广东省深圳市光明区2023-2024学年高二上学期期末学业水平调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市光明区2023-2024学年高二上学期期末学业水平调研测试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡指定区域.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以直线的倾斜角为.故选：A2.已知椭圆方程为，则该椭圆的短轴长为（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】椭圆方程为，即，所以，所以短轴长为.故选：B3.已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线的方向向量，共线，则两直线平行或重合，又因为直线，是空间中两条不同的直线，所以两直线，平行，即“，共线”是“直线，平行”的充分条件；若直线，平行，则，共线，即“，共线”是“直线，平行”的必要条件；综上，“，共线”是“直线，平行”的充分必要条件.故选：C4.已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，故，即，解得.故选：C.5.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，则，,设平面的一个法向量为，则,即，令，则，则点到平面的距离为，故选：C6.设等差数列的前项和为，若，则（）A.150 B.120 C.75 D.68【答案】D【解析】由等差数列的性质可知，所以，，故选：D.7.已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若直线的斜率为，则（）A.4 B.或4 C.4或 D.【答案】C【解析】抛物线：的，所以抛物线的准线方程为，焦点为，直线的方程为，由消去并化简得，解得或，所以或，C选项正确.故选：C8.已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，两式相减并化简得，即，当时，设直线的倾斜角为，是以为底边的等腰三角形，所以，所以，则.根据对称性可知，当时，，综上所述，直线的斜率为.故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题说法正确的有（）A.已知直线：与直线：，若，则或B.点关于直线的对称点的坐标为C.直线过定点D.过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】对于A，当时，直线：与直线：重合，A错误；对于B，以点与为端点的线段中点在直线上，又过点与的直线斜率，则该直线垂直于直线，因此点与关于直线对称，B正确；对于C，直线化为：，由，解得，因此直线过定点，C正确；对于D，过点且在轴，轴上的截距相等的直线可以过原点，其方程为，D错误.故选：BC10.如图所示，平行六面体中，，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.平面 D.【答案】ACD【解析】设，可得，则，对于A中，根据向量的线性运算法则，可得，则，所以，即，所以A正确；对于B中，由，，则，所以B不正确；对于C中，如图所示，连接交于点，分别连接，可得分别为的中点，可得且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面，所以C正确；对于D中，由，可得，所以，所以，所以D正确.故选：ACD.11.对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（）A.数列为递增数列B.数列为等差数列C.D.记，则数列的最大项为【答案】ABD【解析】依题意，①，当时，，当时，②，①-②得，当时上式也符合，所以，是单调递增数列，A选项正确.，所以是等差数列，所以B选项正确.，所以，所以C选项错误.，，当时，，，，所以当时，单调递减，所以数列的最大项为，D选项正确.故选：ABD12.已知点在抛物线：（）的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是 B.C.当时， D.【答案】ABD【解析】对选项A，因为点在抛物线：（）的准线上，又抛物线：（）的准线方程：，所以，即，所以抛物线的方程是，故A正确；对选项B，因为抛物线的方程是，所以焦点，设直线的方程为，代入，得，所以，故B正确；对选项C，因为，，，所以，由选项B可知，所以，又因为，得，，所以，故C不正确；对选项D，因为直线的方程为，所以，，所以，，所以，所以，由选项B可知，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为.故答案为：14.已知数列满足：，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由题意知数列满足：，，故，,也适合该式，故，故答案为：15.已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为___.【答案】【解析】设，则，两边平方得，整理得，则点在以为圆心半径为的圆上运动，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离d的取值范围为.故答案为：.16.设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为______.【答案】【解析】点在椭圆的内部，则，.因为，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，由于椭圆上存在点使得成立，所以，综上所述，离心率的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，因为，，所以，，即，，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）得，，设平面一个法向量为，则取，，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.解：（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.（2）因为为边上的高，所以的直线方程为：.设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即，故可得，即点坐标为.则直线的斜率为，故直线方程为：.19.记为数列的前项和.（1）若为等差数列，满足，求公差d；（2）已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列.解：（1）由为等差数列，由可得：，解得；（2）设等差数列的公差为d（d为常数）.∵是等差数列，所以当时，，∴∴，∴①，当时，②，由①②得③，又当时，成立，∴，，当时，，∴是等差数列.20.已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.（1）求圆的标准方程；（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.解：（1）因为圆心在上且与轴相切，所以设圆心，半径为，所以圆方程为，又圆心到直线距离，圆被直线截得弦长为4，所以有：，解得，所以圆方程为：；（2）解法一：因为，又因为，所以，设，则，即，所以点轨迹方程为.因，所以的最小值就是的最小值，即为点到直线的距离，所以的最小值为.解法二：因为，又因为，所以，设，则，即，，，当时，取得最小值：，所以的最小值为.21.在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面.（1）证明：；（2）若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，故，因为四边形为菱形，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）设，由（1）可知，平面，故直线与平面所成的角为，所以，则与均为边长为2的等边三角形，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如下图：由平面，可得平面的法向量为，而，，，设（），则，，，设平面的法向量，则，取，可得，，故，所以平面与平面夹角的余弦值为，解得或0（舍去），所以存在一点使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的长为1..22.已知椭圆：（）过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若矩形各边均与椭圆相切，①证明：矩形的对角线长为定值；②求矩形周长的最大