上海市徐汇区2025届高三数学一模试题含解析

上海市徐汇区2024届高三数学一模试题考生留意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3.全部作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置干脆填写结果.1.已知全集，集合，则__________.【答案】【解析】【分析】先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】由解得，所以，所以，故答案为：2.在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则_____________.【答案】【解析】【分析】由已知求得，进一步得到，再依据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．【详解】解：由题意，，，．故答案为：2．3.不等式的解集为____________.【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解，【详解】恒成立，原不等式可化为，即，解得，故答案为：4.函数在区间上的零点是___________.【答案】【解析】【分析】依据零点的定义，求解简洁的三角方程，即可求得结果.【详解】令，解得，又，故可得.即函数在区间上的零点是.故答案为：.5.已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______【答案】【解析】【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域.【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，，则时，，所以，作出函数图像如下图所示：由图像可知：函数值域为.故答案为：6.在的二项绽开式中，项的系数是___________.【答案】【解析】【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，令，得，所以项的系数是.故答案为：.7.已知圆锥的侧面积为2π，且侧面绽开图为半圆，则底面半径为____.【答案】1【解析】【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，依据题意可求得母线长，从而可求得底面圆的周长，即可得出答案.【详解】解：题中圆锥绽开图如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，因为圆锥的侧面积为2π，且侧面绽开图为半圆，所以，所以，故底面圆的周长为，即，解得，所以底面半径为1.故答案为：18.在数列中，，且，则__________.【答案】4【解析】【分析】利用递推公式累加即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案为：49.某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参与学问竞赛，将他们的成果（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成果在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成果不低于乙班选取得学生成果记为事务，则事务发生的概率___________.【答案】【解析】【分析】依据茎叶图利用古典概型的计算公式求解即可.【详解】从甲、乙两班优秀学生中各取1人全部的可能为：，共18种状况，其中甲班选取的学生成果不低于乙班选取得学生成果的状况有4种，所以，故答案为：10.在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】依据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,,,,即,记,则,若求的最小值即求的最小值,过点作的垂线交于点,此时最小,如图所示:,故答案为:11.设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】依据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】依据题意，令，解得或，不妨设作图如下：又直线的斜率为，数形结合可知，要满意题意，；且为方程，即的两根，当时，，则，故；为方程，即的两根，当时，，则，故；则，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，又，故，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.12.已知正实数满意，则的取最小值___________.【答案】【解析】【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，所以，如图所示，点A关于直线对称的点设为，则有解得，所以，由图可知，当在直线时，最小，最小值为，即的最小值为，故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置.将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】由可推出同号,则依据分类探讨可得出,依据,两边同乘可得,即可选出选项.【详解】解:由题知,则同号,当时,有,当时,有,故能推出,当成立时,又,对不等式两边同时乘以可得,故“”是“”的充分必要条件.故选:C14.已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】分析】依据两圆相交圆心距验证各选项即可.【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满意，故选：C15.已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满意：，，，则直线a、b、c位置关系不行能是（）A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面【答案】B【解析】【分析】作出平面以及平面的直线的全部状况即可求解.【详解】如图1，可得，，可能两两垂直；如图2，可得，，可能两两相交；如图3，可得，，可能两两异面.对于B，如图，假设，，可得，平面两两垂直，，，，这与相冲突，假设不成立，故B不正确；故选：B.16.设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列推断正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】【分析】由题规律找出的表达式，利用不等式的性质推断即可，对进行分类探讨写出，从而求出，利用即可.【详解】由题意得：当时，其中，，所以不存在正整数，使得，故①为假命题；当时，所以当时；故数列是严格减数列，所以②为真命题.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可【小问1详解】因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以.因为，，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，，，平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，设，，，，因为，所以，即，则，由（1）平面的一个法向量为.又设直线与平面所成角的大小为，则.因此，直线与平面所成角的大小为.18.已知.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【小问1详解】当时，，，所以，.所以函数在点处的切线方程为.【小问2详解】因为，定义域为，所以.①当时，与在上的改变状况如下：1+00+单调递增极大值单调递减微小值单调递增所以函数在及内严格增，在内严格减；②当时，恒成立，所以函数的单调增区间为.综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；当时，函数单调增区间为.19.近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,很多城市接连建起众多“口袋公园”、现安排在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建立“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.（1）假如点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;（2）“地摊经济”对于“拉动敏捷就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有主动作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开拓临时摊点,主动推动“地摊经济”发展,预料每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】（1）(米)（2）2024万元【解析】【分析】(1)依据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过协助角公式化简求出最值即可.【小问1详解】解:由题,,同理,故,由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,则,,因为,,所以为等边三角形,则,因此三条街道的总长度为（米）.小问2详解】由图可知,,,,在中由余弦定理可知:,则,设三条步行道每年能产生的经济总效益,则,当即时取最大值,最大值为.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2024万元.20.已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点.（1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；（2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；（3）是否存在不全相等，，满意，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）或（3）存在，【解析】【分析】（1）依据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解,（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解，（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，依据假设，代入即可化简求解.【小问1详解】由题得，曲线为：，又离心率为，，则，又因为，因此，.【小问2详解】设，，联立方程得，因为，则，，所以，，解得或.因此，曲线的方程为：或.【小问3详解】联立得，又，得，解得，假设存在（，，不全相等），使得成立.故，有，进一步有，化简得，由在第一象限，且，得.（i），则，，；（ii），则，得，又因为，则与已知冲突.综上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此时【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采纳联立方程，得韦达定理.常采纳设而不求的思想.常用的做题思路为：(1)设直线的方程为，设交点坐标为，(2)联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者(3)依据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满意的性质和题目中的条件求得参数值或者参数的关系.21.对于数列，，其中，对随意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，.（1）若（是正整数），求，，，的值；（2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，假如存在，恳求出最小值，假如不存在，请说明理由；（3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是.【答案】（1），，，（2）存在，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由“接近数列”得定义可干脆求出，，，的值；（2）分为奇数和偶数探讨，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解；（3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去肯定值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合肯定值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证.【小问1详解】因为，所以，又因为为数列的“接近数列”，，所以，只能是，，，；【小问2详解】当为奇数时，，由函数的单调性可知，即，得，进一步有，当为偶数时，，由函数的单调性可知，即，得，进一步有，综上所述：，由前项和公式化简得，，当为偶数时，令无解；当为奇数时，令，所以，，即.因此