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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省景德镇市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,集合,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得又因为,所以.故选:D.2.下列调查方式中,可用普查的是()A.调查某品牌电动车市场占有率 B.调查2023年杭州亚运会的收视率C.调查某校高三年级的男女同学的比例 D.调查一批玉米种子的发芽率【答案】C【解析】选项ABD调查对象的数目较多,适合采用抽查;C调查对象的数目较少,适合采用普查.故选:C.3.当且时,函数恒过定点()A. B. C. D.【答案】B【解析】当时,,与无关,则函数恒过定点.故选:B.4.已知,则下列判断正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以.故选:D.5.函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知,为增函数,再由,所以,根据零点存在定理知,零点在范围内.故选:B.6.国家高度重视青少年心理健康问题,某校为了调查学生的心理健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有45名学生,将每一学生从01到45编号,从下面所给的随机数表的第2行第9列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为()随机数表如图:251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】从随机数表第2行第9列的数开始,每次从左向右选取两个数字,去掉超过45和重复的号码,选取的前3个数依次为32、37、27,故选取的第三个号码为27.故选:C.7.地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关,可以用关系式表达:,其中为震级,为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震,此前11月19日该地发生了5.0级地震,则第一次地震能量大约是第二次地震能量的()倍(参考数据:)A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】第一次,即①,第二次,即②,①②得,,即由题可知,.故选:D.8.已知(且且),则函数与的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由,即为,即有;当时,,函数在上为增函数,在为增函数,选项B满足;当时,,函数在上为减函数,在为减函数,四个图象均不满足,在同一坐标系中的图象只能是B.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,下列说法不正确的是()A.总体指的是该市高一年级考试的全体学生B.样本是指2000名学生的数学成绩C.样本容量指的是2000名学生D.个体指是指2000名学生中的每一名学生【答案】ACD【解析】对于A:总体指的是该市高一年级考试全体学生的数学成绩,故A错误;对于B:样本是指2000名学生的数学成绩,故B正确;对于C:样本容量指的是2000,故C错误;对于D:个体指是指2000名学生中的每一名学生的数学成绩,故D错误.故选:ACD.10.下列函数为奇函数的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于选项A:定义域,关于原点对称,,所以为奇函数,故A正确;对于选项B:定义域或,关于原点对称,,所以为奇函数,故B正确;对于选项C:定义域,关于原点对称,,所以为偶函数,故C错误;对于选项D:定义域,关于原点对称,,所以为奇函数,故D正确.故选:ABD.11.2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”,“全民健身日”提升全民健身意识,让健身成为一种习惯和风俗,为倡导健康生活方式,某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图,则下列说法正确的是()甲、乙步数折线统计图A.这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C.这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差D.这一星期内乙的日步数的分位数是12400【答案】BC【解析】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为:,所以中位数为12600;由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为:,所以中位数为12600;故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600,A错误;这一星期内甲的日步数的平均数为:,这一星期内乙的日步数的平均数为:,因为,故B正确;由图知,甲的波动程度较大,故方差,标准差较大,故C正确;乙一星期内的步数从小到大的排列为:,故这一星期内乙的日步数的分位数是13800,故D错误.故选:BC.12.已知函数,下列说法正确的是()A.B.函数在上单调递减C.函数存在零点D.不等式的解集为【答案】BD【解析】函数图象如下:对于A,的定义域为,,故A错误;对于B,,当时,、,且都上单调递增,在上单调递减,故函数在上单调递减,故B正确;对于C,,函数没有零点,故C错误;对于D,由前可知,不等式满足或或,解得,故D正确.故选:BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域是______________.【答案】【解析】由题意结合对数函数定义域可知,解不等式得,因此函数的定义域是.故答案为:.14.某校有高级教师90人,中级教师150人,其他教师若干人.为了了解教师的健康状况,从中抽取60人进行体检.已知高级教师中抽取了18人,则从中级教师中抽取的人数是______.【答案】30【解析】由题意知,抽取的比例为,则中级教师抽取人.故答案为:30.15.已知函数,且满足,则实数的取值范围是______________________.【答案】【解析】易知的定义域,关于原点对称,又,故为奇函数,,又均为上的增函数,故为上的增函数,又为奇函数,故为上的增函数;即,故.故答案为:.16.已知函数定义域为,对于任意,当时,(其中为自然对数的底数),若,则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】因为函数的定义域为,所以,则,又因为,,所以,则,令,则,又,所以在内单调递减函数,因为,所以可变为,即①,令,则①可变为②,又因为,故②变为,又在内单调递减函数,则.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1);(2).解:(1).(2).18.已知函数.(1)在给出的坐标系中画出函数的图象;(2)根据图象写出函数的单调区间和值域.解:(1)利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数的图象为:(2)由函数的图像可知,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,函数的值域为.19.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值和样本成绩的四分位数;(2)已知落在的平均成绩是65,方差是11,落在的平均成绩为75,方差是16,求两组成绩的总平均数和总方差.解:(1)利用每组小矩形的面积之和为1可得,,解得,四分位数分别第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,设第百分位数为,则;设第百分位数为,则;设第百分位数为,则;所以该数据的四分位数分别为65,75,84.(2)由图可知,成绩在的市民人数为,成绩在的市民人数为,所以;由样本方差计算总体方差公式可得总方差为:.20.已知函数,(,且).(1)当时,求函数的单调区间;(2)是否存在实数,使得函数在区间上取得最大值2?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可得,即函数的定义域为,当时,,令,则,对数函数的单调性可知函数在内单调递增,函数图象的对称轴为直线,当,函数在上递增,在上递减,所以,由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(2),(,且),令,由,得,则的值域为,(ⅰ)时,在上单调递减,所以函数在上的最大值为,则,,满足题意.(ⅱ)时,在上单调递增,所以函数在区间上的最大值为,则,满足题意,综上所述:的值为或.21.芯片是现代科技发展的重要组成部分,它的出现和发展对科技领域产生了深远影响.芯片的应用非常广泛,从智能手机、电脑、平板电脑到汽车、医疗设备、航空航天等领域有着广泛的应用,为进一步激励国内科技巨头加大科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元,每生产1万部还需另投入10万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完;平均每万部的销售收入为万元,且.(1)写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,公司
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