2025年高考数学二级结论篇（核心知识背记手册）-专项训练

2025年高考数学二级结论篇（核心知识背记手册）-专项训练高考数学二级结论篇（核心二级结论背记手册）目录TOC\o"1-2"\h\u二级结论背记01集合 ②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围极化恒等式恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形中,则在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:奔驰定理如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.（1）奔驰定理的证明如图：延长与边相交于点则（2）奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或二级结论背记04不等式与基本不等式基本不等式链拓展.m>n时，权方和不等式的二维形式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;糖水不等式的倒数形式:设,则有:对数型糖水不等式（1）设,且,则有（2）设,则有（3）上式的倒数形式：设,则有二级结论背记05三角函数与三角恒等变换常见三角不等式（1）若，则.（2）若，则.（3）.半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上称之为半角公式，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．万能公式和差化积与积化和差公式二级结论背记06解三角形常见三角恒等式在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形常见平面几何结论平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和三角形中常见不等式在锐角三角形中内切圆半径在Rt△ABC中，C为直角，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则△ABC的内切圆半径为海伦-秦九韶公式三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:海伦-秦九韶公式推广已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，)三倍角公式，射影定理，，角平分线定理（1）在中，为的角平分线，则有（2）（3）（库斯顿定理）（4）张角定理倍角定理在中,三个内角的对边分别为,(1)如果,则有:(2)如果,则有:(3)如果,则有:倍角定理的逆运用在中,三个内角A、B、C的对边分别为,(1)如果,则有:。(2)如果,则有:。(3)如果,则有:。中线长定理为的中线,则中线定理:证明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；二级结论背记07函数的基本性质周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）（1）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为（2）点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数奇函数+常函数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数二级结论背记08导数几个常用极限（1），（）；（2），.两个重要的极限（1）；（2）(e=2.718281845…).函数极限的四则运算法则若，，则(1)；(2);(3).常用的近似计算公式（当足够小时）(1);；(2)；；(3)；(4)；(5)（为弧度）；(6)（为弧度）；二阶导的定义定义1:若函数的导函数在点处可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,同时称在点为二阶可导.定义2:若在区间上每一点都二阶可导,则得到一个定义在上的二阶可导函数,记作函数极值的第二判定定理若在附近有连续的导函数,且（1）若,则在点处取极大值;（2）若,则在点处取极小值曲线的凹凸性设函数y=fx在区间a,b设函数在内具有二阶导数,如果在内,那么对应的曲线在内是凹的,如果在内,那么对应的曲线在内是凸的设在区间上连续,如果对上任意两点,恒有则称在上的图形是凹的,简称为凹弧;如果恒有则称在上的图形是凸的,或简称为凸弧。曲线的拐点曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使的点,但是使的点不一定都是拐点。利用曲线的切线进行放缩证明不等式设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）．与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．恒成立问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）能成立（有解）问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要②，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要端点效应的类型1.如果函数在区间上,恒成立,则或.2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.洛必达法则：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，放缩程度综合，常见函数的泰勒展开式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．常见函数的泰勒展开式的结论结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.极值点偏移问题的一般题设形式1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：（I）先证：……①不等式①（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；（II）再证：……②不等式②（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．运用判定定理判定极值点偏移的方法（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数f（x）满足如下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于

切线斜率,如fx=x3在拉格朗日公式还有下面几种等价形式，，．注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．二级结论背记09数列等差数列任意前n项和的关系等比数列任意前n项和的关系数列不动点定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,错位相减万能公式求和为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为通项公式的构造（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解（2）已知用求通项（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法（5）已知用求通项公式，其本质是除以（6）已知用求通项公式，其本质是取到数（7）已知用求通项公式，其本质是取对数二级结论背记10立体几何内切球体积任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)三垂线法求二面角已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。垂面法求二面角已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。射影面积法求二面角凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有;(当且仅当时等号成立).长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.空间两点间的距离公式若A，B，则=.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.异面直线上两点距离公式..（）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.二级结论背记11解析几何（直线与圆+圆锥曲线）点关于线对称的一般性结论点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为直径端点圆的方程若圆的直径端点，则圆的方程为解析几何中的切线方程①过圆上任意一点的切线方程为②过椭圆上任意一点的切线方程为③过双曲线上任意一点的切线方程为④设Px0,y解析结合中的切点弦方程平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆的切点弦方程为②椭圆的切点弦方程为③双曲线的切点弦方程为④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为相切的条件①椭圆与直线相切的条件是②双曲线与直线相切的条件是斜率关系若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率)常见不等式已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()椭球体积椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为纵坐标之和y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为渐近线围成的四边形面积过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为帕斯卡定理如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上斜率定值过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值椭圆和双曲线的结论汇总椭圆双曲线标准方程焦点焦点焦半径为离心率，为点的横坐标.为离心率，为点的横坐标.焦半径范围为椭圆上一点，为焦点.为双曲线上一点，为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为.（即）如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则.焦点弦倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点.焦点弦长.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点.焦点弦长.与数量关系直线过焦点与椭圆相交于两点，则.直线过焦点与双曲线相交于两点，则.已知点是椭圆上一点，坐标原点，则.已知点是双曲线上一点，坐标原点，则.焦三角形如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，，则（1）；（2）离心率.如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，，，则（1）；（2）离心率.垂径定理如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则.如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则.（注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点，则.推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点，则.推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，.直线过焦点与椭圆相交于两点，点，则（即）.直线过焦点与双曲线相交于两点，点，则（即）.切线方程已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为.补充结论11．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为.（1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；（2）当时，直线与双曲线只有一个交点；（3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；（4）当时，直线与双曲线只有一个交点；（5）当时，直线与双曲线没有交点.2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则.3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值.4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值.抛物线的结论如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为.1．2．焦半径：，，.3．焦点弦：.4．的数量关系：，.5．三角形的面积.6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切.7．直线的斜率之和为零（），即.8．点三点共线；点三点共线.9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点.补充结论21.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。3.与有相同焦点的双曲线方程为4.与有相同焦点的椭圆方程为：5.与有相同焦点的双曲线方程为：6.与有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在轴上时：②焦点在轴上时：7.与有相同的渐近线方程为：；二级结论背记12排列组合、二项式定理、概率统计二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即增减性当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或二项式系数和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②