江苏省常州市2024-2025学年高三年级上册期中质量调研数学试题（含答案解析）

江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期中质量调研数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={尤|丁＜6},8={-3,-1,0,2,3},则4nB=()

A.{-1,0}B.{0,2}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知a,6eR,则“b=e"”是"a=Inb”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知复数z满足z2-2iz-l=0,则z-5=（)

A.—2iB.2iC.0D.2

4.有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不

是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）

A.42种B.72种C.78种D.120种

5.已知生〃是两个不同的平面，a,6是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线/La

的是（）

A.a11〃甲B.I-La,alla

C.l//a,a±aD.ILa,lLb,aua,bua

6.已知函数f（x）=cos@x（0>O）的最小正周期为T.若27t<7<4无，且曲线y=关于点

］中心对称，则/⑴=（）

11V3V3

A.-B.——C.D.--

2222

已知戊,，£（兀），且旦,贝(Jcos/7二(

7.0,cosa=-^■:,sin(a+：）

10

A.叵B.一巫9MD.一题

C.

10105050

8.已知函数/（无）=bg.（2-。无）（a>0,且aHl）使得成立,则实数

试卷第1页，共4页

a的取值范围是（）

A.|,1]B.|,1]U（1,2]

C.（1,2]D.I，2

二、多选题

9.已知平面内两个单位向量落彼的夹角为e,则下列结论正确的有（）

A.（3+3）工（3-3）

B.归+4的取值范围为[0,2]

c.若归一可=5则”;

D.&在役上的投影向量为区区

10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的

概率为且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）

A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是。②（3-20

B.若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是5/（1-。）

C.若P=0.6,甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大

D.若p=0.6,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3

11.已知函数/（耳=（》-。）2。-6）（0<6）,2为/'（力的极大值点，则下列结论正确的有（）

A.Q=2

B.若4为函数/（力的极小值点，贝同=4

C.若/（x）在（胃/]内有最小值，则6的取值范围是（|,+[

D.若/（x）+4=0有三个互不相等的实数解，则6的取值范围是（5,内）

三、填空题

12.已知正数x/满足2刈=x+4y,则孙的最小值为.

13.在平面直角坐标系xQy中，已知点尸（cosa,sintz）,将线段O尸绕原点。按顺时针方向旋

试卷第2页，共4页

TT1

转1至线段0P.若cose=§,则点P的纵坐标为.

14.已知一个母线长为1,底面半径为〃的圆锥形密闭容器(容器壁厚度忽略不计)，能够被

整体放入该容器的球的体积最大时，〃=.

四、解答题

15.某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：

X23456

y47121314

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)请估计x=3.5时，对应的y值.

n__

人2%乂一〃％少_人_

附：在经验回归方程»=G+中，5=号------—^=y-bx,其中歹，无为样本平均值.

之x；-nx

i=l

16.在锐角V/3C中，。，b,c分别是角A,B,C所对的边，已知1一cos2/=4sin/sin8sinC.

(2)若。=2,求V/2C的面积.

17.某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课

程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再

从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.

(1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和

数学期望；

(2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.

18.已知函数/'(X)是定义域为R的奇函数，当x<0时，/(x)=e'(x+2).

⑴求/(x)的解析式；

⑵求曲线y=在x=2处的切线方程；

(3)若都有-〃3)上明求实数机的最小值.

19.如图，在四棱柱一44GA中，已知CD1底面/BCD,AB//CD,ABLAD,

试卷第3页，共4页

AB=2AD=2CD=2,/4=逐，点£是线段上的动点.

(1)求证：8。"/平面BCD］；

(2)求直线AE与BBX所成角的余弦值的最大值；

(3)在线段8,上是否存在与B不重合的点E,使得二面角2-NE-C的正弦值为??若存

在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DABCCBBAABAC

题号11

答案AD

1.D

【分析】解不等式化简集合A,再利用交集的定义求解即得.

【详解】依题意，A-{x\-V6<X<V6},而8={-3,-1,0,2,3},

所以/口8={-1,0,2}.

故选：D

2.A

【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案.

【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知6=6"00=111%,

所以“6=e。”是“。=Inb”的充要条件.

故选：A

3.B

【分析】设z=a+6i,a,6eR,代入已知条件，求得。/，进而求得z-Z

【详解】设z=a+6i,a,6eR,贝！］（0+历丫.乂。+及）-1=o,

a2-b2+2b-l+2a（b-l）i=0,

所以<、-（<）一°,解得o=o,b=i,

41）=0

所以z=i,z=-i,z-z=2i.

故选：B

4.C

【分析】先计算A；,然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.

【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，

所以这5名同学的可能排名有人；-&-川+8=78种.

故选：C

答案第1页，共13页

5.C

【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.

【详解】对于A,。工四1邛,贝I"与。相交、平行或/ua,故A错误；

对于B,I工a,alia,则/与a相交、平行或/ua,故B错误；

对于C,llla.aVa,由线面垂直的性质知/_La,故C正确；

对于D,Ilaj1b,aua,bua,则/与。相交、平行或/ua,故D错误.

故选：C.

6.B

【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案.

【详解】由/(x)=cosOx,则7=—,由2兀<T<4兀，则2兀<—<4兀，解得一<①<1,

G)(D2

由/(x)=cos0x,则当①x=]+析(左£Z)时，函数/(X)取得对称中心，

47rIT24

由题意可得=—+kii^kEZ),化简可得co=—+—k(^kEF

当先=0时，0=显然当左看0时，0=2产任

所以/'(x)=cosgx,则/(兀)=cosg=-g.

故选：B.

7.B

【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式,

可得答案.

【详解】由。£(0,兀)，则sina=Jl-cos2a=

cos2a=cos2cr-sin2a=,sin2a=2sinacosa=—

55

由,易知Zac]、,兀，解得

兀3兀

由月£(0,兀)，a+j3E,且sin(a+/?)〉0,则a+/

45T

可得cos(a+尸)=±Jl-siif再=±*

所以cosB=cos(a+〃-a)=cos(a+〃)cosa+sin(a+')sina

772A/5y/22正2MH国

=±----x---1----x----=-----------

10510550

答案第2页，共13页

当cos0=9W>0时,广sin0=J-cos?/?=，

此时cos(a+月)=7,>0,则4+夕，

44117

cos2^=cos/?-sin(3=9sin2〃=2sin〃cos/?=,

则£e„,易知2万",\|,解得乐(患,此时0+夕11今)

2呵

50

当cos/7=<0时，夕sin夕=J1一cos?°=，

止匕时cos(a+/)=-7『<o,则a+/£1万述］,

4.^3

由cos2Q=cos/?-sin/?=--,sin2/7=2siny5cos/?=—,

则£e(0,［易知2/?ef解得£e,cos/=-噜；

故选：B.

8.A

【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.

【详解】•=2-1在［1,2］单调递减，「.％=2时,2-2d；>0,BPa<1,

另外，0<aVl时，y=k）g/单调递减，.••/（”在[1,2]单调递增，

2

"Oax=7（2）=log,（2-2a）>l,:.2-2a<a,:.a>~.

综上所述，。的取值范围是

故选：A

9.AB

【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项,由于（1+孙,5）=片一铲=0,

所以（3+1），,-在），所以A选项正确.

B选项，忖+闸=J（3+®2+2小3+/=j2+2cos6>,

cosee[-l』,2+2cosee[0,4,V2+2cos^<0,1，所以B选项正确.

答案第3页，共13页

C选项，B.-盯=yja2-^-b+b2=yl2-2cos6=枢，

解得35。=-不10"以，所以0=?271,所以C选项错误.

23

a-bb/r

D选项，3在B上的投影向量为下「忖=仁。'®n)X。，所以D选项错误.

故选：AB

10.AC

【分析】对于选项A:采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜

三种情况分别计算求和即可；对于选项B:采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三

局中甲胜两局，第四局甲胜；对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，

比较即可；对于选项D:在甲获胜的条件下比赛局数X=3,4,5,借助条件概率分别计算进而

求出期望即可判断.

【详解】对于选项A:若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲

胜三种情况，

则最终甲胜的概率为月=/+。(1-p)p+(1-。)/=/(3-2。)，故选项A正确；

对于选项B:若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜,

则甲以3：1获胜的概率是E=C；p2(i-p)°=3p3(l-p),故选项B错误；

对于选项C:因为p=0.6,结合选项A可知，若采用3局2胜制，

最终甲胜的概率为6=/(3-20=06(3-2x0.6)=0.648,

若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3:0,3:1,3:2三种情况，

所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是

=0.63+C^x0.62x(1-0.6)x0.6+x0.62x(1-0.6)2x0,6=0.68256

因为0.68256>0.648,所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C正

确；

对于选项D:因为p=0.6,且采用5局3胜制，甲获胜的概率为4=0.68256

在甲获胜的条件下比赛局数X=3,4,5

由条件概率公式可知：

答案第4页，共13页

尸(丫=3)=%0.216()_C；X0.62X(1_O.6)X0.6_0.2592

0.68256；(一卜R-0.68256

CjxOSxQ-0.6)2x0.60.20736

p(X=5)=：

《0.68256

所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是

0.216^1+5x2^

£(X)=3x+4x~4,

0.682560.682560.68256

故选项D错误.

故选：AC.

11.AD

【分析】先求得/'(X),然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从

而确定正确答案.

【详解】对于A,y'(x)=2(x-a)(x-6)+(无一。『=(x-a)(2x-2，+x-a),

,

=(x-a)(3x-a-2b),/,(x)=0,则x=a或"，J而a<6,则a<a

令广(x)>0,得…或x<^^；令((x)<0,得…

/(x)在(-*a)单调递增，［，等单调递减，(与丝,+j单调递增，

\/(x)的极大值点为。，；.a=2,A对.

对于B,若4为极小值点，则马m=4,则b=5,B错.

对于C/(x)在［看,“内有最小值，则/(x)在气差处取得最小值二竺；

f(x)=(x-2)(x-b)f/(引"［二—J,

8

故

错

>C误

-3-

对于D〃x)=-4有三个互不相等的实数解，"2)=0,

则一«彳［<-4,故6>5,故D正确；

故选：AD

答案第5页，共13页

【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断

函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.

条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准

确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.

12.4

【分析】利用基本不等式来求得正确答案.

【详解】依题意，2孙=X+=当且仅当》=47=4时等号成立.

所以冷的最小值为4.

故答案为：4

【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案.

【详解】由题意可知，终边为。尸的角为“，则终边为OP的角为楙，

点尸'的纵坐标为sin（a-5]=-cosa=-：.

故答案为：-；.

14.T+―

2

【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法，结合导数来求得正确答案.

【详解】如图所示，圆锥的轴截面是APHB,

设A尸48内切圆的半径为R,也即圆锥内切球的半径为尺,

则gx2rxjr(1+1+2厂)•R,

3(2/一3,2)(1+r)一卜2_,3)

--r,、，、

设/（「）=1+,。＞。），〃卜）=

(1+厅

答案第6页，共13页

所以/⑺在,，三亚］上/'（厂）＞0,/'⑺单调递增，

\7

（厂、

在区间|匚产,+e上/'（r）＜OJ（r）单调递减，

所以当厂=匚铲1时，/取得极大值也即是最大值，

所以当r=士好时，能够被整体放入该容器的球的体积最大.

2

故答案为：常

【点睛】关键点睛:

几何模型的准确构造：通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径，是解题的关键.几何模型

的正确设定为后续的导数求解提供了基础.

导数与单调性的结合应用：在求解极值问题时，利用导数分析函数的单调性，是找到最大值

的有效方法.通过对函数的求导，并结合单调区间的判断，可以确保解的准确性.

15.(l)y=2.6x-0.4

（2）8.7

【分析】（1）根据回归方程的求法求得正确答案.

（2）利用回归方程求得预测值.

2+3+4+5+64+7+12+13+14

【详解】（1）x==4,y=-----------------------=10,

55

n__

Y.x^-nx-y

2x4+3x7+4x12+5x13+6x14-5x4x10

q----—=生=2.6,

22+32+42+52+62-5X4210

1=1

A=10-2.6x4=-0.4，所以回归方程为$=2.6x-0.4.

答案第7页，共13页

(2)x=3.5时，y=2.6x3.5-04=8.7.

16.(1)2

(2)1

【分析】(1)根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式以及同角三角函数商的关系求解即

可；

(2)利用正弦定理以及三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)由l—cos24=4sin4sinBsinC,得2sin2力=4sin力sinBsinC,

即sin/=2sinBsinC，

/.sin+C)=2sin5sinC,

sinBcosC+cosBsinC=2sin5sinC,

V/BC为锐角三角形，cos5w0,cosCwO,

.sin5cosC+cos5sinC_2sin5sinC

cos5cosCcos5cosC'

整理得tanB+tanC=2tanBtanC,即t&n'+tanC_1,

tanBtanC

11c

••--------1---------2；

tan5tanC

(2)由(1)知sinZ=2sin5sinC,

根据正弦定理得a=2bsinC,

a=2,bsinC=1,

S^ABC=-^absmC=；x2xl=1.

4

17.(1)分布列见解析，数学期望为］

(2)i

【分析】(1)根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.

(2)利用全概率公式来求得正确答案.

【详解】(1)X的可能取值为0,1,2,

尸(丫=0)=坐=上，尸(X=l)=g

\10v'cj

所以随机变量X的分布列为

答案第8页，共13页

X012

331

P

10510

3314

其数学期望为£(')=0*5+1><1+2*历=1

(2)用8表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”,

用40=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是产,

2

4,4,4两两互斥，£4=。，

z=0

331

由⑴知尸(4)=刀，尸(4)=寸尸(4)=n，

2

由全概率公式得，尸(8)=£尸(4)尸(814)

z=0

3C；C3C；C1CC；3

10C；5Cf5C：5

所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为3:

ex(x+2),x<0

18.(l)/(x)=<0,x=0

x—2,„

----,x>0

Iex

12

x

(^)y=e---er

(3)4

【分析】(1)根据函数的奇偶性求得了(x)的解析式.

(2)根据切点和斜率求得切线方程.

(3)先求得了(无)的值域，由此求得加的最小值.

【详解】(1)依题意，函数/("是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,

当x>0时，/(x)=-/(-JC)=-e-x(-x+2)=,

e*(x+2),x<0

所以/(x)=<0，x=0

答案第9页，共13页

(2)久>0时，)(x)=e'-e〈-2)==厂(2)=斗，切点(2,0),

eexe

iio

.•/(x)在X=2处的切线方程为y=[(x-2)=jx-\.

(3)当工=0时，/(0)=0.

当x<0时，/,(x)=eA'(x+3),

所以，当尤<-3时，八久)<0，函数/'(x)单调递减，且/(无)<0.

当-3<x<0时，/'(久)>0，函数/(x)单调递增，且当x—OJ(无)-2.

所以，当x=-3时，函数f(x)取得最小值_晓，

所以，当x<0时，“X)的取值范围是[-e，2).

因为函数/(x)是定义域为R的奇函数，

所以,当久>0时，-x<Q,f[x)=-f{-x),

可得;'(X)的取值范围是(-2,e-3].

所以函数/(x)的值域为(-2,2).

由题内,%eR,都有-〃9)归取其中|〃网)一〃9)|的取值范围是[0,4),

所以实数旭的最小值为4.

【点睛】思路点睛：

利用函数性质求解析式：首先根据奇函数的性质和已知条件，确定函数的解析式，这一步奠

定了后续求解的基础.

利用导数求切线方程：通过求导得到函数在特定点的斜率，从而求得曲线的切线方程.

单调性与值域的结合：通过分析函数的单调性，确定其值域，从而找到实数m的最小值.

19.(1)证明见解析

⑵等

答案第10页，共13页

(3)存在，BE=£—

3

【分析】(1)根据四棱柱的几何性质，结合线面判定定理，可得答案；

(2)根据直线与其斜交平面内的直线的交角的取值范围，求得平面与直线的夹角，结合法

向量与线面距，可得答案；

(3)求得组成二面角的两平面的法向量，结合夹角的向量公式，建立方程，可得答案.

【详解】(1)在四棱柱N2CD-44G〃中，易知4G/ABC,

因为4G<2平面BCD,,8Cu平面BCDt,

所以与£〃平面BCR.

(2)取48中点F，连接CF,

在梯形N5CA中，因为48=28,AB//CD,所以/尸〃CD,AF=CD,

则在口NFCD中，ADHCF,由/O_LCD,则CD_LCF,

易知CD,CECR两两垂直，分别以CACECR为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

在四棱柱N8CZ)-44CQ中，AA、=加,则DD]=石，

因为CD|_L平面48CD,CDu平面/BCD,所以

在RtACZ)°中，=小DD；-C»=2,

则/(1,1,0),5(-1,1,0),A(0,0,2),4(0,1,2),

取益=(-2,0,0),AD；=(-1,-1,2),=(-1,0,2),

,、n-AB=0—2x=0

设平面N82的法向量为力=x,%z,可得一,则

n-AD^O—x—y+2z=0

答案第11页，共13页

取Z=l,则x=0/=2,所以平面/B2的一个法向量力=（0,2,1）,

设点4到平面ABDt的距离d=