利用导数研究函数的零点（方程的根）解析版-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

1.（17-18高二•黑龙江牡丹江•课时练习）若。＞2,则方程;尤3一如2+i=o在Q2）上根的个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用一这2+1的导数讨论单调性，结合零点的唯一性定理可求解.

【详解】设=一公?+1,则尸（x）=Y-2以=%（％-2。），

因为々＞2,所以为＞4,

所以当工£（0,2）时，/（%）＜0,则人元）在。2）上为减函数，

又/（0）/（2）=lx（H_4a）=y-4a＜0,

所以f（x）=0在（0,2）上恰有1个根,

即方程;丁-狈2+]=。在（o,2）上根的个数为L

故选B

兀

2.（2024•四川凉山•二模）若f（x）=xsinx+cosx-1,xe--,n,则函数的零点个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.

【详解】（x）=sinJ;+xcosx-sinxcosx,

当》€（一/0）时，r（x）＜o,/（X）单调递减，

当时，r（x）＞0,/（x）单调递增，

当时，f'（x）＜0,/（力单调递减，

又+3=>>0,/(0)=0,咱=尸>0,/㈤=-2<0,

贝U/(x)=xsinx+cosx-1的草图如下：

由图象可得函数“X)的零点个数为2.

故选：C.

3.(2023•陕西西安•模拟预测)方程aef=x+l有两个不等的实数解，则。的取值范围为()

A.1加B.C)C.卜30)。.卜川

【答案】C

【分析】变形为a=(x+l)e，有两个不等的实数解，构造g(x)=(x+l)e"求导，得到单调

性和极值情况，又当x>T时，g(x)>0恒成立，当x<-l时，g(x)<0恒成立，从而得到

答案.

【详解】由题意得a=(x+l)e”有两个不等的实数解，

令g(x)=(x+l)e",定义域为R,

g，(x)=(x+2)e",当x>-2时，gf(x)>0,g(x)=(x+l)e*单调递增，

当x<—2时，g'(x)<0,g(x)=(x+l)e”单调递减，

故g(x)=(x+l)e工在x=-2时取得极小值，也是最小值，

故g(-2)=(-2+l)e-2=—J,

又当x>-l时，g(x)>0恒成立，当x<-l时，g(x)<0恒成立，

故要想a=(x+l)e*有两个不等的实数解，则ae

故选：C

/、flnx,x>0

4.(23-24高三上•河南郑州•阶段练习)已知函数〃x)=q彳<0，若关于x的方程

/(%)+尤-。=0有且只有一个实根，则实数。的取值范围是()

A.(l,+oo)B.[1,+<»)C.D.(-oo,l)

【答案】A

/、/、Ilnx+x,x>0/、

【分析】设g(x)=〃x)+x=工，问题可转化为g(x)与y只有1个交点，求

ICI%,JiXJ

导得到其单调性，画出其函数图象，数形结合求出答案.

【详解】令g(x)="x)+x{+xo,

则可转化为g(x)与y=a只有1个交点，

当X>0时，g(x)=lnx+x,故g'(x)=』+l>0恒成立，

故且(力=111%+%在％6(0,+0))上单调递增，

当xWO时，g(x)=e"+x,故8'(力=1+1>0恒成立，

故g(x)=e，+x在xe(-oo,l］上单调递增,又g(0)=e°+0=l,

画出g(x)的图象如下：

要想g(x)与只有1个交点，只需。>1,

故实数a的取值范围是(1,+8).

故选：A

5.(22-23高三上•江苏南京•阶段练习)已知函数若方程/⑴-x-。=。有

三个不同的解，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(l,e-l)C.(l,e)D.(e-l,e)

【答案】B

【分析】

将原题转化为丁=<(力与>=彳+。有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，

并利用导数处理切线问题.

【详解】

/f^x)-x-a-0,贝!J/(x)=x+a

•••原题转化为y=f(x)与y=x+。有三个不同的交点

y=x+a表示为斜率为1,纵截距为。的直线，如图可知:

1

满足条件的直线以过点A(l,e)的直线12,与/'(x)=e(x<1)相切的直线\为临界位置

若过点A(Le),则e=l+a,即。=©—1

若与〃x)=e*(x41)相切，则〃x)=e，=l,可得x=0,/(0)=l

即切点坐标为(0,1),则。=1

的取值范围是(LeT)

故选：B.

6.(2024,云南•模拟预测)已知函数〃尤)=xe*-x-lnx-a,若〃x)=0在xe(0,e)有实数

解，则实数。的取值范围是()

A.[0,+oo)B.L+e)C.[1,+co)D.[e,+co)

【答案】C

【分析】

首先分析题意，由于/(力=0,设出8(”=尤/-尤-1叭X40。进一步分析

/2(^)=xe'-l,xG(0,e),则〃(x)=e'.+m''>0,分析力⑺单调性解出实数。的取值范围.

【详解】根据题意,/(句=0,所以a=xe-x-tax,令g(x)3*lnx,x«0,e),

则函数=xe'-x-lux-a在(0,e)上存在零点等价于'与g(x)的图象有交点.

g，(x)=ex+xex-l--=eY(x+1)--=(x+l)Ll=(“叫(挖T,

XXX)X

令/1(力=犹"一1,%£(0,6，贝1]〃(%)=廿+求">0,故"(x)在(0,e)上单调递增，

因为〃(0)=-lv0,/i(l)=e-l>0,所以存在唯一的/«0,l),使得W％)=0,

心1

即/e"。—1"。，即e"=—,x0=-lnx0,

所以当O<x<Xo时/1伍)<0遥〈彳)<0,8(%)单调递减，当

为〈尤<e时,/z(%)>O,g〈x)>O,g(x)单调递增，所以

g(x)n*=g(尤o)=%e&_也=1_/+/=1,

又XfO时,g(X)f+8,故》€(0,6)送(3)41,+8),所以°21,

故选：C.

x2+2x,x<0

7.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)函数/(x)=e、，若函数g(%)=〃x)-加

——,x>0

、x

有3个零点，则加的取值范围为()

A.(-1,0)B.(-l,e)C.(e,+oo)D.(-oo,-l)

【答案】C

【分析】

利用导数研究函数/z(x)=3,x>0的图象，然后作出函数“X)的图象，结合图形可解.

【详解】令刈》)=£,x>0,则“(x)=(x[E,

当。<x<l时,/if(x)<0,〃(%)单调递减，

当x>l时,〃(x)>0,力⑺单调递增.

所以，当X=1时，取得极小值MD=e,

再结合二次函数图象，作出/(X)的图象如下图：

因为函数g(元)=/(%)-机有3个零点，

所以函数“X)的图象与直线y=根有3个交点，

由图可知，以>e,即加的取值范围为(e,+8).

故选：C

8.(2024•广西•模拟预测)若函数/(x)=lnx-就在(O,3e)上有两个不同的零点，则实数。的

取值范围是()

【答案】C

【分析】将函数零点问题转化成两函数图像交点，再利用导数与函数单调性间的关系，得出

H=吧InY，根据图像即可解决问题.

X

【详解】因为xe(O,3e),令〃x)=0,即Inx—依=0,贝加，=¥，

所以函数/(力=向-依在(0,3e)上有两个不同的零点等价于曲线％=¥和%=。在(0,3e)

上有两个不同的交点，

设g(x)=—,xe(0,3e),则/(尤)=^^,令g<x)=0,解得x=e,

当0<x<e时，g'(x)>0,当e<x<3e时，g'(x)<0,

所以g(尤)在(0,e)上单调递增，在(e,3e)上单调递减，

又g(e)=：,g(3e)=2^,当0<x<l时，g(x)<0,且x-0时，g(x)-»-oo,

其图像如图所示，

故选：C.

二、多选题

9.(22-23高二下・甘肃定西•阶段练习)若函数/(幻=彳3+5Y一6》+”有三个零点，则实数

a的可能取值是()

A.-10B.-9C.2D.3

【答案】BCD

【分析】根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图象，

结合图行进行求解.

【详解】函数/(x)=d+；x2-6x+a有三个零点，等价于丁+；/一6尤+。=0有3个根，

即函数y=%3+]3%2一6%与函数y=_〃有3个交点，令g(x)=%3+]3x2—6x,

则g'(%)=3%2+3x-6=3(x+2)(x-l),由g[x)>0有:%>1或％〈-2,由g'(x)〈。有：,

所以g(x)=d+；d_6x在(1,+«>)上单调递增，在(一2,1)上单调递减；

7Q

又g(-2)=10,g⑴=一?所以g(%)=V+；/—6%的大致图象为：

为

/IV-10

II\

/;\V=g(x)

Ir

TIT

7‘，7

所以—a<10,解得—1。<〃<大，故A错误.

22

故选：BCD.

10.（2024高二下・全国・专题练习）已知函数/（同=k-3—+。-1,则下列选项正确的是（）

A.丫=〃外在（2,3）上单调递增

B.y=/（x）恰有一个极大值

C.当时，/（x）=0无实数解

D.当a=l时，/（/（力）=。有三个实数解

【答案】BCD

【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB,利用极值判断方程

的实根个数判断C,利用数形结合思想判断D.

【详解】对于A,当尤<3时，/（无）=（3-力1+4-1,/（尤）=（2—x）e"当x<2时，/'（无）>0,

当2Vx<3时，，。）<0,所以/（x）在（T,2）上单调递增，在（2,3）上单调递减.当天>3时,

/（x）=（x-3）ex+«-l,r（x）=（x-2）ex>0,/（x）在（3,+e）上单调递增,A错误;

对于B,由以上讨论知尤=2是/'（X）的极大值点，B正确；

对于C,当”>1时，a—l>0,/（2）=e2+a—l>0,/（3）=tz—1>0,当x<2时，

/（x）=|x-3|e'+a-l>a-l>0,所以当a>l时,/（x）=0无实数解,C正确；

对于D,当4=1时，/(x)=|x-3|e\由以上讨论知当/⑺=0时，t=3.而

/(2)=e2>3,/(3)=0<3,作出〃x)的大致图象如图所示.如图可知，/(x)=3有三个实

数解，所以/(/(司)=。有三个实数解，D正确.

故选：BCD.

11.(2023・四川遂宁•模拟预测)已知a>0且aHl,方程x"=lnx(x>0)有且仅有两个不等

根，则。的取值范围为

【答案】

【分析】由对数的运算性质可得ln(lnx)=41nx(x>l),令lnx=t«>0),则4=可=8"),

利用导数求出g(Omax，结合方程根的个数与函数图象交点的个数之间的关系即可求解.

【详解】由x"=lnx>0,得ln(lnx)=alnx(x>l).

令Inx=rQ>0),则a=—

设函数g(f)=可，得g'(f)=§上.令g")=0,得仁e.

在(O,e)上g'⑺>0,g⑺单调递增；在(e,+8)上g«)<0,g⑺单调递减,

所以g⑺ma「g(e)=:,g[£|=-e<0,又当r>l时，g«)>0恒成立,

所以方程x"=Inx(尤>0)有且仅有两个不等根,

即曲线y=g(/)=皿图象与直线>=。有两个交点的充分必要条件是0<a<』,

te

所以0的取值范围是［o,：］

故答案为：(0,：］

_±1

12.(2024高三•全国•专题练习)函数〃％)=祀2——在(0,+e)上的零点个数为

【答案】2

【分析】

令/(%)=。，并将其转化为胆=再根据y=与y=：的图象的交点情况解决问题.

x4x4

1上［X1

【详解】令〃尤)=0,可得xe-5」，因为xe(o,y),则”=与，也即一：=ln^,

XXX

Xc,r/口Inx1

-=21nx,整理可得一=一；

2x4

令〃(X)=g,则/7(X)=、，

XX

故当xe(O,e)时,“(无)>0,y=/z(x)单调递增；

当xe(e,+oo)时,/z(x)<0,y=/?(x)单调递减；

又当xe(0,l)时,/i(x)<0,xe(l,+oo)时,/?(x)>0,

//(e)=|,且当x趋近于正无穷时，〃(x)趋近于0；

在同一坐标系中，作出y=/z(x)与y=；的函数图象如下所示:

数形结合可知,y="⑴与y=；的函数图象在(0,+s)有2个交点,

故“X)在(0,+8)有两个零点.

故答案为：2.

四、解答题

13.(23-24高三上•河南•期末)已知函数/(x)=〃ln(x+l)-xsinx.

⑴若。=0,求曲线y=/(x)在点处的切线方程;

⑵若4=1,研究函数“X)在X«-L0］上的单调性和零点个数.

【答案】(i)y=-x

(2)/(x)在x«-l,0］上单调递增；1

【分析】⑴当。=0时，求出唯卜子，(Ijji从而可求出切线方程.

(2)当a=l时，利用导数求出〃x)在x«TO］上单调递增.又"0)=0,从而可求解.

【详解】(1)当〃=0时，/(x)=-xsinx,

所以曲线y=/(x)在点色，4切处的切线方程为，=一工

(2)当1=1时，/(x)=ln(x+l)—xsinx,贝lj/'(%)=^^—sinx-xcosx,

当xe(-l,0］时，>0,-sinx>0,-xcosx>0,则/''(x)>0,

故/(x)在尤«T,0］上单调递增.

又因为〃0)=0,所以“X)在x«-l,0］上的零点个数为1.

14.(22-23高二下•浙江杭州•期中)已知函数〃x)=

(1)求曲线y=〃x)+siiir在x=0处的切线方程；

⑵方程/(%)=。恰有两个不同的实根，求。的取值范围.

【答案】⑴y=2x

(2)as

【分析】

(1)根据切点和斜率求得切线方程.

(2)利用导数求得了(”的单调区间和极值，由此求得。的取值范围.

【详解】(1)依题意，y=/(x)+sinx=—+sinx,

y'=e-x(—x+1)+cosx,

所以此4=2,又丸=0=0,所以切线方程为V=2x.

(2)

因为尸(x)=e-£(-x+l),

所以：

当尤e(O,l)时，/^x)>0,所以/(X)单调递增；

当xepy)时,/'(x)<0,所以〃尤)单调递减.

所以/(X)在尤=1处取得极大值也即是最大值，

对于函数〃x)=

=/(0)=0,当x＜0时，/(%)＜0;当尤＞0时，/(x)＞0.

所以0的取值范围是

B能力提升

1.(2024,全国•模拟预测)已知函数/(劝=尤-1-々111元有三个零点尤，1尤2，W，其中aeR,

则以特2尤3的取值范围是()

A.(L+8)B.(2,+00)C.(e,+co)D.(3,+oo)

【答案】B

【分析】根据解析式得/(1)=。，由/⑺=。，得/(；)=0,设玉＜%＜当，则无「毛=1，3=1，

从而可得⑼马七=%求解导函数-(x)=，一呈+1,分类讨论与。＞2两种情况下函数

X

的单调性，从而可得答案.

【详解】定义域为(o,+8),显然/⑴=l-；-alnl=0,

若/是零点，贝!]/«)=r-；-alnr=0,

/(-)=--/-aln-=-\?---alnf|=0,

tttt)

所以1也是零点，函数/(%)=%-1-。1口％有三个零点王,入2，入3，

tX

不妨设药＜/＜兀3，则玉•%=L工2=1'

匚匕2「,/、r1ax1-ax+1

所以ClXyX2X2—Cl,于(X)=1H------=---------，

XXX

当aV2时，结合定义域和判别式易知广(无)＞。恒成立，

即函数”为)在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

当a＞2时，设尤2-ax+l=0的两根分别为了4，%，

易知0＜匕＜1＜尤5,所以函数/⑺在(0,%)上单调递增，

在(4,当)上单调递减，在(%,+e)上单调递增，

当xfO时，/(X)-＞-00,/(x4)＞/(l)=0,

/(x5)</(l)=O,当冗f+00,f(x)f+00,

所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.

综上，ax}x2x3的取值范围是(2,+00).

【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式〃x)=x-L-alnx得若r是零点，1也是零点，

xt

从而得士•鼻=1,々=1，所以求取人工3的取值范围即求。的取值范围，然后求解导函数，利

用导数分类讨论函数的单调性即可.

fY.QXX<0

2.(23-24高三上•广东深圳•期末)已知函数〃x)='一；关于无的方程=t有且

［x*x>0,

仅有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是()

A.1―B.(-℃,-e)C.(0,e)D.(e,+oo)

【答案】A

【分析】作出函数图像，转化为交点问题求解即可.

【详解】当xVO时,r(x)=(l+x)e\

当％<—1时/'(%)<。，当一lvxWO时，/r(x)>0,

所以〃%)在(-8,T)单调递减，在(T，0］单调递增.

当I>0时，/'(x)=lnx+l,

当0<工<!时，/(x)<0,当时，/r(x)>0,

所以/(x)在］。，1］单调递减，在(：，+H单调递增，/(-0=/［；］=-；.

画出函数“X)的图象，如下图所示，

故选：A.

3.(23-24高二上•安徽蚌埠•期末)已知函数/(x)=；2.若a<b<c,且

—T-XH—,x>e

、ee

/(a)=〃b)=/(c),则*-c的取值范围是_____.

ainb

【答案】(-2e,-e)

【分析】利用导数画出f(x)的大致图象，在根据图象以及解析式得到匕的关系及。的范围

即可求解.

【详解】当0<xVl时，f(x)=--,y(x)=叱二WO,

XX

所以/(无)在(0,1］上单调递减，且/⑺.=/(1)=0,

当l<xVe时，/(尤)=干，r(x)=^^>0,

所以/(x)在(l,e］上单调递增，且/(耳皿*=/(e)=

所以“X)的图象大致如图所示：

由a<6,f(a)=f(b}^--=—,即Mna=-alnb,令一［尤+2=0得x=2e,结合图

abee

象可知ce(e,2e),所以黑―(-2y).

故答案为：(-2e,-e)

4.(23-24高三下•上海•开学考试)己知定义在(0,+8)上的函数y=/(x),且

则函数y=/(%)-log20Mx的零点个数为

【答案】643

【分析】

首先分区间写出函数f(x)的解析式，判断函数的周期，再利用数形结合，求函数的零点个

数.

【详解】当时，sinx=log2024尤无解，故y=/(x)-logz^x没有零点,

当xeg,+s］时，

[兀,71

当xe《,兀时,X------E

2

„(J7T7171

当％E1兀,—时，X——GI—,71

以此类推，/(x)=sinx,nf2024e[644K,645K],

当工«0,2兀)有1个交点，以后每个周期2兀内有2个交点，在区间(644兀,2024)无交点，所

以共有1+F-*2=643个交点，

所以函数y=〃x)Tog2024X的零点个数为643个.

斗

y=sinx

4

兀兀34兀&

1尸1恤024%

故答案为：643

2\x<Q

5.(23-24高三下•重庆•阶段练习)已知函数/("=21nx，g(x)=x2+2x+l-22,ZeR,

----,x>0

、x

若关于X的方程f(g(X))=X有6个解，则2的取值范围为.

【答案】■

【分析】

令g(x)=f,根据/(X)图象可知,“X)等于常数的解最多只有3个，根据g(x)图象性质可

知，g(x)等于常数的解最多只有2个，若/'(g(x))=2有6个解，需要=2有3个解，

g(x)=t有2个解，根据“X)图象先求出0<4<士，再得出力和/⑴=九中最小解之间的等

e

式关系，而后结合g(x)的值域即可建立关于几的不等式，最后构造关于4的函数，求导求

单调性即可解不等式，进而得出结果。

【详解】解：由题可得，令g(x)=t,则方程的解有3个，

当心0时,/(?)=2\所以/«)在(7,0]上单调递增，

当r>0时，尸⑺=2(1”。,

则f(0在(o,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

/(e)=-,"1)=0,当x>l时，lnx>0,所以/(x)>0,

画y=/«)的图象如下：

e

且方程/(r)=X的三个解分别为小4,4,不妨设；<芍<4,

则有2,=2,即％=log2%,

又g(x)=x?+2x+l-2X=(x+l)‘-2/1

所以g(无)在(-8,T)上单调递减，在(T+e)上单调递增，

且8(叫=-24,

又因为g(x)=f,所以-22<%气，

所以有log?%>-22,gp22+log2A>0,

4^(>l)=22+log2,(^>0),所以>0,

221n2

所以九(九)在(0,+X)上单调递增，

又唱)=0,所以2兄+log22>0的解集为+8),

综上，X的取值范围为W］。

故答案为：由

【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：

(1)先根据解析式画出两个函数图象；

(2)令复合函数内函数为人

(3)结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围;

(4)再确定内函数根个数及对应参数取值范围；

(5)解出参数范围即可。

C综合素养

1.(23-24高三下•上海浦东新•阶段练习)设函数y=/(%)的定义域为开区间/,若存在飞©，，

使得y=/(x)在x=x0处的切线/与y=/(x)的图像只有唯一的公共点，则称y=/(x)为"L

函数”，切线/为一条“刀切线”.

⑴判断y=是否是函数y=hu的一条"切线"，并说明理由；

(2)设g(x)=e2-6x,求证：y=g(x)存在无穷多条"切线”;

⑶设/(力=炉+加+1(0<%<。)，求证：对任意实数。和正数c，y=/(x)都是"函数"

【答案】⑴是，理由见解析

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)记/(x)=lnx,设切点为利用导数的几何意义求出玉，再证明直

线y=x-l与/(x)=lnx的图象只有唯一的公共点，将y=x-l与函数y=lnx联立，得

lnx-x+l=O,记〃(x)=lnx-x+L利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解.

(2)将点(%2出(赴))处的切线/的方程与y=g(x)联立得g(x)-g(x2)=g'(x2)(x-X2)，记

,

/z(x)=g(x)-g(x2)-g(x2)(x-x2),利用导数说明函数/l(x)存在唯一零点z，即可得证;

(3)类似第(2)问的思路得到(x-Xo)2(x+2xo+“)=O在(O,c)上有且仅有一解％,则

-2…e(O,c)或H。©,

再分a20、a<0两种情况说明即可.

【详解】(1)记/(x)=lnx,则尸(x)=g,设切点为(％,In%),

由切线方程为y=x-i知/(西)=1,则