2024-2025学年吉林省长春市基础教育高二（上）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市基础教育高二（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知x，y是两个实数，p：x2−2x−3≤0，q：0≤x≤2，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.下列说法正确的是(

)A.若a>b>0，则ac>bc B.若a>b，则|a|>|b|

C.若a<b<0，则a2>ab D.若a>b>c3.已知a，b∈R，lga+lg(2b)=1，则4a+b的最小值为(

)A.22 B.42 C.4.已知sin(α+β)=15，sin(α−β)=35A..2 B..−2 C.12 D.．5.已知集合U={(x,y)|x，y∈R}，集合A={(x,y)|0<x<2，0<y<1}，集合B={(x,y)|y≤x}，则以下元素属于集合A∩(∁UB)的是A.(14,1) B.(12,6.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=5，AD=4，DC=1，E是线段AB上一点，且AE=4EB，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上，则DP⋅AC的最大值为(

)A.3−21

B.237.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制(无平局情况)，第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为(

)A.0.5 B.0.6 C.0.57 D.0.5758.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=BC=22，AC=23，则球OA.40π3 B.20π C.274π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设函数f(x)=x−2+a,x≥2|axA.当a=2时，存在t，方程f(x)=t有唯一解

B.当a∈(0,1)时，存在t，方程f(x)=t有三个解

C.对任意实数a(a>0且a≠1)，f(x)的值域为[0,+∞)

D.存在实数a，使得f(x)在区间(a,+∞)上单调递增10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如[3.24]=3，[−1.5]=−2.若f(x)=x−[x]，则(

)A.当2024≤x<2025时，f(x)=x−2024

B.f(x+1)−f(x)=1

C.函数f(x)是增函数

D.函数f(x)的值域为[0,1)11.已知函数f(x)=cos2x+cos(2x+2π3A.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)对称

B.将函数f(x)的图象向左平移7π12个单位长度后所得到的图象关于y轴对称

C.函数f(x)在区间[0,π]上有2个零点

D.函数三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12.已知函数f(x)=x(x+4),x>0x(x−4),x≤0，则不等式f(x−1)≤f(x13.已知函数f(x)=exex−e−x14.如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若AP=λAB+μAC，则四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若a=23，则△ABC的面积为216.(本小题10分)

已知幂函数f(x)的图象过点(3,9)，g(x)=(13)x−k．

(1)求f(x)的解析式；

(2)记f(x)，g(x)在区间[1,2)上的值域分别为集合A，B，若x∈A是x∈B17.(本小题10分)

为了研究某种理财工具的使用情况，对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到频率分布直方图如图：

(1)求直方图中a的值；

(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？

(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？18.(本小题10分)

如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，△FBC是等边三角形，EF//AB，EF=12AB，平面FBC⊥平面ABCD．

(1)求证：EF⊥BF；

(2)求二面角

参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.A

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.[213.−114.[115.解：(1)由acosC+3asinC−b−c=0，

根据正弦定理，化简得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

因为sinB=sin(π−B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，即sinC(3sinA−cosA−1)=0．

在△ABC中，sinC≠0，可得3sinA−cosA=1，即2sin(A−π6)=1，

所以sin(A−π6)=12，结合A−π6∈(−π6,5π6)，可得A−π616.解：(1)设幂函数f(x)=xα，α∈R；

由f(x)的图象过点(3,9)，3α=9，解得α=2，

所以f(x)=x2；

(2)因为f(x)=x2在[1,2)上的值域为A=[1,4)，

函数g(x)=(13)x−k在区间[1,2)上的值域为B=(19−k,13−k]，

若x∈A17.解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040+2a+0.015+0.005)×10=1，

解得a=0.020；

(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，

所以三个组依次抽取的人数为2，4，2；

(3)记第二组两人分别为A1，A2，第三组四人分别为B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为C1，C2，

则样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)(A1,C1)，(A1,C2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,18.解：(1)证明：由ABCD是正方形，得AB⊥BC，

而平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，

AB⊂平面ABCD，则AB⊥平面FBC，

又FB⊂平面FBC，于是AB⊥FB，

又EF/​/AB，所以EF⊥BF．

(2)在平面FBC内过B作Bz⊥BC，由平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，

得Bz⊥平面ABCD，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐