河北省唐山市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只一项是符合题目要求的.1.抛物线y2=x的焦点坐标是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由y2=x知抛物线的焦点在轴上,且开口向右,,∴,焦点坐标为,故选:B.2.已知向量,则()A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】,故选:C.3.记是等差数列的前n项和,若,,则()A.27 B.36 C.45 D.78【答案】D【解析】因是等差数列的前n项和,则成等差数列,于是,代入,,解得:,又,代入上述值,解得:.故选:D.4.已知圆与圆,则两圆公切线的条数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】两圆圆心分别为,半径分别为2和3,而圆心距为5,故两圆外切,所以两圆的公切线共有3条,故选:C5.已知,均为等差数列,且,,,则()A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】B【解析】由于,均为等差数列,则为等差数列,因此,,所以的公差为1,故,故选:B6.线段长度为4,其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段中点的轨迹所围成图形的面积为()A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】,设为线段中点,,设,则,即.则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心,2为半径的圆;故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.故选:D7.如图,在正三棱柱中,若,则与所成角的大小为()A. B. C. D.【答案】B【解析】在正三棱柱中,向量不共面,,,令,则,而,,于是得,因此,,所以与所成角的大小为.故选:B8.已知M是椭圆上一点,椭圆的左、右顶点分别为A,B.垂直椭圆的长轴,垂足为N,若,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】设,则,,,,因为,即,整理得,即,即,由题可知,则,即,则,则,则,故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.有选错的得0分,部分选对的得2分,全部选对的得5分.9.已知直线与,则()A.若,则两直线垂直 B.若两直线平行,则C.直线恒过定点 D.直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】当时,,,则,所以两直线垂直,A正确;若两直线平行,则,解得,经检验,当时,两直线平行,B错误;由,即,所以直线恒过定点,C正确;由,与两坐标轴的截距分别为,不相等,D错误.故选:AC10.数列满足:,,则()A. B.C.为单调递减数列 D.为等差数列【答案】ACD【解析】由可得,因此为等差数列,且公差为1,故D正确,由于为等差数列,且公差为1,所以,故,故为单调递减数列,C正确,,故,A正确,,,B错误,故选:ACD11.已知双曲线,直线与C交于A,B两点,点P是C上异于A,B的一点,则()A.C的焦点到其渐近线的距离为B.直线与的斜率之积为2C.过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条D.点P到两条渐近线的距离之积为【答案】AD【解析】对A,由已知得渐近线方程为,焦点为,则焦点到渐近线的距离,A正确;对B,由双曲线和直线的对称性可设,,,则,所以,故B错误;对C,过C的一个焦点的直线,当其斜率不存在时,所以此时弦长为2;当斜率存在时,分别与双曲线上下支各有一个交点时,结合图形可知弦长可以无穷大;综上,过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为,又由双曲线的对称性可知,过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条,故C错误;对D,点到两条渐近线的距离之积:,D正确.故选:AD.12.已知正方体的棱长为2,P,Q分别是棱,上的动点(含端点),则()A.四面体的体积是定值B.直线与平面所成角的范围是C.若P,Q分别是棱,的中点,则D.若P,Q分别是棱,的中点,则经过P,Q,C三点作正方体的截面,截面面积为【答案】ABC【解析】对A,因为四面体的体积为,h为到底面的距离,且为定值2,为定值,故四面体的体积是定值,A正确;对B,连接,易得平面,故平面,则到平面的距离即为到平面的距离;又,平面,则平面,则到平面的距离为,易得,则直线与平面所成角的正弦值为,所以直线与平面所成角的范围是,故B正确;对C,若P,Q分别是棱,的中点,易得,故C正确;对D,取中点M,中点N,连接,易知故四边形为平行四边形,则,易知,故,故经过P,Q,C三点作正方体的截面,截面为梯形,如图:又易得,,作易得为矩形,设,则,由则,解得,故,故四边形的面积为,故D错误.故选:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等比数列的公比为q,且,,,则______.【答案】【解析】因为等比数列的公比为q,且,,,所以,即,即,解得或(舍),故答案为:.14.已知,,且,则______.【答案】【解析】因为,所以,解得.故答案为:.15.已知直线l与圆相切,且切点的横、纵坐标均为整数,则直线l的方程为______.(写出一个满足条件的方程即可)【答案】或或或(任写一个都对)【解析】易知圆C的圆心为点,半径为;圆C经过的整点有4个,即,,,.①切点为时,圆心与切点连线的斜率为,则切线斜率为1,所以由直线的点斜式方程可得切线方程为;②切点为时,圆心与切点连线的斜率为,则切线斜率为,所以由直线的点斜式方程可得切线方程为;③切点为时,圆心与切点连线的斜率为,则切线斜率为,所以由直线的点斜式方程可得切线方程为;④切点为时,圆心与切点连线的斜率为,则切线斜率为,所以由直线的点斜式方程可得切线方程为;故答案为:或或或(任写其一)16.已知点在抛物线上,则______;过点M作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点(不同于点M),则直线经过的定点坐标为______.【答案】2;【解析】因为点在抛物线上,所以,解得;抛物线,由题意知,直线斜率不存在时,不符合题意,设直线的方程为:,,联立,得,所以,因,所以,,,所以,即,所以,即,验证,所以,直线经过的定点坐标为,故答案为:2;.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线与圆相交于A,B两点.(1)若P为圆C上一点,求点P到直线l的最大距离;(2)求弦的长度.解:(1)圆,圆心,半径,圆心到直线的距离,所以点P到直线l的最大距离为.(2),即,解得.18.数列是首项为1,公比为正数的等比数列,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)因为,,所以,或,又因为,所以,所以.(2),则.19.如图,在梯形中,,,,为等边三角形,平面平面,E为棱的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.解:(1)如图,取的中点F,连结,.因为E为的中点,所以,.因为,,所以,.即四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.(2)如图,取的中点O,的中点G,连结,,则,因为为等边三角形,所以,因为平面平面,平面平面平面,所以平面,又平面,故.分别以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,,则,,,故,,,设平面的一个法向量为,则令,则设直线与平面所成角为,则.即直线与平面所成角的正弦值为.20.数列满足,,.(1)求,;(2)证明:数列是等差数列;(3)若,求数列的前n项和.解:(1)令,得;令,得.(2),所以是以为首项,2为公差等差数列.(3)由(2)得,所以,所以,所以.21.如图,三棱柱的侧面和均为正方形,,交于点O,D为中点,.(1)证明:;(2)设,当为何值时,平面与平面夹角的余弦值等于?解:(1)因为,,,平面,所以平面,又因平面,所以.(2)如图,以,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,,故,,由,得,得,设平面的法向量为.由得取,取平面的一个法向量为.设面与面夹角为,则,即,解得..22.已知椭圆的左、右顶点分别为A,B,离心率为,长轴长为4,过点的直线l交于M,N两点(M在x轴上方).(1)求的方程;(2)记的面积为,的面积为,求的取值范围.解:(1)已知长轴长为4,

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