内蒙古赤峰市元宝山区2024-2025学年高二数学下学期4月月考理试题含解析

Page17高二数学月考理科时间120分钟总分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数，则在处的切线斜率为（）A.0 B.2 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】先求解出，然后计算出的值即为在处的切线斜率.【详解】因为在图象上且，所以，所以在处的切线斜率为，故选：B.2.如图，函数的图象在点处的切线是，则等于（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点，则可知l：，，，，故选：D．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，解题方法如下：（1）依据图中所给的点的坐标，求得切线方程；（2）利用切线方程，依据横坐标，求得点的纵坐标的值；（3）依据切线方程得到斜率，求得的值；（4）作和得结果.3.等于A.1 B.e-1 C.e D.e+1【答案】C【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理求解定积分的值即可.【详解】由微积分基本定理可得：.故选C.【点睛】本题主要考查微积分基本定理计算定积分的方法，属于基础题.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上是增函数B.是函数的微小值点C.D.【答案】D【解析】【分析】由图得出函数的单调性推断ABD，依据推断C.【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；由图可知，，故C错误；函数在上单调递增，则，故D正确；故选：D5.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得导函数，利用，及定义域解不等式即可得出结果.【详解】当时，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.6.函数在区间上的最大值为A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导数，求出函数的单调区间，依据单调性判定最值.【详解】解：由题意可得当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以故选：B.【点睛】求函数区间上的最值的步骤：（1）求导数，不要遗忘函数的定义域；（2）求方程的根；（3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定函数的极值.（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值.7.已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数是递增函数可得在R上恒成立，再分别参数，由取值范围即得结果.【详解】在R上为增函数，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故选：D.8.若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.【详解】将代入得到，所以切点为.因为，所以，所以，当时，，增函数.所以函数的增区间为.故选：C9.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．10.函数的定义域为R，，对随意，都有成立，则不等式的解集为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数推断出函数的单调性即可求解.【详解】设，则，又对随意，都有成立，所以，所以在上单调递减，则不等式，可得，所以，所以，所以不等式的解集为.故选：C【点睛】本题考查了构造函数探讨函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解实力，属于基础题.11.函数在内有极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值充要条件即可作答.【详解】由得，，因函数在内有极值，则时，有解，即在时，函数与直线y=a有公共点，而，即在上单调递减，，则，明显在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．12.已知恰有一个极值点为1，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合导数转化条件得在上无解，令，求导后确定函数的值域即可得解.【详解】由题意，函数的定义域为，对函数求导得，恰有一个极值点为1，在上无解，即在上无解，令，则，函数在单调递增，当时，，.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题一是要理解恰有一个极值点，即在极值点的两边的单调性不同，二是导函数的另一个因式等于0时无解，三是要通过分别参数求出结果.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.________【答案】##【解析】【分析】利用定积分的运算性质和几何意义进行求解即可.【详解】因为表示曲线与横轴围成的面积，所以，，所以，故答案为：14.点是曲线上随意一点，则点到直线的最短距离为_________.【答案】【解析】【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点到直线的距离最短，依据导数几何意义求得点P坐标，最终依据点到直线距离公式得结果.【详解】设与函数的图象相切于点P（x0，y0）.所以，，解得，∴点到直线的距离为最小距离，故答案为：.15.函数在处取得极值10，则___________.【答案】【解析】【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为在处取得极值10，可得，解得或，检验知，当时，可得，此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当时，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，函数取得微小值，符合题意.所以.故答案为：.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要探讨参数的大小；2、求函数最值时，不行想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.16.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则成立时的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】设函数，则，即函数在上单调递减；因为为奇函数，所以为偶函数，因此在上也单调递增；又，所以，当时，；当时，；当时；当时，；故应填答案．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求的单调区间.【答案】（1）；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为.【解析】【分析】（1）求出导函数，然后计算导数得斜率，从而得切线方程；（2）由得增区间，得减区间．【详解】解：（1）∵，∴，∴.又∵，∴函数的图象在点处的切线方程为，即.（2）由（1），得，令，解得或；当时，或；当时，.∴的单调递减区间为和，单调递增区间为.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查求函数的单调区间．解题方法是求出导函数，计算得切线斜率，由点斜式写出切线方程并整理成一般式．而求单调区间只要解不等式即得增区间，解不等式即得减区间．18.已知函数在处取得极值7．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，依据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到，导数的方法探讨其单调性，进而可求出最值.【详解】（1）因为，所以，又函数在处取得极值7，，解得；，所以，由得或；由得；满意题意；（2）又，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，因此．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数探讨函数的问题，解题方法如下：（1）先对函数求导，依据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数探讨其单调性，得到其最大值.19.已知函数．（1）探讨函数的单调性；（2）设，若，求实数k的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，探讨、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）将不等式分别参数转化为在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解.【详解】解：（1）令，得当时，恒成立，且仅在时取等号，故在R上单调递减当时，在区间和上，在区间上，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为当时，在区间上，在区间上．所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）当时，由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立设，则令得；令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减∴实数k的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数探讨函数的单调性，利用导数探讨不等式恒成立，解题的关键是分别参数，将不等式转化为在上恒成立，考查了分类探讨的思想.20.函数，为常数．（1）当时，求函数的单调性和极值；（2）当时，证明：对随意，．【答案】（1）在单调递减，在单调递增，有微小值为，无极大值；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先求解出，然后依据求解出的值，再通过列表的方式确定出的单调性和极值；（2）将问题转化为证明“”，构造新函数，分析其单调性和最值，结合“隐零点”的思想完成不等式的证明.【详解】（1）因为，所以，所以，且．由得；得，得．列表得微小值所以在单调递减，在单调递增，且有微小值，无极大值．（2）证明：因为，所以，则要证，只需证．设则所以，故单调递增．又因为，所以存在，使得，即，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以当时，取得最小值．由知，所以，所以故，从而．【点睛】思路点睛：导数问题中运用“隐零点”思想的一般求解步骤：（1）先分析导函数的单调性，采纳零点的存在性定理确定出的零点；（2）分析在定义域上的取值正负，从而确定出的单调性，由此确定出的最值；（3）由（2）中计算出的最值可通过接着化简，由此求得更简洁的最值形式.21.已知函数.（Ⅰ）探讨的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种状况探讨，分析在上导数符号的改变，即可得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.且当时，，当时，，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类探讨思想的应用，属于中等题.22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间