广东省部分学校2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分学校2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的､1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A：时，，舍去；对于B：时，，舍去；对于D：时，，舍去；经检验数列的一个通项公式为，故选：C.2.已知直线的斜率为，则（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】因为的斜率为，所以，则.故选：B.3.已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】由题意知抛物线的准线为，因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4，所以,解得.故选：D4.数列中，已知，则（）A.4 B. C.1 D.2【答案】A【解析】在数列中，已知，则.故选：A5.若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.因恰有两个公共点,所以两圆相交，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A6.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因构成空间的一个基底，故不共面，对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足，即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误；对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足，即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误；对于C项，因，故共面，即C项正确；对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足，即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误.故选：C.7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.设最小的正三角形的边长为米，则，则，即，得，故最小的正三角形的边长为米.故选：B.8.已知直线与交于点，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点，且，所以，所以与的交点在以为直径的圆上，则点的坐标满足（不含点）．可设，且，则，所以当时，的最大值为．故选：D二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为成等比数列，所以，则，又不为0，所以，，符号不确定，故A错误.，故B正确；所以，故C正确；，故D错误；故选：BC.10.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．11.已知为正方体所在空间内一点，且，，则（）A.B.三棱锥的体积为定值C.存在唯一的，使得平面平面D.存在唯一的，使得【答案】AB【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，,因为，故，即有，即，故点在线段上，有，则有，，则，故，故A正确；由点在线段上，且，又平面，平面，故平面，故点到平面距离不变，故三棱锥的体积为定值，故B正确；在正方体中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C错误；，故，由，得，方程无解，故不存在实数，使得，故D错误.故选：AB.12.已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根据题意，图象如图所示：设为椭圆C的左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点，所以由椭圆的对称性得，又，于是四边形为平行四边形.因为M，N分别为，的中点，是中点，所以，，平行四边中,，在中，.因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.综上所述，；因为，故A，C错误；，即，故B正确；，即，故D正确.故选：BD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点是点在坐标平面内的射影，则______.【答案】2【解析】因为点是点在坐标平面内的射影，所以，所以，所以.故答案为：214.等比数列的前项和为，若，则__________.【答案】28【解析】由题可知的公比不为，故成等比数列，所以，因为，解得，故答案为：2815.若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】由双曲线的虚轴长为4，可得，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则______.【答案】24【解析】由题可知，则，这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，解得，则，故，若是等差中项，则，解得，则.故.故答案为：24四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在数列中，.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的前项和.解：（1）因为，所以.又，所以是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，则，则，则.18.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.解：（1）设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故直线的方程为或.19.已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆的圆心的运动轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）直线与都经过点且互相垂直，与相交于两点，与相交于两点，求的最小值.解：（1）设圆心，因为动圆经过点，且与直线相切,则，所以，整理得，故的方程为.（2）由题可知，与的斜率均存在且不为0，设的方程为的方程为.联立方程组整理得，则，同理可得，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为256.20.如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．（1）求的长;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设，由，得，，，．因为F是的中点，所以，则，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．所以，故二面角的正弦值为．21.已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且，．（1）求和的通项公式；（2）在中，对每个正整数k，在和之间插入k个，得到一个新数列，设是数列的前n项和，比较与20000的大小关系．解：（1）设数列的公差为d，因为，则，解得，所以，．（2）因为，当时，，可知，且，令的前n项和为，则，可得，两式相减得，即，可得，所以．22.已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．解：（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得，所以椭圆的方程为．（2）（方法一）由题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，