人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案

第页弥封线内不要答题弥封线内不要答题第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点一全等三角形的判定与性质1．（2024浙江宁波·期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去D．带①去和带②去2．（2024浙江台州·期末）下列数据不能确定形状和大小的是（）A．B．C．D．3．（2023浙江宁波·期末）如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断ADF≌CBE的是（）A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD∥BC4．（2024浙江宁波·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（）A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或35．（2024浙江宁波·期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（

）A．18 B．24 C．25 D．366．（2024浙江宁波·期末）如图，点在线段上，且，添加一个条件使得，则这个条件可以是．7．（2024浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则.

8．（2024浙江杭州·期末）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是秒．9．（2024浙江宁波·期末）如图，在中，已知平分，且于点D，的面积是8，则的面积是．

10．（2024浙江宁波·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O．(1)求证：；(2)若平分，求的度数．11．（2024浙江宁波·期末）如图，，点在边上，，与相交于点．(1)求证：(2)若，求的度数．12．（2024浙江宁波·期末）在中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．(1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；(2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（填“成立”或“不成立”）(3)在（2）的条件下，当∠DBA=时，存在AQ=2BD，说明理由．考点二角平分线的性质13．（2024浙江台州·期末）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点14．（2024浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．315．（2024浙江宁波·期末）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于(

)A．4 B．3 C．2 D．116．（2022浙江杭州·期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③17．（2022浙江绍兴·期末）如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若，，则BCP的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．8018．（2023浙江宁波·期末）下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个19．（2024浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为．20．（2022浙江杭州杭外·期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝．21．（2022浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为．22．（2022浙江绍兴·期末）如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为．23．（2022浙江绍兴·期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是．24．（2024浙江宁波·期末）如图，在中．(1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长．25．（2023浙江杭州·期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点E，F分别是边，上的动点（不与点A，B，C重合），连结，．(1)若分别记，的面积为，求的值．(2)设，，①若，求的值．②若，，请判断的形状，并说明理由．参考答案1．【答案】A【分析】根据已知选择方法．已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．故此题答案为A．2．【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据三角形全等的判定方法可对各选项进行判断．【详解】解：A、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；B、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；C、，根据三个角相等不能能判定两三角形全等，所以不能确定形状和大小，故此选项符合题意；D、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；故此题答案为C．3．【答案】A【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：A、添加，由全等三角形的判定定理不能判定，故本选项正确；B、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；D、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误．故此题答案为：．【关键点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．【答案】B【分析】此题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值．【详解】根据题意得，∴当时，，即，解得；当时，即，解得；综上所述，的值为3或．故此题答案为：B．5．【答案】A【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．【详解】解：过F作于D，连接，

∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可证，∴．由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，又，∴四边形是长方形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∴．故此题答案为A．6．【答案】或【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解决问题，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：根据判断，可以添加；根据判断，可以添加；综上所述：添加一个条件使得，则这个条件可以是或，故此题答案为：或．7．【答案】/65度【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．【详解】如图，延长交的角平分线于点，连接．

平分，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，故此题答案为：．8．【答案】4【分析】此题考查了全等三角形的应用，解题的关键是求得．先证明，利用证明，根据全等三角形的性质得到米，进而可求出个人运动到点M所用时间．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴米，∴（米），∵该人的运动速度为，∴他到达点M时，运动时间为．故此题答案为4．9．【答案】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质；延长交于，证明，可得，利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再根据可得答案．【详解】解：如图，延长交于，

∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴，∴，故此题答案为：．10．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论；（2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案．【详解】（1）证明：由平移得，，，∴，∵E为中点，∴，∴．（2）解：由（1）得，，∴∵平分，∴，∵，∴．11．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查全等三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．（1）根据全等三角形的判定即可判断；（2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数【详解】（1）证明：和相交于点，在和中，，．又，，在和中，，；（2）解：，，，，，，．12．【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3)当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析．【分析】（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出ACQ≌BCP即可得出答案；（2）由于得到推出AQC≌BPC(ASA)，即可得出结论；（3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过PBC≌QAC，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，∴∠DAP=∠CBP，在ACQ和BCP中∴ACQ≌BCP（ASA），∴BP=AQ；（2）成立，理由如下：∠AQC=∠BQD，∴∠CAQ=∠PBC，在AQC和BPC中，∴AQC≌BPC(ASA)，∴AQ=BP，故此结论成立；（3）解：当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由如下：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，∴∠PBA=∠APB=22.5°，∴AP=AB，∵AD⊥BP，∴BP=2BD，∵PBC≌QAC，∴AQ=PB，∴AQ=2BD．【关键点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握利用ASA证明全等是解题的关键．13．【答案】B【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．【详解】解：连接PA、PB、PC．∵PD＝PF，∴PB是∠ABC的角平分线，同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，故P是△ABC角平分线交点，故此题答案为B．【关键点拨】此题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．14．【答案】D【分析】此题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．【详解】解：过点作，∵是的角平分线，，∴，∴，∴；故此题答案为D．15．【答案】C【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D作于E，，，，，BD平分，，即点D到AB的距离为2，故此题答案为C．【关键点拨】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.16．【答案】A【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故此题答案为A．17．【答案】B【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4，进而根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．18．【答案】B【分析】根据点到直线距离的定义、角平分线的性质、平行公理、两角之间的关系，即可一一判定．【详解】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故该说法错误，是假命题；②角平分线上的点到角两边的距离相等，故该说法正确，是真命题；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该说法错误，是假命题；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故该说法错误，是假命题；故真命题只有1个，故此题答案为：B．【关键点拨】本题考查了判定命题的真假、点到直线的距离、平行公理、角平分线的性质等内容，侧重基础知识．19．【答案】【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．【详解】解：连接，过作，如图所示：∵平分，平分，，∴平分，则，∵平分，平分，∴，，，∴，则，∵将纸片沿折叠，点A落在点处，∴，∴，，∴，是的一个外角，∴，故此题答案为：．【关键点拨】此题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．20．【答案】10：11：12【分析】过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，进而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝BA：CB：CA，问题得解．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．∵AO，BO，CO是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD＝OE＝OF，∵△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为100，110，120，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝BA：CB：CA＝100：110：120＝10：11：12．故答案为：10：11：12．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．21．【答案】2【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，∴DE=EF，∵S△BCE=×BC×EF=5，∴×5×EF=5，∴EF=DE=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．22．【答案】96°##96度【分析】过点F作FH∥AB，则有FH∥AB∥CD，然后可得，进而可得，最后问题可求解．【详解】解：过点F作FH∥AB，如图所示：∵，∴FH∥AB∥CD，∴，∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，∴，∴，∵，，∴，整理得：，∴；故答案为96°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键．23．【答案】4【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME)=64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1)=，依此建立方程=8°求解即可解答．【详解】解：如图：作EF//AB∵AB//CD∴AB//CD//EF∴∠FEM=∠BME,∠FEN=∠DNE,∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM+∠FEN=∠MEN=128°同理：ME1N=(∠BME+∠DME)=64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°…∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1)=由题意得：=8°，解得n=4．故答案为4．【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．24．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P，点P即为所作；（2）根据角平分线的性质得到，然后证明，然后利用可得结论．【详解】（1）图形如图所示：（2）∵AP平分，，，∴，又∵，，∴，∴，∴．25．【答案】(1)(2)①②是直角三角形，见解析【分析】（1）过D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）①根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②由（1）知，，，，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，根据，得到，，求得，推出是等腰直角三角形，得到，求出，推出点H与点F重合，于是得到结论．【详解】（1）解：（1）过D作于G，于H，如图所示：，∵是的角平分线，∴，∴；（2）（2）①∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；②是直角三角形，理由：由（1）知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴点H与点F重合，∴，∴，∴是直角三角形．【关键点拨】此题是三角形的综合题，考查了直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．参考答案考点一全等三角形的判定与性质1．（2024浙江宁波·期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去【答案】A【分析】根据已知选择方法．已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．故此题答案为A．2．（2024浙江台州·期末）下列数据不能确定形状和大小的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据三角形全等的判定方法可对各选项进行判断．【详解】解：A、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；B、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；C、，根据三个角相等不能能判定两三角形全等，所以不能确定形状和大小，故此选项符合题意；D、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；故此题答案为C．3．（2023浙江宁波·期末）如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断ADF≌CBE的是（）A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD∥BC【答案】A【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：A、添加，由全等三角形的判定定理不能判定，故本选项正确；B、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；D、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误．故此题答案为：．【关键点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2024浙江宁波·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（）A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3【答案】B【分析】此题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值．【详解】根据题意得，∴当时，，即，解得；当时，即，解得；综上所述，的值为3或．故此题答案为：B．5．（2024浙江宁波·期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（

）A．18 B．24 C．25 D．36【答案】A【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．【详解】解：过F作于D，连接，

∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可证，∴．由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，又，∴四边形是长方形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∴．故此题答案为A．6．（2024浙江宁波·期末）如图，点在线段上，且，添加一个条件使得，则这个条件可以是．【答案】或【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解决问题，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：根据判断，可以添加；根据判断，可以添加；综上所述：添加一个条件使得，则这个条件可以是或，故此题答案为：或．7．（2024浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则.

【答案】/65度【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．【详解】如图，延长交的角平分线于点，连接．

平分，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，故此题答案为：．8．（2024浙江杭州·期末）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是秒．【答案】4【分析】此题考查了全等三角形的应用，解题的关键是求得．先证明，利用证明，根据全等三角形的性质得到米，进而可求出个人运动到点M所用时间．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴米，∴（米），∵该人的运动速度为，∴他到达点M时，运动时间为．故此题答案为4．9．（2024浙江宁波·期末）如图，在中，已知平分，且于点D，的面积是8，则的面积是．

【答案】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质；延长交于，证明，可得，利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再根据可得答案．【详解】解：如图，延长交于，

∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴，∴，故此题答案为：．10．（2024浙江宁波·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O．(1)求证：；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论；（2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案．【详解】（1）证明：由平移得，，，∴，∵E为中点，∴，∴．（2）解：由（1）得，，∴∵平分，∴，∵，∴．11．（2024浙江宁波·期末）如图，，点在边上，，与相交于点．(1)求证：(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查全等三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．（1）根据全等三角形的判定即可判断；（2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数【详解】（1）证明：和相交于点，在和中，，．又，，在和中，，；（2）解：，，，，，，．12．（2024浙江宁波·期末）在中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．(1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；(2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（填“成立”或“不成立”）(3)在（2）的条件下，当∠DBA=时，存在AQ=2BD，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3)当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析．【分析】（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出ACQ≌BCP即可得出答案；（2）由于得到推出AQC≌BPC(ASA)，即可得出结论；（3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过PBC≌QAC，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，∴∠DAP=∠CBP，在ACQ和BCP中∴ACQ≌BCP（ASA），∴BP=AQ；（2）成立，理由如下：∠AQC=∠BQD，∴∠CAQ=∠PBC，在AQC和BPC中，∴AQC≌BPC(ASA)，∴AQ=BP，故此结论成立；（3）解：当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由如下：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，∴∠PBA=∠APB=22.5°，∴AP=AB，∵AD⊥BP，∴BP=2BD，∵PBC≌QAC，∴AQ=PB，∴AQ=2BD．【关键点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握利用ASA证明全等是解题的关键．考点二角平分线的性质13．（2024浙江台州·期末）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（

）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点D．三条中线的交点【答案】B【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．【详解】解：连接PA、PB、PC．∵PD＝PF，∴PB是∠ABC的角平分线，同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，故P是△ABC角平分线交点，故此题答案为B．【关键点拨】此题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．14．（2024浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】此题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．【详解】解：过点作，∵是的角平分线，，∴，∴，∴；故此题答案为D．15．（2024浙江宁波·期末）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D作于E，，，，，BD平分，，即点D到AB的距离为2，故此题答案为C．【关键点拨】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.16．（2022浙江杭州·期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（

）①

②

③A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故此题答案为A．17．（2022浙江绍兴·期末）如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若，，则BCP的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．80【答案】B【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4，进而根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．18．（2023浙江宁波·期末）下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【答案】B【分析】根据点到直线距离的定义、角平分线的性质、平行公理、两角之间的关系，即可一一判定．【详解】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故该说法错误，是假命题；②角平分线上的点到角两边的距离相等，故该说法正确，是真命题；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该说法错误，是假命题；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故该说法错误，是假命题；故真命题只有1个，故此题答案为：B．【关键点拨】本题考查了判定命题的真假、点到直线的距离、平行公理、角平分线的性质等内容，侧重基础知识．19．（2024浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为．【答案】【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．【详解】解：连接，过作，如图所示：∵平分，平分，，∴平分，则，∵平分，平分，∴，，，∴，则，∵将纸片沿折叠，点A落在点处，∴，∴，，∴，是的一个外角，∴，故此题答案为：．【关键点拨】此题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．20．（2022浙江杭州杭外·期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝．【答案】10：11：12【分析】过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，进而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝BA：CB：CA，问题得解．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．∵AO，BO，CO是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD＝OE＝OF，∵△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为100，110，120，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝BA：CB：CA＝100：110：120＝10：11：12．故答案为：10：11：12．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．21．（2022浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为．【答案】2【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，∴DE=EF，∵S△BCE=×BC×EF=5，∴×5×EF=5，∴EF=DE=2，故答案为：2．【点睛