山东省德州市2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试题

山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={#一1归3},2=,忙<8},则/n&=()

A.[-2,4]B.(-2,4]

C.[-2,3]D.[—2,3)

2.以下有关不等式的性质，描述正确的是()

A.若a>b,则一<一

ab

B.若ac2Vbe则

C.若Q<b<c<0,则"十°

bb+c

D.若a>0,b>0,a+b<4,ab<4,贝！J〃<2,b<2

3.已知向量。=(T,2),S=(m,l),若Z+B与3之一3平行，则加=()

1137

A.——B.——C.-D.-

2422

4.已知等差数列{%}的前〃项和为，a3+al3=6,ai5=17,则S?2=()

A.180B.200C.220D.240

5.已知夕：x£a,q：Y]-2x«0,若夕是夕的充分不必要条件，则〃的取值范围是()

x+2

A.Q<—2B.aG—2

1,1

C.a<—D.a4—

22

6.已知关于》的函数尸唳工12+5+”1)在13,-2]上单调递增，则实数”的取值范围是

2

()

A.a<4B.a<4

C.a<3D.Q<3

7.已知函数〃x)=sin(ox+；|3>0),若方程〃x)=g在区间(O,2TI)上恰有3个实数根,

则。的取值范围是()

试卷第1页，共4页

—1,—<%<2

2

8.已知函数/(')=<，若函数g(')=/(x)-女有三个不同的零点，则实数

x

In—,2<x<8

2

B.

D.

二、多选题

9.下列结论正确的是()

1.

A.cosx+------>2

COSX

/9

B.VxG(0,3),(3-x)x<—

o_

C.若x>0,y>0,—+^>272

yx

D.+2+的值域为[2,+co)

10.已知函数〃尤)=/(2x-l),则()

A.函数/(x)有两个零点

B.x=；是/(x)的极小值点

C是/(X)的对称中心

D.当3<x<4时，/(x+l)>/(2x-3)

11.已知数列｛%｝的各项均为负数，其前〃项和年满足%,•，=；(”=1,2,…)，贝I]()

A.gJ,B.1一1为递减数列

C.｛%｝为等比数列D.｛%｝存在大于-焉的项

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知正三角形的边长为2,。为8。中点，P为边8。上任意一点，则

APAO=

71当时，〃月一一

13.设/(x)=2sinxcosx-2sin2X--则cos2]=

14.已知函数/(x)的定义域为R,/(x-l)+/(x+l)=/(3),/(—2x+2)为偶函数，且

2025

1(^+1)/

左=1

四、解答题

15.已知V/5C中的三个角48,C的对边分别为。，4c,且满足asinB=JOcos).

⑴求A；

(2)若A的角平分线40交BC于。，40=2,求V/8C面积的最小值.

16.某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量4(x)(单位：台)

与每台设备的利润x(单位：元，x>0)满足：q(x)=<a-b^/x,25<x<225(°,6为常数).

0,x>225

当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为

200台.

⑴求函数q(x)的表达式；

(2)当x为多少时，总利润/(丁)(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.

17.在数列｛a„｝中，4=1,其前〃项和为S",且叫一=(〃-1)(Si+"22且〃eN*).

(1)求｛。“｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足“='一113”,其前〃项和为7；,若("2+9卜3"恒成立,

求实数4的取值范围.

试卷第3页，共4页

18.已知函数〃x)=21n(x+l)-oxe"M(aeR).

⑴当a=1时，求函数/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)当。＜0时，求/(X)的单调区间；

⑶若函数/(x)存在正零点％,求。的取值范围.

19.已知数列｛4｝,从中选取第i项、第％项、…第7,"项［＜%＜••＜，；“)，顺次排列构成数

列他｝,其中4=4,IV左4加，则称新数列｛4｝为｛“"｝的长度为加的子列.规定:数列｛4｝

的任意一项都是｛aJ的长度为1的子列.

(1)写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列；

⑵若数列包｝满足%=3〃-1,〃eN*,其子列他｝长度加=4,且他｝的每一子列的所有项

,1111-

的和都不相同，求I+K+M+M的最大值；

Ab2b3b4

(3)若数列｛%｝为等差数列，公差为d,d/0,数列出｝是等比数列，公比为q,当号为何

值时，数列乩｝为等比数列.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBACADCBBCABD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】求得集合42,利用交集的意义求解即可.

【详解】由]》一1归3,得一34x743,解得一24xW4,所以4=[-2,4]

由2*<8=23,所以工<3,所以8=(-oo,3),

所以/「八[-2,4]A(-8,3)=[-2,3).

故选：D.

2.B

【分析】举反例可说明选项A、D错误；利用不等式的性质得选项B正确；利用作差法可

得选项C错误.

【详解】A.当。>0>6时，->7,选项A错误.

ab

B.由a,<儿2得c2>0,故选项B正确.

aa+c_a(b+c)-b(a+c)_c(a-b)

,bb+cb@+c)bg+c)，

由a<6<c<0得，a-b<0,b+c<0,所以故:>产，选项C错误.

0(0+c)bb+c

D.令。=3,6=；,满足。>0,b>。,a+b<4,ab<4,结论不正确，选项D错误.

故选：B.

3.A

【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得加=-g.

【详解】由。=(一1,2),加=(加,1)可得q+3=(m—l,3),%—B=(-3-m,5),

若若Z+B与3Z—B平行可矢口5(加一1)—3(—3—冽)=0,

解得冽=-；.

故选：A

4.C

答案第1页，共14页

Ia=—11

【分析】利用等差数列定义可求得」｝、，再由等差数列的前"项和公式计算可得结果.

a=2

【详解】设等差数列｛g｝的首项为4,公差为",

+2d+4+12d=6

由43+Q13=6,ai5=17可得

ax+14(7=17

%——11

解得

d=2

因止匕S22=22%+221^=22x(-11)+22x21=220.

故选：C

5.A

【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.

【详解】由—1_7Y40可得（1一2x）（x+2）W0（x+2*0）,解之得x<-2或记1」

x+22

设夕：x<a,对应4=（一8,a］,

q；曰4°，其解集对应8=（-双-2）ug,+sj,

则。是q的充分不必要条件等价于4是B的真子集，所以。<-2.

故选：A

6.D

【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间13,-2］上单

调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得。的取值范围.

【详解】令:J?+办+。—1,

则y=bgj,二y在（0,+司上单调递减，

由复合函数的单调性可知，，在卜3,-2］单调递减,

-->-2a<4

2,则

3>Q

(~2)2+(-2)a+a-l>0

a<3

故选：D

答案第2页，共14页

7.C

【分析】由题意可得sin（ox+?］=：,根据尤e（O,2兀），可得2兀+?＜20兀+2447t+2,计

I4J2''646

算即可.

【详解】由/（"=；,可得sin［ox+：］=；,

当X£（0,2兀）时,一＜（DX-\—＜20兀H—,

444

因为方程=；在区间（0,2兀）上恰有3个实数根,

兀

所以如+?5J＜r25+7：rV47r+g解得3三1＜044白7，

6462424

所以。的取值范围是（3占1，数471.

（2424J

故选：C.

8.B

【分析】将问题转化为“了=/（尤）/="的图象有三个交点”，然后作出了=/（x））="的图

象，根据广◎经过点（8,21n2）以及W与〃x）=ln］相切分析出。的临界值，则。的范围

可求.

【详解】因为g（久）=/（久）-ax有三个不同零点，所以〃x）=依有三个不同实根，

所以V=1（X）/=G的图象有三个交点，

在同一平面直角坐标系中作出＞=/（x）,y="的图象，

当好◎经过点（8,21n2）时,

2

代入坐标（8,21n2）可得8a=21n2,解得a=竽;

当＞=依与〃力卜«2,8］）的图象相切时，

答案第3页，共14页

设切点为限加率]y1

,因为此时/(x)=ln。所以/(x)=£

所以切线方程为"吟U（…。），即”;吟-1,

所以“。可得

In包-1=0

I2

结合图象可知，若了=/@）/=研的图象有三个交点，则与（。<2,

故选：B.

【点睛】思路点睛：求解函数零点的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数

与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

（1）确定方程根的个数；

（2）求参数范围；

（3）求不等式解集；

（4）研究函数性质.

9.BC

【分析】根据基本不等式的三个要求“一正，二定，三相等”来判断各个选项即可.

【详解】A选项：因为cosxe[-l,l],故不满足“一正”，A选项错误;

B选项：因为xe（0,3）,所以（37）>0,X>0,所以（3-x）xV广[=|,当且仅当

3

（3-x）=x,即x='e（0,3）时取等号，所以B选择正确；

C选项：x>0,y>0,所以a>0,匕>0,所以至+222,匡工=2S,当且仅当在=上,

yxyxyxyx

即y=血工时取等号，所以C选项正确；

D选项：因为+2〉0,所以，^+2+—-----22lx?+2x=2,当且仅当

6+2\&+2

答案第4页，共14页

4^=7^=时取等号，但4rz=7^无解，所以6+2+-^=>2,所以D

V%2+2Vx2+2Vx2+2

选项错误.

故选：BC.

10.ABD

【分析】求得函数/("的零点可判断A；求得导函数，求得/''(x)=0的根，可得极小值点，

从而可判断B；求得/'(x)=6/_2x的对称轴x=J,可得/⑺的对称中心判断C；利用函

数/(“在(；,+◎上单调递增可判断D.

【详解】由/(x)=/(2x-l)=0,解得了=0或x=g,所以函数〃x)有两个零点，故A正

确；

由f(x)=x2(2x-l),得f(x)=2x(2x-l)+2x2=6x2-2x=6x(x-j),

令((x)=0,解得x=0或x=g,

11

当时，/,(x)<0,当时，/z(x)>0,

所以X=；是/(尤)的极小值点，故B正确；

由函数/'(x)=6x2-2x的对称轴为x=J,此时的对称中心是两个极值点的中点，

6

所以］是/(X)的对称中心，故C不正确；

当时，f'(x)>0,所以/'(X)在(g+s)上单调递增，

若3cx<4,可得3<2x-3<x+l<5,所以/(尤+1)>〃2尤-3),故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】令〃=1,可得出方的值，令"=2,可得出关于电的方程，可解出电的值，可判断

A选项；由递推关系结合数列的单调性可判断B选项；假设数列｛%｝为等比数列，推导出

S；=E$3,求出“的值，可判断C选项；利用反证法可判断D选项.

【详解】对于A选项，当〃=1时，由题意可得因为为<0,所以，％=-；，

答案第5页，共14页

当〃=2时，由邑=1-可得出一5=「，整理可得4城-22-1=0,

因为。2<0，解得。2=1f，A对；

对于B选项，当"22时，由S.可得S"-i,

4%4an_,

上述两个等式作差可得%=-,

4%4%

,111(11)11

因为%-------=T-----------|<°，即一<----，

4%4an_,41a,,an_x)an%

所以，数列B对;

对于C选项，若数列｛。,｝为等比数列，则蜷=%%，

111,11

因为4=荷,邑"项,83=有，则用=-------=S1S3,

16第4。14%

设等比数列｛%｝的公比为“，则〃(l+q)2=%q(l+q+/),解得4=0,不合乎题意,

所以，数列｛%｝不是等比数列，C错；

对于D选项，假设对任意的“eN*,%〈-喘5，

则为”叫-^卜-此

1111

此时，=语:'-疝1'一而万>一何'与假设矛盾，假设不成立，D对.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题在推断选项CD的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证

法来进行推导.

12.3

【分析】由已知可得/OL3C,从而利用万.而=粉2+赤.而可求值.

【详解】因为三角形/3C是正三角形，。为BC中点，

所以/O_LBC,所以/O_L。尸，又正三角形48c的边长为2,所以AOTAC?-CO?=也，

所以万•割=(就+丽)•刀二刀。+而•刀=(6y=3.

故答案为：3.

答案第6页，共14页

13.

3

【分析】利用降幕公式化简可得〃x)=2sin2x-l,由已知可求得sin2x=g,再利用同角的

三角函数的平方关系可求cos2x.

【详解】

/(x)=2sinxcosx-2sinsin2x+cos2\x---1

I4,

由/(%)=—［，所以2sin2x—1=—1，所以sin2x=4,

因为2xe[m，7r),又sin2x=；1,所以2》©[兀，无)，

32

所以cos2x=-Vl-sin22x=-2V2

故答案为一早

14.1-2026

【分析】通过条件可得/(x)是周期为4的函数，由/■(-2x+2)为偶函数得/(2-x)=f(2+x),

通过给x赋值可计算出/(g),利用函数的周期性可得结果.

【详解】由/(x-l)+/(x+l)=/(3)得，/(x)+/(x+2)=/(3),/(x+2)+/(x+4)=/(3)，

.•./(x)=/(x+4),故/(x)是周期为4的函数.

(一2x+2)为偶函数，.•./(2-2x)=〃2+2x),.•./(2-x)=/(2+x),

令x4得-HU，

令x=l,得1(1)=/(3).

在/(x-l)+/(x+l)=/(3)中,令x=2,得〃1)+/(3)=/(3),

.•/l)=f(3)=0.

令.|,得故/]]=一C=T，

令心得dih/gb。’故0一/匕.一1.

由函数的周期性得，

答案第7页，共14页

2025f

E化+i)/左(―2+3+4—5)+••十(-2022+2023+2024-2025)-2026=-2026.

k=\\

故答案为：1；-2026.

【点睛】方法点睛:

①若f（x+。）=-/（x）,则函数/（X）的周期T=2I〃I；

②若〃x+“)=I，则函数〃x)的周期T=2|a|；

/(x)

③若/(x+a)=-焉，则函数〃x)的周期7=2|°|；

④若/(尤+0=f(x+b),则函数/(x)的周期T=1a-61；

⑤若/(')+/('+〃)=6,则函数“X)的周期T=2|〃|.

6(1)4.

⑵孚

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可;

11A1A1

(2)根据角平分线性质，得一加sin/=—x2xbsin—+—x2xcsin—=—(b+c),再利用基本

222222

不等式求解即可.

【详解】（1）因为asinB=Gbcos4,所以由正弦定理得5诂人口5=百$111_500$/,

又因为sin3w0,所以sin/=JJcos4，

即tan/=6，又/€(0,兀)，所以/=W；

]j/IA1

(2)S，ABC=S，ABD+SAACD，gp-Z,csin^=-x2x6sin—+-x2xcsiny=-(6+C),

化简得如与T"C>2：，

所以6be=2(Z?+c)>4Jbe,

所以打冶所以

4

当且仅当6=。=用时取“=”，

所以S=!历situ2L应•且=谴，所以“BC面积的最小值为生A.

223233

答案第8页，共14页

2400八…

i,0<x<25

Vx+H

16.(l)q(x)=，600-40W,25<x<225

0,x>225

(2)当x为100元时，总利润取得最大值为20000元.

【分析】(1)根据题意列出方程组，求出6的值即可得到函数4(尤)的表达式;

(2)根据函数q(x)的表达式得出利润的表达式，分段讨论出各段的最大值，比较后得到最

大值.

a-b•庄=360

【详解】(1)由题意知

«-Z)-V100=200)

a=600

得

6=40

R,0<X<25

Jx+11

故q(x)=<600-40^,25<x<225.

0,x>225

(2)设总利润/(x)=x-g(x),

2400x八…

,,0<x<25

Vx+H

由(1)得〃x)=，600x-40xy/x,25<x<225

0,x>225

7400r

当0<x<25时，/(x)=-^==2400

yjX+11

/(x)在(0,25］上单调递增,

所以当x=25时，/(x)有最大值10000.

当25cxV225时，/(x)=600x-40xy/x,/'(x)=600-606,

令/'(x)=0,得x=100.

答案第9页，共14页

当25<x<100时，r(x)>0,/(x)单调递增,

当100<xW225时，/'卜）<0,1（X）单调递减,

所以当x=100时，f（x）有最大值20000.

当尤2225时，/（x）=0.

答：当x为100元时，总利润取得最大值为20000元.

17.（1）«„=-

n

（2）（-=o,2].

n—1

【分析】（1）利用打。”的关系得结合累乘法可得通项；

n

（2）根据（1）的结论得出“=（2〃-1）x3",由错位相减法得7；,再分离参数几《式±2

3n

根据基本不等式计算即可.

【详解】（1）因为。广5一心/〃虫）,代入〃电

n—1

整理得。“=

n

匚n-1n-21

所以4=-----=-〃-2,…,％=彳。1，

nn-12

以上（〃-1）个式子相乘得，

12n-1a,1

a„=%丁？-------=一=一・

23nnn

当〃=1时，%=1,符合上式，所以%=L

n

（、

（2）b„=-2-1x3"=（2〃-l）x3".

”）

所以（,=1x3+3x32+…+（2〃-l）x3",①

37；=1X32+---+（2M-3）X3H+（2H-1）X3"+1,②

①-②得，-2T”=1X3+2X32+---+2X3"-（2«-1）X3,,+1

=3+2x32~2^3"x3-（2M-1）x3M+1=（r2n+2>3"+1-6,

所以7；=（“-1）x3向+3.

答案第10页，共14页

加2+9n3

由加⑵J）&（〃2+9）X3,得:A<-----二—I—，

3n3n

因为4+耳1=2,当且仅当〃=3时，等号成立,

3〃〃

所以X<2,即2的取值范围是(-*2].

18.(l)(2-e)x--y=0

(2)单增区间是(-1,+8),无单减区间；

⑶叫

【分析】(1)求得切点坐标，由导函数求出切点处导函数的值得到切线斜率，写出切线方程;

(2)代入参数后求导函数，由导函数求得单调区间；

(3)令导函数/'(x)为新的函数再求导，根据。的取值进行分类讨论，利用函数单调性和函

数零点的定义即可得到。的取值范围.

【详解】(1)由题知/(0)=0,/(x)=21n(x+l)-xet+1,

于是/'(司=2-(尸+疣力，

所以切线的斜率左=/'(0)=2-e,

于是切线方程为V=(2-e)x,即(2-e)尤-y=0

(2)由已知可得“X)的定义域为(T+8),

且f'(x)=---+加川)=2-如+1『一,

v7X+1I)X+1

因止匕当Q<0时，2—40+1)2哲+1>0,从而广(x)>0,

所以/(X)的单增区间是(T,+8),无单减区间；

(3)由(2)知，/3=2一心+1)%,

令g(无)=2-a(x+l)2ex+1,g'(x)=-a(x+l)(x+3)eJ+1,

当时，(x+l)(x+3)ei>0.

①当aV0时，可知/'(x)>0,/(x)在(-1,+动内单调递增,

又/(。)=0,故当x>0时，/(%)>0,所以/(x)不存在正零点;

答案第11页，共14页

②当0<Q<_时，g，(x)=-Q(x+l)(x+3)e，+i<0,又g(O)=2_〃e〉0,

gfln--l>|=2-afln->|5=2-l[\x^\=：l-fln-2^<(,

\a)<aJ\a)\a)\

所以存在a满足g(a)=O,

所以/'(x)在(Ta)内单调递增，在(a,+8)内单调递减.

令〃(x)=lnx-x+1,则当x>0时，Af(x)=--1,

故〃(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

从而当工〉1时，h{x)</z(l)=0,即lnx<x-l,

所以/(ln2_j=21n(lnA_q(lnLi]e叱=2InfIn-fIn—1^<0,

\a)\ci)\a)VJ\)

又因为〃0)=0,所以〃a)>o,因此，3xoe^,lnj-l1使得/'(xobO

即此时存在正零点尤。；

2

③当aN—时，xe(0,+oo),g'(x)=-<7(x+l)(x+3)e"i<0,

e

从而g(x)为减函数.

又g(0)=2-ae40,所以当x>0时，g(x)<0.

故尤e(O,+s)时，/'(x)<0恒成立，又"0)=0,故当x>0时，/(x)<0,

所以函数/(x)不存在正零点;

综上，实数。的取值范围为

【点睛】方法点睛：已知函数有正零点，由函数零点的定义需要找到两个正数的函数值符号

相反.本题在分析过程中因为参数。的值会影响导函数的值，所以对。进