD；③平面ACZ）；④平面3C£）.

A.①③B.①②C.①②③D.①②③④

20.（2024高三下.湖南岳阳•开学考试）a,b,c为三条不重合的直线，a,夕，7为三个不重合的平面，现

给出下面六个命题：

①a〃c,b//c,则a〃6；②若。〃7,b//y,则

③&〃c,13//c,则a〃尸；④若a//y,/?〃7,则a〃万；

⑤若a〃c,a//c,则aPa；⑥若a〃7,a//y,则aPa.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

重难点专题04空间直线平面的平行-【同步题型讲义】）如图，点A、B、C、M.N为正方体的顶点或所

22.（2024高一上•广西崇左•期末）过直线,外两点，作与/平行的平面，则这样的平面（）

A.不可能作出B.只能作出一个

C.能作出无数个D.上述三种情况都存在

二、填空题

23.（2024高一下•山东东营•阶段练习）以下四个命题中，真命题是（只填真命题的序号）.

①若。，6是两条直线，且。/力，则a平行于经过b的任何平面;

②若直线。和平面a满足a//a,则a与«内的任何直线平行；

③若直线。，6和平面口满足。〃a,blla,则W力；

④若直线a,6和平面“满足a//Z>,alia,b<Za,则b//a.

24.（2024高二上•江西赣州•阶段练习）已知四棱锥P-ABC。的底面为平行四边形，E,F,G分别为必，PD,

CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为.

25.（2024高三・全国•对口高考）如图所示，已知ABCD是平行四边形，点尸是平面ABCD外一点，M是PC

的中点，在立欣上取一点G,过G和AP作平面交平面双砌于GH,则转与G/Z的位置关系是.

26.（2024高一下.安徽马鞍山.阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面A8CD是平行四边形，分别为

线段PC,P3上一点，若PM：MC=4：1,且AN//平面双必，则PN：NB=.

27.（2024高一上•全国・专题练习）正方体ABCD-ABCQ中，E为的中点，则与过A,C,E三

点的平面的位置关系是

28.（2024高一下•全国•课后作业）在AABC中，AB=5,AC=1,ZA=60°,G是重心，过G的平面。与

8C平行，ABrya=M,AC[}a=N,则AW=.

三、解答题29.（2024高三・全国・专题练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。为正方形，E为依的

中点.证明：尸£）〃平面E4C.

B2-----------------%

30.（2024高三・全国・专题练习）在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为直角梯形，BC//AD,

BC=CD=^AD=l,E为线段AD的中点，平面5EF与棱尸。相交于点G.

求证：BE//FG.

31.（2024高三.全国・专题练习）四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面&W与平面S3C的交线为/,

求证：直线/平行于平面ABCD.

32.（2024高三.全国・专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是梯形，AB//CD,AB=2CD,

E为棱尸3的中点.证明：CE〃平面PAD.

33.（2024高三・全国・专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，E,尸分别为PC,尸3的中点，平面AEP与底面

A3C的交线为/.证明："/平面P3C.

34.（2024（W；二.全国•专题练习）在如图所示的圆柱中，A3,C£）分别是下底面圆0,上底面圆。1的直径,

ADIC是圆柱的母线，E为圆。上一点，尸为。E上一点，且OP〃平面BCE.

求证：DP=PE.

35.（2024高三.全国•专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABC。的一个截面，若截面为平行

四边形.求证：〃平面EFGH.

36.（2024高三・全国・专题练习）如图，直四棱柱A8C。-A4G。被平面a所截,截面为CDEF,且EF=DC,

DC=2AD=4AE=2,ZADC=~,平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为.证明：AD//BC.

i33

37.（2024高三.全国•专题练习）在圆柱中，等腰梯形ABC。为底面圆。|的内接四边形，且

AD=DC=BC=1,矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.

求证：平面QCG〃平面ADE.

38.（2024高三.全国•专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边上，且满足A。=DE==走,

2

将VADE沿AE向上翻折，使点。到点尸的位置，构成四棱锥P-ABCE.点F在线段AP上，且斯//平面

PBC,试确定点r的位置.

39.（2024高三・全国・专题练习）如图所示，在直三棱柱ABC-AB©中，AC1BC,AC=BC=CCX=2,

点。、E分别为棱AC、4G的中点，点歹是线段8片上的点（不包括两个端点）.设平面。斯与平面ABC

相交于直线加，求证：A4//m.

40.（2024高三.全国•专题练习）如图，在三棱锥尸-ABC中，点E是PC的中点，点P在尸3上，平面AEb

与平面ABC相交于直线/,BC//1,证明：F是PB的中点.

41.（2024高三•全国・专题练习）直四棱柱ABCD-4耳G。中，AB//DC,求证：〃平面。CCQ.

42.（2024高三・全国・专题练习）如图，在三棱锥B-ACD中，AB=BC,DA±AC,G为点3在平面ACD

上的射影，〃为BC的中点.证明：MG〃平面MD.

43.（2024高三・全国•专题练习）如图，四棱锥P-ASCD中，阳，平面A3CD,四边形ABCD是正方形，E,

F,G分别是棱BC,AD,的中点.证明：PE〃平面BFG.

P

44.（2024高三・全国・专题练习）如图，在三棱柱ABC-A与G中，底面ABC,AB=AC=45,BC=2,

A4,=0,D、E分别为棱BC、44的中点，4P=2丽，QQ=2QE.求证：尸。〃平面C|A。.

45.（2024高三•全国・专题练习）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为棱48的中点，DE与AC

交于点b，G为APBC的重心.求证：尸G〃平面

46.（2024高三.全国•专题练习）如图，在正三棱柱ABC-A4G中，。，2,尸分别是BC,A片的中

点，BC=4B£，求证：EF〃平面

47.（2024高三.全国•专题练习）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，E、尸分别是48、尸£）的中点.求证:

AF〃平面PEC.

48.（2024高三.全国•专题练习）如图，在多面体ABCDEF中,四边形A8CD是正方形，AE//CF,AE=2CF,

G为AE的中点.求证：CG〃平面DEF.

Bc

49.（2024高一.全国•课后作业）长方体48。-4旦£。中,M是矩形BCC4的中心，N是矩形CDDg的

中心.证明：MM/平面ABCD

50.（2024高三.全国.专题练习）在多面体A3CGA耳中，四边形24cle是正方形，A为A片的中点，求证:

直线AC//平面A^G.

51.（2024高三上.陕西汉中•期末）如图，在三棱柱ABC-A4G中，41口平面ABC,且

AAMABMBCMACMZ,点E是棱AB的中点.

G

⑴求证：26//平面4比；

（2）求三棱锥E-A〈G的体积.

52.（2024高三・全国・专题练习）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，点。是棱BC的中点.求证：〃平

面ACtD.

53.（2024高三・全国・专题练习）在如图所示的三棱锥O-MC中，已知E为A3的中点，尸为AC的中点,

G为CD的中点.证明：AD//平面£FG.

54.（2024高三.全国•专题练习）如图，四棱锥尸-ABCD中，四边形ABC。为梯形，AB//CD,ADJ.AB,

AB=AP=2OC=4,PB=2AD=4五,PD=2瓜M,N分别是P。，P8的中点.求证：直线加N//平

面ABCD.

55.（2024高三.全国・专题练习）如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABC。的中心为。，尸。边上的

垂线交线段尸。于点孔PF=2FO.证明：EO〃平面尸BC.

56.（2024高三.全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，AZMBC,BC=2,4。=4,点E为的中点.求

证：3E〃平面PCD

p

57.（2024高三•全国・专题练习）如图1,在平行四边形ABCM中，AB=2BC=273,ZMAD=60°,D为CM

的中点，AF=^FC,AH=HD，沿AD将翻折到△R4D的位置，如图2.证明：加7/平面PBD.

58.（2024高三.全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，ADUBC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=^AD=\,E为边AO的中点，异面直线出与8所成的角为90。.在直线R4上找一点使

得直线MC〃平面PBE,并求*的值.

AP

P

59.（2024高二・全国・专题练习）在四棱锥尸-ABCD中，己4,底面ABCD,且上4=2,四边形ABCD是直

角梯形，且至，AD,BC//AD,AD=AB=2,3c=4,M为PC中点，E在线段BC上，且5E=1.求证:

OW//平面上4B；

60.（2024・四川南充•三模）如图所示，已知AC3D是圆锥SO底面的两条直径，M为劣弧BC的中点.

（2）若/BOC=T，E为线段上的一点，且SE=2EM,求证：平面3CE〃平面皿入

61.（2024高二.全国•专题练习）如图，在三棱柱ABC-人出。中，平面ABC,D,£分别为棱AB,