2025版高考数学一轮总复习第1章预备知识第4节不等式的性质与基本不等式教师用书

第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，驾驭不等式的性质．2．驾驭基本不等式ab≤a+b2一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a－b>0⇔a>b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b<0⇔a<b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(同向可加性)(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(6)可开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N，倒数性质的两个必备结论(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1(2)a＜0＜b⇒1a＜13．基本不等式ab(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a+b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a4．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)假如和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s21．运用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不行．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续运用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一样．5．常用结论(1)a2+b22≥a+b(2)ba+ab≥2(ab＞0)(当且仅当(3)21a+1b≤ab(4)若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b+ma+m；ba＞b-m二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． (×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小． (×)(3)不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab(4)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为4. (2．设b<a，d<c，则下列不等式中肯定成立的是()A．a－c<b－d B．ac<bdC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋cC解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．3．当x>0时，函数f(x)＝2xxA．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2B解析：f(x)＝2x+1x≤22x·1x＝1，当且仅当x＝4．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>QA解析：不妨取a＝b＝12，则P－Q＝14(x＋y)2－12x2－12y2＝－14(x－y)25．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1a<B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1a<1b不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2024·济南质量检测)已知实数a，b，c满意a<b<c，且ab<0，那么下列各式中肯定成立的是()A．ab>ac B．a(c－C．ac2>bc2 D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则ab<ac，ac2<bc2，ab(b－4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma，b-ma＜＜解析：因为b>a>0，m<0，所以b－a>0.因为mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb<ma.因为b-ma-m-ba＝解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，但肯定要留意不等式成立的条件；二是可以用作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________；23解析：因为0＜x＜1，所以4－3x>0，所以x(4－3x)＝13·当且仅当3x＝4－3x，即x＝23(2)当x+9x4解析：x+9x+1＝x＋1＋9x+1－1≥29－1＝5，当且仅当配凑法求最值的依据、技巧(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求解最值．考向2常值代换法求最值(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a+4解析：因为a＋b＝1，所以1a+1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba(2)已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为_________．9解析：由x＋2y＝xy得2x+1y＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)2x+1y＝5＋2xy+2yx≥5＋22xy1．将本例(1)条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a1＋223解析：因为a＋2所以13a＋23所以1a+1b＝1a+1当且仅当a＝2b时，等号成立．2．若本例(1)条件不变，则1+19解析：1+1a1+1b＝1+a+ba2+a+bb＝2+b常数代换法求最值的步骤(1)依据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用基本不等式求解最值．考向3消元法求最值(1)已知正数a，b，c满意2a－b＋c＝0，则acb2A．8 B．2C．18 C解析：因为a，b，c都是正数，且满意2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以acb2＝ac2a+c2＝ac4a2+4ac+c(2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝1-y45y2，由则x2＋y2＝1-y45y2＋y2＝1+4y45y2＝154y2故x2＋y2的最小值为45方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤5x2+y2+4y222＝当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝12，x2＝310，等号成立，故x2＋y2≥即x2＋y2的最小值为45消元法求最值的技巧(1)消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．(2)假如出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但肯定要留意各个元的范围．(多选题)设正实数m，n满意m＋n＝2，则()A．1m+B．m+C．mn的最大值为1D．m2＋n2的最小值为2CD解析：因为正实数m，n满意m＋n＝2，所以1m+2n＝1m+＝1≥123+2nm·2mn＝3+222，当且仅当nm＝n＝4－22时取等号，A错误；(m+n)2＝m＋n＋2mn＝2＋2mn≤2＋2×当且仅当m＝n＝1时取等号，所以m+由mn≤m+n22＝1,当且仅当m＝n＝1时取等号，此时mn2m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥2，当且仅当m＝n＝1时取等号，即m2＋n2的最小值为2，D正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应削减1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司确定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入x4万元作为宣扬费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m解：(1)设商品的单价提高a元，则(10－a)·(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满意mx＝12(x2＋x)＋x4＋50(x＞5)即可，此时m＝12x＋34+50x≥2x2·50故销售量m至少应达到434利用基本不等式求解实际问题的两个留意点(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，其次次加油y元/升．甲的平均单价为mx+my2m＝x+y2，乙的平均单价为2nn因为x≠y，所以x+y22xyx+y＝x2．(多选题)(2024·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从P点沿海岸线正东方向12km处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸距点P处的距离．设u＝x2+4＋x，v＝x2A．函数v＝f(u)为减函数B．15t－u－4v＝32C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3hAC解析：因为u＝x2+4＋x，v＝x2所以x2+4＝u+v2，x＝u-v2，uv＝4，则v＝4u整理得15t＝u＋4v＋36，B错误；15t＝u＋16u＋36≥2u·16u＋36＝44，当且仅当u＝16u，即u＝4时等号成立，则4＝x2+4＋x，解得x＝1.5，C正确；当x＝4时，t＝253+83．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创建的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x+25x，而x>0，故yx≤18－2拓展考点肯定值三角不等式定理1假如a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立定理2假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y证明：|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|≤3×16＋2×1即|x＋5y|≤1.证明肯定值不等式的3种主要方法(1)利用肯定值的定义去掉肯定值符号，转化为一般不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满意x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1[四字程序]读想算思若实数x，y满意x2＋y2－xy＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x2＋y2，xy，(x±y)2的关系转化与化归x＋y≤1；x＋y≥－2；x2＋y2≤2；x2＋y2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x＋y＝t消y，依据关于x的方程有解列不等式．3．求xy的范围，把x＋y，x2＋y2看作关于xy的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy≤x+y22，xy≤x2+y22构造关于x＋yBC解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3x+y22，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时，取等号，即当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当x＝y＝1时，x＋由x2＋y2－xy＝1，得(x2＋y2)－1＝xy≤x2+y22，解得x2＋y2当x＝13，y＝－13时，x2＋y2＝思路参考：令x＋y＝t消y，依据关于x的方程有解列不等式．BC解析：令x＋y＝t，则y＝t－x，代入x2＋y2－xy＝1得关于x的方程3x2－3tx＋(t2－1)＝0，则Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.令x2＋y2＝m，则由x2＋y2－xy＝1得xy＝m－1，于是有m≥2|m－1|，解得23≤m≤2，即x2＋y2∈2思路参考：求xy的范围，把x＋y，x2＋y2看作关于xy的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy＋1＝x2＋y2≥2|xy|得xy∈-13，1，则x2＋y2＝xy＋1∈23，2，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋11．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形实力、推理实力和表达实力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x＞0，y＞1，且x＋2y＝xy＋1，则x＋y的最小值为_________．5解析：令x＋y＝t，则x＝t－y.将x＝t－y代入x＋2y＝xy＋1，得t＋y＝ty－y2＋1，即y2＋(1－t)y＋t－1＝0，Δ＝(1－t)2－4(t－1)＝t2－6t＋5≥0，得t≤1(舍去)或t≥5.故x＋y的最小值为5.课时质量评价(四)A组全考点巩固练1．(2024·日照模拟)若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系肯定成立的是()A．a＋c<b＋c B．1a<C．ac>bc D．b－a>cA解析：对于A，因为a<b，c＝c，所以由不等式的性质可得，a＋c<b＋c，故A正确；对于B，令a＝－2，b＝－1，满意a<b，1a>1b，故B错误；对于C，令a＝－2，b＝1，c＝1，满意a<b，c>0，但ac<bc，故C错误；对于D，令a＝1，b＝2，c＝1，满意a<b，c>0，但b－a＝2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A．x＝y B．x＝2yC．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1C解析：因为x>0，y>0，所以x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时，等号成立．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件．3．(2024·滨州三校高三联考)已知a>0，b>0，若不等式4a+1A．10 B．12C．16 D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，则m≤4a+1b(a＋b)恒成立，转化成求y＝4a+1b(a＋b)的最小值．y＝44．(多选题)已知1a<1A．a<b B．a＋b<abC．|a|>|b| D．ab<b2BD解析：由1a<1b<0，得b<a<0，所以a＋b<0<ab，|b|>|a|，b2>因此BD正确，AC不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法探讨代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，许多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD.作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是()A．ab≥2aba+b(aB．a+b2≥ab(aC．a2+b22D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)A解析：连接DB，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，中线OD＝AB2＝a+b2.由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab.所以CD＝在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝ab由CD≥DE得ab≥6．(2024·济南模拟)若正数a，b满意ab＝4，则1a3解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝4，所以1a+9b≥21a当且仅当1a＝9b，即a＝23所以1a7．若a>0，b>0，则1a+a22解析：因为a>0，b>0，所以1a+ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22b·b＝22，当且仅当1a＝ab28．已知正数x，y满意x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是_________．3解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝3-x22x＝32x-12x，则2x＋y＝2x＋32x-12x9．(2024·唐山模拟)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.(1)求证：a＋b≤2；(2)推断等式ac+bd＝c＋(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a+b22＋1，当且仅当a＝解得(a＋b)2≤4.又a>0，b>0，所以a＋b≤2.(2)解：不能成立．理由：a>0，b>0，c>0，d>0，由基本不等式得ac+bd≤a+c2+b+d2，当且仅当因为a＋b≤2，所以ac+bd≤1＋c+d2.因为c>0，d所以c＋d＝c+d2+c+d2≥故ac+bd＝c＋B组新高考培优练10．已知正实数a，b满意a＋b＝3，则11+aA．1 B．7C．98C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+a+44+b＝18[(1＋a)＋(4＋b)]·11+a+44+b＝185+4+b1+a+41+a4+b≥111．(2024·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4a+1A．10 B．12C．16 D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，则m≤4a+1b(a＋b)恒成立，转化成求y＝4a+1b(a＋b)的最小值．y＝412．(多选题)(2024·重庆模拟)已知正实数a，b，c满意a2－ab＋4b2－c＝0，当cabA．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为3D．a＋b－c的最大值为3BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则cab＝ab+4ba－1≥2ab·4ba－1＝3，当且仅当ab＝4ba，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当cab取最小值时，由cab=3，a=2b，得c＝6b2，故B