专题06 三角形（全等、相似）（2大易错点分析+19个易错点+易错题通关）-2024年中考数学考试易错题（解析版）

专题06三角形（全等、相似）

易错点1：三角形的垂心

易错点2:三角形的重心

L易错点3:三角形的外心

\r易错点4：三角形的内心

三角形（全等、等腰、直角）曷错点5:倍长中线法

易错点6:等腰三角形的新定义

易错点7:两圆一线画等腰

易错点8:两线一圆画百角

易错点9:鎏九韶——海伦公式

r易错点1：黄金分割

,易借点2:平行辅助线

L易错点3:相似中的比值

L易错点4：相似中的动点

「易错点5:相似与反比例函数

三角形相似一

一易错点6:相似与圆

1易借点7:相似与三角函数

（易借点8:相似与二次函数

卜易错点9:相似的新定义

1易借点1。：电似中的无刻度尺作图

三角形（全等、等腰、直角）专题

易错点:

I.三角形的概念：对于三角形的定义、性质及分类理解不够深入，容易混淆等腰三角形、等边三角形、直

角三角形等概念。

2.三角形的边和角；对于三角形的二边关系（如任意两边之和大于第三边）和三角形内角和等于I8O度的性

质理解不透彻，导致在解题时出错。

3.三角形的全等：对于三角形全等的判定条件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟练，容易在判定过

程中出错。

4.三角形的相似：对于三角形相似的判定条件（如AA、SAS、SSS等）理解不够深入，容易混淆相似和全

等的概念。

5.三角形的面积：刈于三角形面积的计算公式（如底乘高除以2）掌握不熟练，容易在计算过程中出现错

误。

6.三角形的中位线：对于三角形中位线的性质（如中位线平行三第三边且等于第三边的一半）理解不够深

入，导致在解题时出错。

7.三角形的角平分线：对手三角形角平分线的性质（如角平分线将相对边分为两段，这两段与该角两边的

比例相等）掌握不熟练，容易在解题时出错」

易错点1：三角形的垂心

例：在48c中，NMC=60。,45c=45。,，是"C的垂心，若，与的面积分别为，、S2则

S\$=（）

A.今血B.73:1C.72:1D.1:73

【答案】B

【分析】本题主要考查勾股定理，锐角三角形的垂心，解题的关键在于根据题意正确画图.

根据一:角形的内角和求出NAC8=75。，设AO=1,通过勾股定理求出CO,那么面积比即可求出.

【详解】作C〃_LA8交A8于点。

即/CDA=NCDB=90。

•••ABAC=60°.ZABC=45°

：.ZACB=15°

设AO=1

ABAC=60°,ZCDA=90。

CD=ADxinnZ.CAD=-75

•.ZABC=45°,ZCDB=90°

BD=CDxtanZ.ABC=x/5

S=-CHxBD,S.=-CHxAD

12-2

S；^CHxBD二BDf

$2-CHxADAD

2

即，：S2=J5：I

故选:B.

变式1：如图，在“8C中，NA3C=48。，NAC3=76。，两条高8DCE交于点0,连接AO,则NOAE=

【答案】42。/42度

【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理.熟练掌握三角形的三条高交于一点是

解题的关键.

如图，延长A0交BC于尸，则"为BC边上的高，BPZAFB=90°,根据/。4片=180。一乙48。一44尸8,

计算求解即可.

【详解】解：如图，延长40交BC于尸，

•・•两条高80、CE交于点O,

，AF为8C边上的高，BPZAFB=90°,

・•・^OAE=180°-ZABC-/AFB=42°,

故答案为:42°.

变式2：(1)在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一

个格点三角形，点A的坐标为（-2,2）.

।।।।n111cl

-T-T-T-T——T-T-T-4-

II____I______III__•__!!!

®LABC的面积为；

②在所给的方格纸中，请你以原点0为位似中心，将缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）

③在（2）中，若尸（〃，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点尸的对应点P/的坐标为.

（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：

我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交

于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.

①如图1,在平行四边形中，石为CO的中点，作8c的中点凡

②如图2,在由小正方形组成的4x3的网格中，△入8C的顶点都在小正方形的顶点上，作AABC的高人，.

【答案】（1）①4；②见解析；③（2）①见解析；②见解析

【分析】（1）①直接根据三角形的面积公式进行计算即可：

②利用位似图形的性质得出对应点的坐标进而得出答案；

③由位似变换的性质可得答案；

（2）①根据平行四边形的性质，先连接AC和8。得到8。的中点。，再连接跖交CO点，则点”为

△BCO的重心，连接。户并延长交卜点尸，则点尸即为所求；

②先过点A作AO_ZA4,再平移QA得到CE,则CE1A3,接着作MN垂直平分线AC,平移MN得到所,

BFJ.AC,8F与CE的交点0为_48C的垂心，所以延长AO交BC与〃，则

【详解】解：（1）①SABC=?4K2=4.

故答案为：4；

②如图，△4^G即为所求，

1A

n

n

n

n

n

I

n

I

n

n

③若P（小b）为线段AC上的任一点，

则缩小后点夕的对应点P/的坐标为（2。，b）,

22

故答案为：（:a，:加；

22

（2）①如图1,点”即为所作；

②如图2,4”即为所作.

【点睛】本题考查了作图一位似变换，重心，平行四边形的性质，三角形的垂心等知识点，熟练掌握相关

的图形的性质是解本题的关键.

易错点2：三角形的重心

例：如图，点G是一A8C的重心，过点G作8c分别交AHAC于点、M,N,过点、N作ND〃AB交BC

于点。，则四边形80VM与，A8C的面积之比是（）

A

A.1:2B.2:3C.4:9D.7:9

【答案】C

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的重心、平行四边形的判定和性质等知识点，关键是

掌握相似三角形的性质是解题的美键.

如图：连接AG,延长AG交8c于H,由三角形重心的性质得到4GAH=2：3,GH：AH=1：3,由MN〃AC,

4

推出AM：AB=AG：AH=2:3,BM：AB=GH：AH=h3,由./WNS.ABC,推出54次=.5人院，由平

行四边形的性质推出。N=M8,得到DV：人8=1:3,由ACDVSACBA.推出56"一处5加1，得到

4

Sg丸形MNDB=ABC即可解答.

【详解】解：如图：连接AG,延长AG交8C于“，

I.AGAH=2：3,GH：AH=\3,

,:MN〃BC、

：.AM：A3=AGAH=2:3,BM：AB=GH：47=1:3,

•・•AMNs,ABC,

，-A叫/2丫二4

sABC\AB/13)9

C，-s

°AWNQ°ABC»

VND〃AB,MN//BC,

・•.四边形是平行四边形,

・•・DN=MB,

:・DN：A8=I：3,

•:CDNs：CBA,

5=侬丫=?丫=一1

sCBA(ABJu；9

••道形

MNDB=SABC-SM1N+SCDN=-5ABC»

•••四边形8£WM与48c的面积之比是4:9.

故选：C.

变式1：如图，在ABC中，N84C=90。，点G是,A8C的重心，连结GA、GC,如果AC=3AG=-,

那么ZGC4的正切值为

【答案】§

【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，过G作GO_LAC

于G,延长CG交AB于点八证明..DCGs,Ab,结合G为.48。的重心，可得多=当=孚=],根

CAArCr3

据AC=3,得8=2,AD=\,进而根据勾股定理求出OG，最后根据正切的定义即可求解.

【详解】解：过G作GD_LAC于G,延长CG交A3于点"，如图：

•・•GDIAC,ZBAC=90°,

，DE//AB,ZCDG=ZC4F=90°,

又：ZDCG=ZACF,

・•・DCG^ACF,

.CDDG_CG

••~CA~~AF~~CF'

•・•G为，ABC的重心，

.CDDGCG2

••===，

CAAFCF3

•・•AC=3,

：.8=2,AD=i,

--4

・•.DG7AG2—AD?=—,

3

4

则在直角三角形COG中，ecDG32,

tanZACG=-----=-=—

CD23

故答案为：,|.

变式2：【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

【结论概括】

如果在图①中，取AC的中点F,假设防与AD交于G',如图②，那么我们同理有挈=器=2,所以有

ADBF3

空=空=4，即两图中的点G与G'是重合的,

ADAD3

于是，我们有以下结论：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

【结论应用】

如图③所示，在A8C中，已知点D,E,尸分别是SC,AD,CE的中点,DE、防相较于点。，且S△血=12,

则四边形ODCF的面积值为

图②图③

【答案】教材呈现：见解析；结论概括：结论应用：2

【分析】本题考查了相似三角形判定及性质，三角形中位线定理，关键是根据三角形的重心性质：重心与

一边中点的连线的长是对应中线长的;解答.

教材呈现：连接OE,如图①，先利用三角形中位线的性质得到庞〃/1。，QE=；AC,则证明.DEGs乙ACG,

利用相似三角形的性质得期=会=黑然后利用比例的性质得到结论；

CGAGAC2

结论概括：根据理=黑=:，笠=蓼=。则黑=缥=:，即两图中的点G与G'是重合的，即可

CEAD3ADBb3ADAD3

归纳出结论；

53

结论应用：根据三角形中线的性质得S八m=SA8c=6,5^=15^=3,^COE=1i4C»=•则

S^BEC=+S“OE=6,S^BEF=­5,X4£C=3,由题意知。为二角形的重心，则OF=—BF,可得S△的=-5A/,W.-=1,

进而根据四边形ODCF的面积为即可求解.

【详解】解：教材呈现：连接OE，如图①，

;。、£分别为8C、刚的中点，

：・DE为ABC的中位线，

DE//AC,DE=-AC,

2

:・DEGSLACG,

.EGDGDE1

••——------=—,

CGAGAC2

•EGGD1

-CG+EG~AG+GD~2+\'

GE_GD_1

叱HnT茄=5；

结论概括：由上可知，笄=累=：，穿=穿=:，则黑=穿=即两图中的点G与G'是重合的.

CEAD3ADBF3ADAD3

则三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长

故答案为：—;

结论应用：・・・S》8C=12,。为BC的中点，

***SABD=SACD=-5ABC=6,

I£为AZ)的中点,

+

**,SAJWJE=~=3,S^CDE=—§40)=3,则SgEC=^ABDfc-SMDE=6,

•••£)为8C的中点，产为CE的中点，

・・・$神,=；5"庇=3,。为三角形的重心，

则OE=”F,

••“EOF=§Sg叶=1,

则四边形ODCF的面积为S△曲-S△的=3-1=2,

故答案为：2.

易错点3：三角形的外心

例：如图，已知E是"C的外心，尸、Q分别是A3、AC的中点，连接叱、EQ交3c于点F、D,若跖=5,

DF=3,CD=4,则ABC的面枳为()

A.18B.24C.30D.36

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫

做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接4；，AO，由题意

得出4尸=M，AD=DC，可证得？4。产90?,根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的

应用是解题的关键.

【详解】连接4F，AD,如图，

是48c的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，

AEPlAB,EQLAC,

:・AF=BF,AD=DC,

VBF=5,CD=4,

/.AF=5,4)=4,

,/DF=3,

DF2+AD2=AF2f

•••△AOF是直角三角形，？AOF90?,

,/BC=BF+DF+DC=5+3+4=12,

：,S,=-BCAD=-X\2X4=24,

RC22

故选：B.

变式1：如图，点。是的内心，也是△OBC的外心.若/4=84。，则/£>=

【答案】66°

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌

握内心与外心的区别.连接08,0C,根据点。是A8C的内心，ZA=84°,可得/8"=90。+；4=132。，

再根据点。也是△O8C的外心，和圆周角定理即可解决问题.

【详解】解：如图，连接08,OC,

H

丁点。是。的内心，4=84。，

;.0B，OC是/ABC,/AC8的平分线，

：.NOBC=LNABC,NOCB’NACB.

22

.­.z7?OC=180O-ZOBC-Z(X^=1803--(ZAZ?C+ZAC£J)=1800-l(1800-Z/\)=900+-ZA=1320,

222

,点。也是△O4C的外心，

ZD=-Z^OC=66°,

2

则/。的度数为66。.

故答案为：66°

变式2：如图，在锐角三角形A8C中，AB=AC,C。是.A8C的外接圆，连接AO,BO,延长8。交AC

于点。.

（1）求证：40平分/BAC；

（2）若0。的半径为5,AD=6,求OC的长.

（3）若铝='〃，求铛的值（用含〃?的代数式表示）•

（JDDC

【答案】（1）证明见解析

(2)1.5

in

⑶

\-m

【分析】（1）过点A作AP_L8CJ二点P,根据等腰三角形三线合一的性质，得出NQ44=NA4C,AP垂直

平分8C,再点。是4?C的外接圆圆心，则点。在AP上，即可得结论:

(2)证明/\ADO^△BDA，得生=，即"To=<6=,解得OD=4,AB=7.5，所以AC-AB-7.5,

ABBDDAAB5+DO6

由DC=AC-A。即可得到答案.

(3)由空=/〃，则a)="QB,乂由(2)知△ADOs/\BD4,所以铝=盥，则有=臂,所以

OB八3DAAD+CDAD

AD=niAD+mCD,即可求解.

【详解】（1）证明：过点A作AP_L8C于点尸,

A

\AB=AC,APLBC

:.ZPAB=ZPAC,BP=PC,

•・,点。是.A3C的外接圆圆心,

，点。在AP匕，

，ZOAB=ZOAC,

二。4平分/8AC.

(2)解：-.'OA=OI3=5,

:.ZOBA=ZBAO,

由(1)知NBAO=/m。.

・•・^DAO=ZABO,

•・•ZADO=ZBDA,

ADC)^,BDA,

OAADDOHn56DO

ABBDDAAB5+DO6

解得00=4,AB=7.5,

AC=AS=7.5,

・•・DC=AC-AD=7.5-6=1.5.

(3)解:•:叱=m

OB

/.OD=mOB,

VADO^.BDA,

.OADO

••二,

ABDA

\OA=OB,AB=AC=AD+CD,

.OBm()B

''AD+CD~AD'

AD=niAD+/nCD,

(1-m)AD=mCD,

.AD_m

'''CD~\-m'

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外接圆，相似三角形的判定与性质，比例的性质等知识.熟

练掌握等腰三角形的性质、三角形外接圆的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

易错点4：三角形的内心

例：如图，若。。是储8c的内切圆，且NA=50。，则N80。的度数为()

A.100°B.105°C.1150D,130°

【答案】C

【分析】此题主要考查了三角形的内切圆的性质和三角形内角和定理.由三角形内切圆定义可知08、OC是

/ABC、/AC9的角平分线，所以可得到2NOBC十2/。。3=180。一//4美系式，得出NO6C十NOC3,最

后利用三角形内角和定理即可求出答案.

【详解】解：•・•点。是的内心，

2ZOBC+2ZOCB=180。-NA=1800-50。=130。，

・•・NOBC+NOCB=65。,

AZBOC=115°.

故选：C.

变式1：如图，点/是ABC的内心，Z4=60°,IB=6,/C=4,则，出C的面积为

【答案】66

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解直角三角形，熟练作出辅助线是解题的

关键，过点8作80J_a交C7延长线于点。，根据三角形的内心性质可得NA8/=NCH,NAC/=N8C/,

进而求得N8/3=60。，再利用解直角三角形求出8。，进而可求解.

【详解】解：过点8作_LC/交a延长线于点》

•・•点/是ABC的内心，

ZAB/=NCBI,ZAC/=NBCI

ZA=60°

/.Z4BC+ZACB=\80°-60。=120°

/.ZCBI+13C1=-x\20°=60°

2

/.ABIC=180°-(ZCB/+BC/)=120°

=180°-N8昭=60°

在直角三角形8Q/中，

BD=B/sin60=6x—=373,

2

一.S也(・=；x/Cx8。=gx4x3百=

故答案为：6G.

变式2：阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应的任务.

在某科技杂志上有这样一道题：妇图1,在A8C中，三边分别为/^=&月。=女8。=以（。是的内切圆,

切点分别为REF.求。的半径.

思路分析：如图L连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则存。力J_3C,OF1AC.OD=OE=OF,设

OD=OE=OF-r,p=—(a+b+c].

^r(a+b+c)=rp,

于是有S_ABC=S+S+S=-ODAB+-OEBC+-OFAC=

AOBBocAOC222

濡（其中S表示.，的面积，〃表示会的周长的一半）

用语言叙述：三角形的内切圆的半径厂==黑嘿鲁.

若已知46C的三边长a,b,c,如何求ABC的面积S呢？

BEC

图1

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202〜1261）,曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若

AB=BC=a,AC=b

则秦九韶公式为S皿=।.

例如：在."C中，若a=5,b=6,c=7,利用秦九韶公式求的面积S.

解：S15;X6;-5+6Jj,

任务：

（1）尚完成材料中利用秦九韶公式求AHC面积的剩余步骤，并求出A6C的内切圆的半径.

(2)如图2,在R【Z\ABC中，NC=9()o,AC=3,8C=4,(/为它的内切圆，则CE的长为

【答案】(1)剩余步骤见解析，乂BC的内切圆的半径为短

3

(2)1

【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解

题的关键.

(1)利用二次根式及有理数的运算法则计算出SABC，再根据尸=计算.ABC的内切圆的半径；

P

(2)先利用勾股定理求出44,进而求出/3C的周长的一半和S^c，根据r=%也即可求出RtZ\A8C的

P

内切圆的半径，再证四边形/Eb是正方形，即可求解.

；x52x62-52+62-72

(l)解：SABC=I-

254-36-49Y

llx25x36-

r

=^1x(25x36-36)

=N/216

=6屈,

又JSC的周长的一半〃=竺产=咨吆=9,

「•/BC的内切圆的半径「=红些=地=各色.

〃93

;在RtaABC中，ZC=90°,AC=3.BC=4,

AB=VAC2+BC2=V32+42=5,

设IF=/E=厂,〃为，ABC的周长的一半,

a+b+c3+4+5/

则=；AC1C=：X3X4=6,p=-----------=------------=o,

22

RlAABC的内切圆的半径r='些=7=1.

又/为Rt4A3C的内切圆,

A/F1AC,1E1BC,

ZC=Z/FC=/IEC=90°,

••・四边形花€户是正方形，

/.CE=IE=IF=\.

故答案为：1.

易错点5：倍长中线法

例：如图，在,ABC中，已知△A8O与.66的面积相等，如果4C=10,AO=8,那么4B的取值范围

是（）

A.2<AB<\SB.6<AB<26

C.\0<AB<26D.I8<A^<26

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是

解题的关键.

根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形.根据三角形

的三边关系就可以求解.

【详解】解：延长A。到E,使AD=Q£,

A

E

v已知△A8O与AC。的面积相等,

••・八。为A8C的底边8C的中线，

;.BD=CD,

在△A8。和一EC力中

AD=ED

«/ADB=AEDC,

BD=CD

：.ABD^.ECD,

AB=EC,

vAC=10,AO=8,

/.AE=2AD=16,

在AACE中，AE+AC<CE<AE+AC,

16-10<CE<16+10,

6<CE<26,

•••6<AB<26；

故选：B

变式1：已知，ABC中，A4=2,AC=4,AO是©ABC的边8c上的中线，则中线AO的范围是.

【答案】1<AO<3/3>AO>1

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系.延长人。至E,使OE=A£>,连

接CE.根据SAS证明A瓦廷ECD,得CE=A8,再根据三角形的三边关系即可求解.

【详解】解：延长AD至E,使Z)E=AD,连接CE.

.1

V

E

在./曲和.zcz>中，

AD=DE

<NADB=ZCDE,

DB=DC

・•..ABD^.ECD(SAS),

:.CE=AB=2.

在&4CE中，AC-CE<AE<AC+CEf即2<2AO<6,

A\<AD<3.

故答案为：l<AO<3.

变式2：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,ABC中，若A8=6,AC=4,求BC边上

的中线A£>的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E,使

连接出.请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到VAZXWVEZM,得至U3E=4O,在A3E中求得2Ao的取值范围，从而求得4。的

取值范围是

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

(2)如图2,AD是A8C的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE-^ZCAF=mr,试判断线段A。与EF的数量

关系，并加以证明；

(3)如图3,在A8C中，。，石在边8c上，且BD=CE.求证：AB+AOAD+AE.

【答案】⑴1<4)<5

(2)EF=2AD,证明见解析

⑶见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系.

(1)由作图可得A£=2A£>,根据“SAS”证得VADC出VEO3,得到BE=AC=4,在腐中，根据三角

形的三边关系有代入即可求解；

(2)延长A。到M,使得DW=AD,连接8M,则AM=2AZ>，由(1)同理可证sBDW0_C4O(SAS),

得到BM=AC=AF,BM//AC,从而ZABM+N84C=180。，又NB4C+NB4E=180。，因此ZABM=ZFAE,

进而得证AABMGAEARSAS),故EF=AM=2AD；

(3)取8C的中点为M,连接AM并延长至M使AM=MV,连接8N、ON,证得“CM包NBM(SAS)得

到AC=NB,证得一A£M❷_N0M(SAS)得到AE=ND.

延长4。交3N于凡由三角形的三边关系得到48+8N>AQ+DN,g|JAB+AOAD+AE.

【详解】(1),：DE=AD

/.AE=AD+DE=2AD

丁A。是8C边上的中线，

:.BD=CD,

在和△口周中，

CD=BD

/ADC=NEDB,

AD=ED

・•・ADC"EDB(SAS),

/.BE=AC=4,

•・•在二ABE中，AB-BE<AEvAB+BE,

即6-4<2AO<6+4,

A1<AD<5.

故答案为：1<4。<5

(2)EF=2AD,

理由：如图，延长A。到M,使得=连接

*.

M

图2

工AM=AD+DM=2AD,

丁AO是ABC的中线，

:.BD=CD,

在LBDW和&CA4中

BD=CD

ZBDM=ZCDA

DM=DA

：.BDMMCDA(SAS),

:.BM=AC,

VAC=AFt

:.BM=AF,

*：BDM玛CAD,

：./MBD=ZACD,

:.BM//AC,

JZABM+NBAC=180。，

•；NHAE+NCA尸=180°,

:./班C+ZFAE=360。-(/BAE+ZC4F)=360°-180°=180°,

/.ZABM=/FAE,

在和/中

AB=AE

-ZABM=Z.EAF,

BM=AF

・•・/WM^EAF(SAS),

:,AM=EF,

,/AM=2AD,

，EF=2ADi

(3)取月C的中点为M,连接AW并延长至N,使AM=MN,连接BN、DN,

N

图3

•・•点M是8C的中点，

.・.CM=BM,

在AACM和NHM中，

CM=BM

«ZAMC=/NMB

AM=NM

J.NAM(SAS),

AC=NB

•・,BD=CE,

:・BM-BD=CM-CE,DM=EM,

在dAEM和.NDM中，

EM=DM

-ZAME=ZNMD

AM=NM

・•・4EM”工NDW(SAS),

XE=ND,

延长AD交BN于F,

则AB+BF>AD+DF,且FN+DF>DN,

:.AB+BF+FN+DF>AD+DF^-DN,

・•・AB+BN>AD+DN,

即AB+AC>AD+AE.

易错点6：等腰三角形的新定义

例：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形.如果其中一个是等腰三角

形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是

A8C的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，△C8D和A8C相似，44=46。，则/AC8的度数为（）

C

ADB

A.113°B.92°C.113°或92。D.92。或134。

【答案】C

【分析】本题主要考杳了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由AC。是等腰三角形，

ZADOZRCD,则NAQC>NA,R|JAC^CD,分4C=人力和QA=DC两种情形，分别根据等腰三角形

的性质、相似三角形的性质求解即可.正确分类是解题的关键

【详解】解：•••△C8O和ABC相似，

:.NBCD=NA=460,

•・•河8是等腰三角形，ZADC>ZBCD,

：.ZADC>ZA,即ACNC。，

①当AC=4）时，即ZACD=Z4DC=-（180°-46°）=67°,

AZACB=67O+46°=113°,

②当=时，ZACD=ZA=46°,

工4。8=46。+46。=92。，

故选：C.

变式1：定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.若ABC

是“倍角三角形“，ZA=90°,BC=4,则ABC的面积为.

【答案】2石或4

【分析】分情况讨论，当/A是NA（或NC）2倍时，A3C为等腰直角三角形；当NC=2N8或4=2NC

时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.

【详解】解：当NA=2N8=90°时，则NC=N3=45。，

・•・AI3=ACf

VBC=4,AB2+AC2=42,

AI3=AC=2>/2，

:.48c的面积为,xA3xAC=4：

2

同理，当4=2/C=90。时，二ABC的面积为4；

当/C=2/B时，

VZC+ZB=90°,

则/C=6O。，ZB=3O°,

•・•BC=4,

♦•AC=2,AB=J42-2?=25/3，

・•・二ABC的面积为gxABx4C=2后；

当N8=2NC时，

ZC+ZB=90°,

贝|J/8=6O。，ZC=30°,

,/BC=4,

•*,A3=2»AC=>/42-22=2^3）

・•・46。的面积为gxA8x4C=2G：

综上，ABC的面积为2G或4；

故答案为：2G或4.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论

是解题的关键.

变式2：定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“完美三角形

G

E

E

图1图2

(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是A.直角三角形氏等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角

形

(2)如图I,二ABC是“完美三角形”，且ABvACvBC.若正方形人小)石和正方形ACFG的面积分别是7和

25,则正方形BCH/的面枳是

(3)即图2,在四边形A6co中，AB=BC,乙46C=ZADC=90。.七是四边形A6C"。外一点，且AE=A8,

DE=DC.求证：△4E。是“完美三角形”.

(4)若R/A8C是“完美三角形”，且一条直角边长为求斜边长.

【答案】⑴。

⑵43

(3)见解析

(4)及或1

【分析】本题考查了勾股定理、新定义的理解和一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握新定义的理

解.

(1)设等边三角形的边长为M再根据新定义即可判断；

(2)根据正方形的性质可求得正方形A瓦必和正方形月CPG两边的边长，再根据新定义即可求得正方形

BC川的边长,进而即可求得面积；

(3)连接AC,根据勾股定理和新定义即可求判断求解；

(4)根据RlZ^ABC是“完美三角形”进行分类讨论求解即可.

【详解】(1)解：设等边三角形的边长为x,

则/=2x2,

・•・等边三角形是“完美三角形”，

故选D；

（2）•・•正方形石和正方形ACFG的面积分别是7和25,

:.AB=币,AC=>/25=5,

•/48C是“完美三角形"，KAB<AC<BC,

，AB2+BC2=2AC\

：•BC=yj2AC?-AB?=525-7=屈，

•*,S正方形BCHI=8C~==43,

故答案为：43；

（3）解:连接AC.

•.*ZABC=ZAL>C=90°,

・••/BC和AAQC均为直角三角形,

在中，AB2+BC2=AC2,

在Rt,ADC中，AD~+DC2=AC2.

VAB=BC=AE,DE=DC,

・•・2AE2=AD2+DE2

・•・/XAEO是“完美三角形”.

图2

（4）解：设斜边长为x,则另一边长为

•・•咫△ABC是“完美三角形”,

2

二二+/=2

3

侪f得不一J5，受一—J5（舍去）或芭=1,*2=-1（舍去）,

故答案为：夜或1;

易错点7：两圆一线画等腰

例：在平面直角坐标系中，已知4(41),在坐标轴上确定一点P使得，AOQ为等腰三角形，则满足条件的

点可以画出()

A.4个B.6个C.8个D.7个

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的判定得出可能04为底，可能0A为腰两种情况，依此即可得出答案.

【洋解】解：如图：①以A为圆心，以04为半径作圆，此时交坐标轴于两个点(。除外)；

②以。为圆心，以04为半径作圆，此时交坐标轴于四个点；

③作线段A。的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点，

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意行两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类

讨论.

变式1：在平面直角坐标系中，已知点。(2,2),点Q在坐标轴上，▲尸Q。是等腰三角形，则满足条件

的点。共有个.

【答案】8

【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，根据等腰三角形的性质作出图形，利用数

形结合的思想是解决问题的关键.

【详解】解：由题意可知：二PQO是等腰三角形,

当PO=PQ时，以点尸为圆心，PO为半径画圆，与坐标轴交于2，Q,(除点。外),

当。?=。。时，以点。为圆心，OP为半径画圆，与坐标轴交于。4,a，Q-

当0P=0。时，即点。在0P的垂直平分线，与坐标轴交于。7,。8，

结合图形，综上，满足条件的点。共有8个,

故答案为：8.

变式2：如图，一A8c中，ZC=90°,AB=5cm,8C=3cm,若动点〃从点。开始，按Cf4-8->C的

路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为/秒.

备用图

(1)出发2秒后，求线段8P的长.

(2)同।为何值时，，BCP为等腰三角形？

(3)另有一点Q,从点C开始，技CfBfAfC的路径运动，且速度为每秒2cm,若P,Q两点同时出发,

当户、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当f为何值时，直线PQ把A8C的周长分成相等的两部

分？

【答案】(1)J万厘米

(2)3秒、5.4秒、6秒、6.5秒

(3)2或6秒

【分析】（1）本题考查勾股定理，根据运动得到C尸结合勾股定理即可得到答案；

（2）本题考查动点围城等腰三角形问题，分类讨论等腰三角形的腰，结合勾股定理及动点路程问题根据腰

相等列式求解即可得到答案；

（3）本题考查勾股定理及动点三角形周长问题，根据题意得到动点位置结合运动表示出线段的长度根据周

长相等列式求解即可得到答案；

【洋解】（1）解：如图I,由NC=90。，A8=5cm,8c=3cm,

图I

二.AC=4,动点尸从点C开始，按CfAf8fC的路径运动，且速度为每秒1cm,

•・•出发2秒后，则CP=2,

.-ZC=90°,

:.PB=>/22+32=V13(cm)；

（2）解：①加图2,若尸在边AC上时，AC=CP=3cm,此时用的时间为长△/蛇尸为等腰三角形:

②若尸在A8边上时，有三种情况:

i）如图3,若使8尸=C8=3cm,

此时AP=2cm,。运动的路程为2+4=6cm,

・•・用的时间为6s,BCP为等腰三角形；

ii）如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜