江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.故选：B2.圆不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】圆化为(，表示圆心为，半径为5的圆，如图所示：所以，圆不经过第三象限．故选：C．3.双曲线的一个焦点是，则（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】由双曲线的一个焦点是，得，方程为，则，解得.故选：D4.直线与圆交于、两点，则的面积为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，则，所以的面积为.故选：C5.已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设Mx,y，，，得，所以点到轴的距离为.故选：B.6.点在直线上运动，，，则的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】点，都在直线的下方，点关于直线的对称点，于是，当且仅当点是线段与直线的交点时取等号，所以的最小值是5.故选：C7.已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，设点，则，即，依题意，，因此，所以椭圆的离心率.故选：A8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（）A.1或3 B.2 C.5 D.1或5【答案】D【解析】设，由，得，整理得，又点是圆上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.过点并且倾斜角为的直线方程为B.直线与直线之间的距离为C.直线在轴上的截距为D.将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为【答案】ACD【解析】A.过点并且倾斜角为的直线方程为，故A正确；B.直线与直线之间的距离，故B错误；C.直线，时，，所以直线在轴上的截距为，故C正确；D.直线过原点，且倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转，旋转后直线的倾斜角为，也过原点，得到直线方程为，故D正确.故选：ACD10.已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（）A.直线恒过定点B.圆被轴截得的弦长为C.点到直线的距离的最大值是D.直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为【答案】ABD【解析】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确；B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误；D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.故选：ABD11.《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（）A.动点的轨迹方程为：B.的最大值为16C.点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为D.直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为【答案】AD【解析】设，则，化简为，故A正确；B.由A可知，，的最大值为，故B错误；C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则，即，，，所以，则，故C错误；D.四边形是平行四边形，即，,当，即时，等号成立，所以则的最小值为，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，若，则______.【答案】【解析】由题意可知，，解得：.故答案为：13.已知圆和圆，则两圆公共弦的弦长为_______.【答案】【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为，点到直线的距离，所以公共弦长为.故答案为：14.已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是_____，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，_______.【答案】①②2【解析】抛物线的焦点为，准线方程为；设，则，当且仅当时取等号，此时.故答案为：；2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.（1）求所在直线的方程；（2）求高所在直线的方程.解：（1）由，边中点，得点，又点，则直线的斜率，直线的方程为，即，所以所在直线的方程为.（2）由（1）知，直线的斜率，所以高所在直线方程为，即.16.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于、两点，_____，求的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；条件②：；条件③：.解：（1）设圆心，半径为，则，解得：，所以圆的方程为；（2）若选条件①，则劣弧所对的圆心角为，所以圆心到直线的距离为，即，解得：或；若选条件②，，，所以圆心到的距离为，即，所以或；若选条件③，，则圆心到的距离为，即，所以或.17.已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.解：（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为，而点在双曲线上，因此，方程为，所以双曲线的标准方程为.（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，由消去得，由线段的中点为M1,1，得，解得，此时方程为，，因此，所以直线的方程为，即.18.已知表示圆的方程.（1）求实数的取值范围；（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程；（3）为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值.解：（1）圆的方程，可化为，∵该方程表示圆，∴，解得，∴实数m的取值范围为．（2）圆的半径，∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为，圆心，半径，当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意；当切线斜率存在时，设其方程为y=kx-1，即，∵圆心到切线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程，即，综上，切线的方程为或.（3）设Px,y，又，，，则，设，则表示圆上的点与点的距离的平方，∵，则点在圆外，所以，则∴的最小值为．19.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与