2025版高考数学一轮总复习应用创新题组3.2导数的应用

.2导数的应用应用篇知行合一应用利用导数探讨三次函数的性质1.(2024届河南安阳月考,10课程学习情境)若函数y=ax3-x在R上是减函数,则()A.a≥13B.a≤0C.a=2答案B因为函数y=ax3-x在R上是减函数,所以y'=3ax2-1≤0在R上恒成立,当a=0时,y'=-1<0,符合,当a≠0时,由3ax2-1≤0恒成立得a<0.综上所述,a≤0.故选B.2.(2024百师联盟第四次测试,13)若函数f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一极值点,则实数a的取值范围是.

答案-解析由三次函数图象特点知,其最多有1个极大值点和1个微小值点.f'(x)=3x2+4ax+a,若f(x)在(0,1)上存在唯一极值点,则f'(0)·f'(1)<0⇒a·(3+4a+a)<0⇒a∈-33.(2024山东淄博一模,13)已知等比数列{an}中,首项a1=2,公比q>1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是答案1022解析由f(x)=13x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,所以a2,a3是函数f'(x)=x2-12x+32的两个零点.故a2+a3=12,a2·a3=32.因为q>1,所以a2=4,a3=8,故q=2,则数列4.(2024届四川绵阳一诊,20课程学习情境)已知函数f(x)=-13x3+ax2+3a2x-53(1)当a=-1时,求f(x)在区间[-4,2]上的最大值与最小值;(2)若函数f(x)仅有一个零点,求a的取值范围.解析(1)f'(x)=-x2+2ax+3a2=-(x-3a)(x+a).当a=-1时,f'(x)=-(x-1)(x+3),在x∈[-4,2]上,由f'(x)>0,解得-3<x<1;由f'(x)<0,解得-4≤x<-3或1<x≤2.∴函数f(x)在区间(-3,1)上单调递增,在区间[-4,-3),(1,2]上单调递减.又f(-4)=-253,f(-3)=-323,f(1)=0,f(2)=-73,∴函数f(x)在区间[-4,2]上的最大值为0,最小值为(2)f'(x)=-x2+2ax+3a2=-(x-3a)(x+a).i)当a<0时,由f'(x)>0,解得3a<x<-a,∴函数f(x)在区间(3a,-a)上单调递增;由f'(x)<0,解得x<3a或x>-a,∴函数f(x)在区间(-∞,3a),(-a,+∞)上单调递减.又f(0)=-53<0,∴只须要f(-a)<0,解得ii)当a=0时,明显f(x)只有一个零点.iii)当a>0时,由f'(x)>0,解得-a<x<3a,∴f(x)在区间(-a,3a)上单调递增,由f'(x)<0,解得x<-a或x>3a,∴函数f(x)在区间(-∞,-a),(3a,+∞)上单调递减,又f(0)=-53<0,∴只须要f(3a)<0,解得0<a<3综上,实数a的取值范围是-1,35.(2024届甘肃顶级名校二模,21探究创新情境)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.(1)探讨f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.解析(1)f'(x)=3x2-2x+a,Δ=4-12a,当Δ=4-12a≤0,即a≥13时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增当Δ=4-12a>0,即a<13时,令f'(x)=0,解得x1=1-1-3a3,x当x∈-∞,1-1-3a3当x∈1-1-3a3,当x∈1+1-3a3,+∞综上,当a≥13时,f(x)在R上单调递增当a<13时,f(x)在-∞,1-1-3a3,1+1-3a3,+∞(2)设切点坐标为(x0,y0),则f(x0)=x03-x02+ax0+1,f'(x0)=3x02-2x0+a,故切线方程为y-(x03-x02+ax0+1)=(3x02-2x0+a)(x-x0),又切线过坐标原点,则0-(整理可得(x0-1)(2x02+x0+1)=0,解得x则f(x0)=f(1)=1-1+a+1=a+1,f'(x0)=f'(1)=1+a,切线方程为y=(a+1)x,与y=x3-x2+ax+1联立,化简得x3-x2-x+1=0,即(x-1)(x2-1)=0,解得x1=1,x2=-1,∴f(1)=a+1,f(-1)=-1-a.综上,曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,a+1)和(-1,-1-a).6.(2024届北大附中10月月考,18)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+4,a∈R.(1)当a=2时,求f(x)在区间12,3(2)若f(x)>0对x∈(1,2)恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=x3-3x2+2x+4,f'(x)=3x2-6x+2,令f'(x)=0,得x1=1-33,x2=1+3因为1-33<12<1+所以f(x)与f'(x)在区间12,3的改变状况x11+31+f'(x)-0+f(x)↘微小值↗又f12=358,f(3)=10,所以f所以f(x)在区间12,3(2)当x∈(1,2)时,“f(x)>0”等价于“a>-x2+3x-4x”设g(x)=-x2+3x-4x,x∈(1,2),则g'(x)=-2