七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题10 解题技巧专题：平行线中拐点问题压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题10解题技巧专题：平行线中拐点问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线中含一个拐点问题】 1【考点二平行线中含两个拐点问题】 8【考点三平行线中含多个拐点问题】 13【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 19【考点五平行线与平移综合拐点问题】 24【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．【答案】（1），理由见解析；（2）【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用．（1）过点作，利用平行线的性质即可解答；（2）先利用三角形的内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用“猪蹄模型”可得，最后进行计算即可解答．【详解】（1），理由：如图，过点作，，，，，，；（2），，，，，由（1）可得：，，．【变式训练】1.（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出．【详解】解：过P作直线，如下图所示，∵，，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故选：D．2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】（3）如图③，已知，，，则°．【答案】（1）见解析；（2）；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点作，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：如图①，过点作，则，又∵，∴，，，即；（2）解：．证明：如图②，过作，，∵，∴，，，即：．故答案为：；（3）如图③，过作，，∵，∴，，，故答案为：20．3．（2024下·全国·七年级假期作业）如图①，已知直线，且和分别交于两点，和分别交于两点，点在线段上，设．(1)试找出之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，点在点的北偏东的方向上，在点的北偏西的方向上．应用（1）中的结论求的度数；(3)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系．【答案】(1)．理由见解析(2)(3)∠1，∠2，∠3之间的关系为或【详解】（1）．理由如下：，．在三角形中，，．（2）由（1）可知，．（3）①当点在的延长线上时，如图①所示．过点作，交于点，则．．，；②当点在的延长线上时，如图②所示．过点作，交于点，则．，，．，．综上所述，∠1，∠2，∠3之间的关系为或4．（2024上·安徽安庆·八年级统考期末）问题情境：如图1，，，，求的度数．问题迁移：(1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由．(2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)，理由见解析(2)或【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用；（1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】（1），理由如下：如图3，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）当P在延长线时，；理由：如图4，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；当P在之间时，．理由：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．综上所述，，，之间的数量关系为或．【考点二平行线中含两个拐点问题】例题：（2024上·重庆·七年级重庆八中校考期末）如图，直线，点E，F分别在直线和直线上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为．【答案】/度【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点作，过点作．根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得．【详解】解：如图所示，过点作，过点作，

∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴．∵，∴，∴故答案为：．【变式训练】1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，已知，点E，F分别为，之间的点．(1)如图1，若，求的度数；(2)若．①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．【答案】(1)(2)①，是定值

②【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题；（2）①如图,过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，平分，平分，可得，由三角形的内角和定理可得，结合①得:，从而可得．【详解】（1）解：过点E作，∵，∴，∴，，∴；（2）①，是定值，理由如下：如图,过作，过作，∵AB∥CD，∴，而，∴，，，∴；②如图,∵平分，平分，，，∵由①得:，．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.

(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（

）内填写依据.证明：过点P作直线，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若，求的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行；(2)①，理由见解析；②(3)【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案；（2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案；（3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论．【详解】（1）证明：过点作直线，（已作），（两直线平行，内错角相等）又，（已知），，（平行于同一直线的两直线平行），，；（2）解：①.理由：如图1，分别过点P，Q作，.的平分线与的平分线交于点，，..同（1）可证得，②，，.又，

（3）过点P、H作，∵，∴，∴，∴，即故答案为：

【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为．

【答案】【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论．【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作，∵，∴，

∵，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴；故答案为：【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．【答案】/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【详解】过点、、分别作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案为：．2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：

已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度．【答案】180，360，．【分析】作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补解题即可．【详解】解：如图1，∵，∴；如图2，过作，∵，∴，∴，，∴；

同理可得：；故答案为：180，360，．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么______；只要直接填上正确结论即可（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答；利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答；根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答；过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而利用的结论可得，进行计算即可解答；过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答．【详解】解：过点作，

，，，，，；由得：，，、分别平分、，，，，即；，理由：、分别平分、，，，，由得：，，即；过点作，过点作，

，，，，，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：；过点作，过点作，过点作，

，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：（2024上·广东深圳·八年级统考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由平行线的性质即可得出，求得，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：由题意知，∴，∴，∴，故选：B．【变式训练】1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点作工作篮底部，

，工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，，，，，，故选：．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为．【答案】74【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则．【详解】解：如图所示，过点作，过点作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故答案为：．3．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．

(1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）(3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)，理由见解析；(2)当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底；(3)存在，或【分析】（1）计算的值即可求解；（2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解；（3）分类讨论即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：∵∴∴∵∴∴∴（2）解：∵∴∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底；（3）解：时，如图：

若，则解得：；时，如图：

，不满足题意；时，如图：

不满足题意；时，如图：

若，则解得：；综上所述：当或时，使得与平行【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是解题关键．【考点五平行线与平移综合拐点问题】例题：（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．

(1)求的度数；(2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接．①如图2，当时，求的度数；②如图3，当时，求的度数；③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案；（2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案；②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解；③分两种情形：图2，图3分别求解即可．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如图2，过点D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如图3，过点D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如图2，当时，由①知，，，∴；如图3，当时，由②知，，，∴

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题．【变式训练】1．（2023下·广东广州·七年级统考期末）如图①，直线，直线与分别交于点G，H，．将一个含角的直角三角板放置图中，使点N，M分别在直线上，，．

(1)填空：_____（填“”