三角恒等变换（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第18讲三角恒等变换

（4类核心考点精讲精练）

m.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形

2024年天津卷，第14题,5分

余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分

【备考策略】L理解、掌握三角函数的两角和差公式，能够根据知识点灵活选择公式

2.能掌握凑角求值的解题技巧

3.具备数形结合的思想意识，会借助正弦型函数的图像，解决三角函数的求值与化简问题

4.会解三角函数的含参问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给与正余弦定理结合，在解三角形中灵活运用两角

和差。

1飞•考点梳理•

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

2.二倍角公式

三角恒等变换知识点.两角和与差二倍角公式《3.辅助角公式

4.三角函数公式的关系

5.升幕与降幕公式

知识讲解

知识点.两角和与差二倍角公式

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(a—£)=cosacos£+sinasincos(a+£)=cos□cos£—sinasinP

sin(4—£)=sinacos—cosasinPsin(a+£)=sinacos£+cosasin£

/c、tana—tan8/,c、tana+tan£

tan(a—£)-----------tan(0+£)=--------------T-

1+tanatanB1—tanatanB

2.二倍角公式

22tana

sin2。=2sinacosa；cos2a=cos2a—sin2a=2cosa—1=1—2sin2a-tan2a=~—'—2-.

1—tana

3.辅助角公式:

asinx+Acosx=yja+!Jsin(x+(i)),其中tan0=(

4.三角函数公式的关系

令8=Q以-0代8「

C2a■*-------------------------C(a+6)----------------------------M«-3)

利用cos俣土q利用cos住士q利用cosA

J以一。代。

c令B=a

32a<)(a-6)

两式相除两式相除两式相除

T(a+p)«以-8代8»T(…)

12a―

5.升幕与降暴公式

1+cos2a21—cos2Q

(1)降暴公式：cos2^：sina=---------

2

(2)升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a.

(3)公式的常用变形：tana±tan£=tan(。±£)(1干tanatan£),

1+sin2a—(sina+cos4,

1—sin2a=(sina—cos。)2,

sina±cosa=也sin(a±-^.

考点一、两角和与差的正余弦、正切与二倍角公式

典例引领

1.(2024,黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin(a+?)=coscrsin一仇)，则tan(2a+：)=()

A.2—y/3B.-2—V3C.2+V3D.-2+V3

2.(2024•浙江•三模)若sin(a—/?)+cos(a—/?)=2V^sin(a—sin/?,则()

A.tan（Q—£）=-1B.tan（a—，）=1

C.tan（a+£）=-1D.tan（a+/?）=1

即时检测

1.（2023•全国•高考真题）已知a为锐角，cosa=贝人也巴=（）.

42

A3—/5口—1+V5f-r3—V5门—1+V5

A.-----D.------C.-----Y）.----

2.（2024•青海海西•模拟预测）已知cosa=—日，则cos2a的值为（）

1211

A.-B.-C.--D.--

3353

3.（2024,全国•高考真题）已知cos（a+夕）=m,tancrtan^=2,则cos（a—/?）=（

A.-3mB.--C.-D.3m

33

4.（2024•江西九江•三模）若2sin（a+§=cos（a—g）,则tan（a—看）=（

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

考点二、化简求值

典例引领

2cos65°cosl5°

1.（2024•安徽六安•模拟预测）;的值为（）

tanl5°cosl0°+sinl0

A.2B.ic.2D.三

2222

2.（2024•陕西安康•模拟预测）若sin（a-20。）=3*s^°°,则sin（2a+50。）=（

tanzO—V3

即时笆测

1.（2024•全国•模拟预测）一产^=（）

sin25°2tan25°

A.—B.—C.—D.—

2222

1+tan（0—-—）-1

2.（2024•山东泰安•模拟预测）若—=；，贝Usin28的值为（）

1-tan（6——）2

4

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

3.（2024•广东•二模）tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=（）

A.-2B.-4C.-2V3D.-4V3

sinxsinx

4.（2024•河北承德•二模）已知tan%=则

cos3xcos2xcos2xcosx

5.（2024•河北邯郸•二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如

图所示的五角星中，以4民C,D,E为顶点的多边形为正边边形，设4CAD=a,贝"cosa+cos2a+cos3a+

cos4a=，cosacos2acos3acos4a=.

考点三、凑角求值

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）已知sin（仇+^）=%则sin（2a+等）=.

2.（23-24高三上•天津宁河•期末）已知cos位一%贝Ijsin（号-26）=.

1.（2024•吉林长春•模拟预测）已知cos2a=—y,sin（a+，）=—唱，戊SE［―y,o］,则a-0=

（）

A.-B.—C.—D.二或立

44444

,,

2.（2024•山西•三模）若sin2a=今sin（£—a）=?,且a6［：,冗］,S£［兀~T\则cos（a+0）=（

A0aB包C渔D206

•6,636

3.（2024高三•全国•专题练习）已知tan（a—£）=：,tan/?=一巳,且a,£e（0,兀），则2a—£=（）

A.--B.-C.—D.--

4444

4.（2024•山东•模拟预测）已知cos（a—1）—cosa=£则sin白优+?）=（）

A.—B.--C.—D.--

25252525

5.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知cosa）=3贝!Jsin（詈+2a）=（）

A.ZB.，C.返D.-这

9999

考点四、辅助角公式

典例后阚

1.(23-24高三下•云南•阶段练习)已知函数/(%)=2sinx+cos%在汽。处取得最大值,则cos%。=()

A.咨B.—这C.渔D.—渔

5555

2.(2024•陕西铜川•三模)已知函数f(x)=sin2x-cos2x,则下列说法中不正确的是()

A.f(x)的最小正周期为n

B./(x)的最大值为企

C./⑴在区间曰上单调递增

D-/1一白二八一比一看)

1.(2024•湖北•二模)函数/(%)=3cosx—4sinx,当f(%)取得最大值时，sin%=()

A.4-B.-4-C.-3D.--3

5555

2.(2024•四川成都•模拟预测)函数/(%)=asinx+cos》的图象关于直线久=一看对称，则a=

3.(2024•河南新乡•三模)已知函数/(%)=sin3U-V^cos3%(3>0),若存在%1E[0,五]，使得/(打)=-2,

则3的最小值为.

4.(2024,全国•模拟预测)已知/(%)=4sin%(sin%-V^cos%)+1相邻的两个零点分别为久L%2，则

cos%—x2\=.

5.(2024•浙江宁波•模拟预测)已知函数f(x)=2cos23%+sin2a)x—l(co>0)/(%D=f(x2)=

今氏一支21的最小值为号，则3=()

A.1B.1C.2D.3

2

IN.好题冲关

基础过关

1.(22-23高三上•天津滨海新•期中)若a是第三象限角，且sin(a+S)cosS-sin’cos(a+S)=-得,

则tana等于()

A.-5B.--C.—D.5

1212

2.(23-24高三上•云南昆明•开学考试)已知tan(a—：)=4,贝！Jsin2a=()

B.2

17

3.（23-24高三上•天津南开•期中）已知sin（a-看）=sin（a+1），贝!Itana=.

4.（23-24高三上•天津河东•阶段练习）△ABC中，已知cos24=支贝iJsinA=.

5.（22-23高三上•天津滨海新•期中）已知角。的终边经过点P（-2,l）,则tan8=,

cos20—2sin20_

cos26,

6.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知tana=tan/?=—巳,且E（0,兀），则2a-/?=

7.（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）已知2sina+cosa=0.

（1）求tan（a-：）的值；

⑵求斗W的值；

sin（nr+a）

（3）当a是第四象限角时，求cos（a+?）的值.

能力提升

1.（23-24高三上•天津河西•阶段练习）已知tan（e+J）=-3,则巴乒孚号上?等于（）

\4/sin（兀—6）—sin（万+6）

2

A.-B.0C.-2D.2

3

2.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）函数f（x）=sin久+Wcosx在区间[o,；]上的最小值为

（）

A.V3B.V2C.1D.2

3.（23-24高三上•天津南开•阶段练习）锐角a,£满足a+2£=号，tan]tan0=2—百，则a和0中的

较小角等于_.

4.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）若tana=日（色，则sin（2a+；）=.

5.（23-24高三上•天津河东•阶段练习）已知函数f（久）=sin（x+看）+sin（久一5）+cosx+a的最大值为

1,

（1）求常数a的值;

（2）求函数的单调递减区间；

6.（23-24高三上•天津•期中）己知