辽宁省部分学校2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省部分学校2024届高三上学期期末数学试题一､选择题1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（）A.{x|1≤x≤4} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜2} D.{x|2＜x≤3}【答案】A【解析】因为，或，所以，，故选：A．2.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵直线，直线与垂直，，解得，的倾斜角为.故选：B.3.已知是两个单位向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】因为，等价于，即，即，又是两个单位向量，则，即，所以，所以等价于，即“”是“”的充要条件.故选：C.4.某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据已知条件：用“”进行排列设置6位数字密码共有种排列方法，其中两个“1”相邻的情况共有种方法，所以两个“1”相邻的概率是.故选：C.5.双曲线的焦距为（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】双曲线的方程可化为，根据反比例函数的性质可得，轴，轴是其渐近线，且夹角为该双曲线为等轴双曲线，且实轴长为，，双曲线的焦距为.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以故选：B7.若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则有，设过点作曲线的切线，切点为，根据题意有，即，又，可得，因为，所以上式可化为，整理有：，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程有两解，所以，即，解得或.故选：D8.以半径为的球为内切球的圆锥中，体积最小值时，圆锥底面半径满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆锥的高为，如图，为圆锥的轴截面，则，解得，故圆锥的体积，当，即时，，所以圆锥体积最小值时，圆锥底面半径满足.故选：D.二､多选题9.已知为复数，设，，在复平面上对应点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】设，，，，，，对于A，，故选项A正确；对于B，，，故选项B正确；对于C，，当时，，故选项C错误；对于D，，可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.故选:AB.10.已知正方体，点满足，下列说法正确的是（）A.存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点，使得平面C.存在无穷多个点，使得D.存在唯一一点，使得平面【答案】ACD【解析】点满足，即点在正方形内（包括正方形的四条边）上运动，对于A：取线段的中点，过点作正方体的截面，因为面面，面面，根据面面平行的性质定理知如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行，所以有，即四边形为平行四边形，又为线段的中点，则有，所以四边形为菱形，所以当点在线段上时，过的平面与正方体的截面是菱形，故有无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形，A正确；对于B：在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边行，所以，又面，面，所以面，同理可得面，又，面所以面面，当点在线段上时，有平面，故有无穷多个点，使得平面，B错误；对于C：连接，根据正方体可得，又面，所以面，又面，所以，同理，又面，所以面，当点在线段上时，有，故有无穷多个点，使得，C正确；对于D：由选项证明面同理可证明面，过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，当且仅当点在点位置时，有平面，所以存在唯一一点，使得平面，D正确.故选：ACD.11.已知数列，现在对该数列进行一种变换，规则每个0都变为“”，每个1都变为“”，得到一个新数列，记数列，且的所有项的和为，则以下判断正确的是（）A.的项数为 B.C.中1的个数为 D.【答案】ABC【解析】设数列的项数为一个数列，因为中有项，即，根据题意：在作用下，每个0都变为“”，每个1都变为“”，所以有，由此可知数列为首相，公比的等比数列，所以的项数为；根据变换规则，若数列的各项中，与的个数相同，则与之相邻的下一个数列中与的个数也相同；若比多个，则与之相邻的下一个数列中比的个数少个；若比少个，则与之相邻的下一个数列中比的个数多个；因为中有项，其中个，个，比少个，所以的项中，比的个数多个；以此类推，若为奇数，则数列的各项中比少个，若为偶数，则数列的各项中比多个；根据以上分析的项数为，所以A正确；中共有项，其中为奇数，所以数列中有个，有个，所以，所以B正确；中，项数为个，为偶数，所以1的个数为，所以C正确；D选项，的值与的奇偶有关，所以D错误.故选：ABC12.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.，所以，故D正确.故选：ABD.三､填空题13.的展开式中的系数为____.【答案】28【解析】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.14.已知函数的部分图像如图所示，其中的图像在轴右侧与轴的交点的横坐标从小到大依次.且，则__________.【答案】【解析】由图知最大值与最小值分别为……①由标准正弦函数图像可知，相邻两个零点的差值为半周期，零点下标差为2时，两个零点的差值为整周期，即.由可知：……②①②代入有：令……③由③式可知在轴左侧的第一个零点为，故.故答案为：.15.函数的最大值是______.【答案】【解析】，由定义知且.，故可设，，则有，可看作是动点与定点连线的斜率.而动点M的轨迹方程，即是半圆（如图2-31所示）.设切线为，T为切点，，，，，即函数的值域为故答案为.16.已知抛物线：的准线为，过点的直线交于，两点，的中点为，分别过点，，作的垂线，垂足依次为，，，则当取最小值时，______.【答案】【解析】依题意不妨设直线的方程为，，联立，消得，则，得，，，又因，则，当时，取得最小值，此时，所以.故答案为：.四､解答题17.的内角的对边分别为设.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）因为，所以，由余弦定理得，解得，所以，所以.18.已知正项数列的前项和为，且对一切正整数都成立，记.（1）求数列的通项公式；（2）已知，为正整数.记数列的前项和为，求.解：（1）由，令得，从而.时，有，则两式相减得.整理得，从而，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由题意，，从而.19.如图，在五棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）已知直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.（1）证明：因为，，，在中，由余弦定理有：，即，解得，所以有，由此可知为等腰直角三角形，所以，又因为，所以，即；因为平面，平面，所以；因为，，平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系，设，如图，取中点，连接，因为，，，，在中由余弦定理有，解得，，所以为等腰直角三角形，所以，；又因为，所以，所以，又，，所以四边形为正方形，所以；点到轴距离为，点到轴距离为，所以，，，，；所以，，，设平面法向量为，则有，即，解得；因为直线与平面所成的角为，所以，整理有：，，因为，解得；设点到平面的距离为，，平面的法向量为，所以，所以点到平面的距离为.20.已知椭圆（）的离心率为，左､右焦点分别为，.过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形的面积的最小值.解：（1）因为，垂足为，O为的中点，所以，即，又因为离心率，所以，，椭圆的方程为.（2）当直线BD的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积为；当直线BD的斜率存在且不为零时，设直线BD的方程为，，，联立方程组，得，则，，，由，及椭圆的对称性，，四边形ABCD的面积，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以四边形ABCD的面积最小值为.21.某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位销售，已知这批产品中每箱都有废品.每箱的废品率只有或者两种可能，且两种可能的产品市场占有率分别为.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数）（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（2）现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品①求此箱是废品率为的概率；②判断此箱是否可以购买，并说明理由.解：（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：，所以在不开箱检验的情况下，可以购买.（2）①设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则，设事件：抽取的是废品率为的一箱，则，所以发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品的条件下，此箱是废品率为的一箱的概率为；②设正品价格的期望值为，则，事件：抽取的是废品率为的一箱，则，所以,所以在已发现抽取检验的2件产品中恰有一件是废品的情况下，此箱可以购买.22.对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”．（1）设函数，其中，．①若是单调函数，求实数a的取值范围；②证明：函数不是“极致0函数”．（2）对任意，证明：函数是“极致0函数”．（1）①解：由题意，得．（i）若在上单调递减，则恒成立，即恒成立，所以；（ii）若在上单调递增，则恒成立，即恒成立，所以．综上，实数a的取值范围为．②证明：假设是“极致0函数”，则是的极值点，所以，解得，由①可知，当时，在上单调递减，与是的极值点矛盾，故不是“极致0函数”．（2）解：由题意，得，则．当时，，易知当时，．设