材料力学课件：平面弯曲杆件的变形与刚度计算

1§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁

平面弯曲杆件的变形与刚度计算2吊车大梁车床主轴变形过大导致吊车产生剧烈的震动吊车大梁变形过大导致加工零件的不合格车床主轴平面弯曲变形的工程实例37-1挠曲线的概念

挠度和转角挠度曲线－梁弯曲变形后，轴线变为连续、光滑的曲线，称之为挠度曲线（简称挠曲线）。

梁弯曲变形后横截面产生两种位移－横截面形心的线位移w；－横截面的角位移θ。小变形

形心沿轴线方向位移不计4梁的变形描述挠度－横截面形心沿垂直于初始轴线方向的线位移

w。－沿w坐标正向为正，反之为负。－单位：m或mm。转角－横截面绕中性轴转过的角度

θ。－挠曲线某点斜率为正，转角为正。－单位：rad。转角与挠度的关系小变形挠曲线方程挠度转角5梁的变形与位移思考：图a和图b所示两梁的长度、材料、横截面形状和尺寸均相同，试分析它们的变形和位移是否相同。解：如图所示两梁的受力相同，弯矩图相同，则两梁各相应微段的变形相同。即挠曲线形状相同。两梁的支承条件不同，则挠曲线位置不同。即两梁各相应截面的挠度和转角互不相同。6§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁第7章平面弯曲杆件的变形与刚度计算7小变形wxM>0wxM<07-2挠曲线的近似微分方程－挠曲线近似微分方程－梁中性层曲率计算公式非线性8§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁第7章平面弯曲杆件的变形与刚度计算97-3积分法求梁的变形积分挠曲线微分方程分段

集中力作用处

集中力偶作用处积分

分布力间断处－截面C处分段

弯曲刚度突变处10积分积分常数的确定

位移边界条件

光滑连续性条件－支座处的约束条件。－相邻梁段的交界截面具有相同的挠度和转角。积分11例7-1用积分法求以下图示梁变形时，积分常数有几个？写出确定积分常数的条件；并画出挠曲线的近似形状。xwFl(a)(b)lACal/2DBxwMe12xwFl(a)

(a)图，积分常数有2个，确定积分常数的条件为：AB

解：梁AB弯矩为负，挠曲线上凸，大致形状如图。13(b)

(b)图，积分常数有6个，确定积分常数的条件为：lACal/2DBxwMe梁段AD弯矩为正，挠曲线下凸，梁段DB弯矩为负，挠曲线上凸，梁段BC弯矩为零，梁不变形，挠曲线为直线。各段大致形状如图。－弯矩和边界条件决定挠曲线的最终结果14例7-2

求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度及最大转角。

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程并积分

应用位移边界条件求积分常数解：Flxw15

写出挠曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角xwFl－均位于自由端16例7-3

简支梁如图。已知EI为常数，试求此梁的转角方程和挠曲线方程，并确定最大挠度及最大转角。解：

建立坐标系并写出弯矩方程xw17

写出挠曲线微分方程并积分18

确定积分常数

挠曲线方程和转角方程D点处连续性条件位移边界条件19

最大挠度及最大转角最大转角可能在A或B端。20最大挠度

最大挠度发生在AD段。21讨论若集中荷载F越靠近支座B，即b值很小，b2≈0，则－对于简支梁，只要其挠曲线上没有拐点，就可以用跨度中点截面处的挠度来代替梁的最大挠度，而不会引起很大的误差。22

①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。

②积分常数由挠曲线的变形协调条件（边界条件、连续性条件）确定。

③积分遍及全梁，须正确分段列出挠曲线微分方程。分段原则：

弯矩方程须分段列出处；

抗弯刚度突变处；

梁的中间铰处；

④优点：求弯曲变形基本方法，适用各种载荷下平面弯曲；

缺点：计算指定截面变形较繁

叠加法或能量法积分法的特点23§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁第7章平面弯曲杆件的变形与刚度计算24叠加原理—小变形、材料线弹性条件下，多个载荷同时作用于结构而引起的变形,等于每个载荷单独作用于结构而引起的相应变形的代数和。7-4

叠加法求梁的变形简单载荷下各种静定梁的变形表（见表7-1）叠加法载荷叠加结构形式叠加（逐段刚化法）25解：

载荷分解如图

查梁的变形表

叠加例7-4图示简支梁，承受均布荷载q及集中力偶m=ql2作用。已知梁的弯曲刚度EI为常数，试用叠加法求梁跨中截面C处的挠度和右端支座B处的转角。26练习按叠加原理求截面A的转角和截面C的挠度。解：

载荷分解如图

由梁的简单载荷变形表，

查简单载荷引起的变形qqFF=+AAABBB

Caa27qqFF=+AAABBB

Caa

叠加28解：

载荷分解如图

查梁的变形表例7-5求图示梁截面C的挠度和两端截面的转角，已知梁的弯曲刚度EI为常数。29

叠加30结构形式叠加（逐段刚化法）叠加法-

基本思路－研究梁的前一段变形时，暂将其后各段梁视为刚体，这段刚体将随前段梁末端截面产生一个刚体位移；

－研究梁的后一段变形时，将前段梁变形后的挠曲线刚化，再将后段梁的变形叠加在前段梁引起的刚体位移上。结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明=+FL1L2ABCBCFL2w1w2等价等价xwxwwFL1L2ABC刚化AC段FL1L2ABC刚化BC段FL1L2ABCMxw32

例7-6如图所示，主梁AB和副梁BD在B处用铰链连接而成，在梁的右端D处作用有集中力F。已知梁的弯曲刚度EI为常数，试用叠加法求梁右端D截面的挠度和转角。

解：逐段刚化法求解

视副梁BD为刚体由副梁BD的平衡条件，可知铰链B处约束力，

分析主梁AB的变形33分析主梁AB变形引起副梁BD的位移

将变形后的主梁AB刚化，分析副梁BD的变形34刚化CD段，将力F等效平移至C点，分析BC段变形刚化变形后的BC段，分析CD段变形35

叠加36

解：逐段刚化法求解

视CB段为刚体将力F等效平移至C点，分析AC段变形

练习试求阶梯悬臂梁自由端B截面的转角和挠度。37分析AC段变形引起的CB段的位移

将变形后的AC段刚化38

叠加39§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁第7章平面弯曲杆件的变形与刚度计算40梁的刚度条件7-5

梁的刚度条件与合理刚度设计－许用挠跨比土建:机械:－许用转角机械:41依刚度条件进行如下三种刚度计算：

校核刚度；

设计截面尺寸；

设计载荷。通常，梁的设计先按强度条件选择截面，再进行刚度校核。

42例7-7由NO.40a工字钢制成的吊车大梁如图。已知起吊最大重量FP=30kN，梁跨度l=10m，材料的许用应力[]=140MPa，弹性模量E=200GPa，梁的许用挠跨比[w/l]=1/500。考虑梁自重，试校核梁的强度与刚度。43解：当起吊重物在梁中央C截面时，梁的弯矩和挠度均为最大值。计算简图如图。查型钢表，NO.40a工字钢参数：44

校核梁的正应力强度由弯曲正应力强度条件45

校核梁的刚度由梁的刚度条件

该梁满足强度和刚度要求。46L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB练习下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[

]=0.001rad,试校核此杆的刚度。=+P1=1kNABDC+=P2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM47P2BCa=++图1图2图3解：

逐段刚化，查表求简单载荷变形。L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf48P2BCa=++图1图2图3L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

叠加求复杂载荷下的变形49

校核刚度

该梁满足刚度要求。50梁的合理刚度设计

提高梁的刚度梁的弯曲变形和刚度与梁的受力、支承条件、跨度长短及梁的弯曲刚度EI有关。－梁跨度的合理选取－合理安排梁的约束与加载方式－合理选择截面形状－合理选择材料51（1）适当减小梁的跨度，可以有效地减小梁的弯曲变形，显著地提高梁的刚度。如：受均布荷载作用的简支梁，其最大挠度与跨度的4次方成正比，若跨度缩短10%，最大挠度相应减小34.4%。提高梁的弯曲刚度的措施（2）合理安排梁的约束与加载方式，可以显著降低梁内的最大弯矩，减小梁的变形。

－集中荷载尽量靠近支座

－将集中荷载分散

－简支梁两端支座内移525354（3）合理选择截面形状－用较小的面积，获得较大的惯性矩；－工字形、槽形、T形截面等都比面积相等的矩形截面有更大的惯性矩；－要考虑提高全长或较长范围内的截面惯性矩。（4）合理选择材料－选择弹性模量高的材料，可以有效地减小梁的弯曲变形，显著地提高梁的刚度。－在设计中，当选用普通钢材已能满足强度要求时，若只是为了进一步提高梁的刚度而改用优质钢材，不但不经济，而且也达不到预期效果。55§7–1挠曲线的概念§7–2挠曲线的近似微分方程§7–3积分法求梁的变形§7–4叠加法求梁的变形§7–5梁的刚度条件与合理刚度设计§7–6用变形比较法解简单超静定梁第7章平面弯曲杆件的变形与刚度计算567-6

用变形比较法解简单超静定梁超静定梁—梁的支座约束力数目超过独立平衡方程数目，仅凭静力平衡方程不能确定全部未知约束力。多余约束—多余维持平衡所必需的约束。多余约束力—对应多余约束的约束反力。超静定次数—等于多余约束力的数目。57要点：变形协调方程、物理方程与平衡方程联立求解。解法1：举例－静定基受力、变形需与原结构等效。

多余约束用约束力替代－解除多余约束支座B，用约束力FB替代，得静定基，如图。58

几何方程--变形协调方程+qlFBAB=FBABqAB

物理方程--变形与力的关系

补充方程