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文档简介

冷集10斛三角形

五年考情♦探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

三角形针线余弦定理求基本

2024甲卷

考点01正弦余弦定2023北京天津甲III卷量运算是高考必考知识点,边

2022I卷

理应用角转化,最值问题与不等式相

2021甲卷乙卷浙江I卷

2020I卷结合等都是高考高频考点。

2024III北京卷解三角形在高考解答题中,周

考点02三角形中面2023乙卷长面积问题是高考中常考题

积周长应用2022II卷北京浙江乙卷型,难度一般,容易出现结构

2021II北京卷不良试题以及与三线相结合,

2020II卷注重常规方法以及常规技巧

分考点•精准练1

考点01正弦余弦定理应用

1.(2024,全国•高考甲卷)在AABC中,内角A8,C所对的边分别为a,6,c,若8=1,/=,贝i]sinA+sinC=

()

A.源B.叵C.立D.亚

1313213

【答案】C

113

【分析】利用正弦定理得sinAsin。=彳,再利用余弦定理有"+c?=碇,由正弦定理得到sin?A+sin2c的

34

值,最后代入计算即可.

jro4i

【详解】因为3=—,/==",则由正弦定理得sinAsinC=—sin2B=—.

3493

9

由余弦定理可得:"="十°?_QC=—ac,

4

131313

即:/+,=_,根据正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为AC为三角形内角,则sinA+sinC>0,贝UsinA+sinC=且.故选:C.

2

2.(2023年北京卷。在&46C中,(a+c)(sinA—sinC)=Z?(sinA-sinB),则NC=()

7T7T27r5TL

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】因为(a+c)(sinA-sinC)=》(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(«+c)(a-c)=b(a-b),即片一C2=仍一尸,

则片+62—02=4"故coscJ+,T=也=工,又0<。<兀,所以C=2.故选:B.

2ab2ab23

2

2.(2020年高考课标HI卷)在AABC中,cosC=1,AC=4,BC=3,则cosB=()

1112

A.-B.-C.—D.一

9323

【答案】A

2

【解析】•••在AABC中,cosC=-,AC=4,BC=3

~3

根据余弦定理:AB1=AC2+BC2-2AC-BC-cosC

9

AB2=42+32-2X4X3X-

3

可得Afi2=9,即AB=3

A^+S-AC?9+9—161,,1,,

由cosB=--------=一故cosD=—.故选:A.

2ABBC2x3x399

3.(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的

高.如图,点E,H,G在水平线AC上,OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,

称为“表高”,EG称为“表距”,GC和都称为“表目距”,GC与即的差称为“表目距的差”则海岛

的高AB=()

B

)

A表高x表距主一口表高X表距主一

A.表目距的差卡表图表目距的差一表图

C表高X表距主用n表高X表距

D

c表目距的差+表距-表目距的差

【答案】A

【解析】如图所示:

DEEHFG

由平面相似可知,———,而DE=FG,所以

ABAC

DEEHCGCG—EHCG—EH

——=——,而CH=CE—EH=CG—EH+EG,

AB-Af?-AC-AC-AHCH

CG—EH+EGEGXDE.DE_表高x表距

即=xDE=+表高.故选:A.

-CG—EH-CG-EH一表目距的差

4.(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:

m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A.B.C

三点,且A.B.C在同一水平面上的投影A',8,。'满足N4C8=45。,ZAB'C=6Q°.由C点测

得8点的仰角为15。,班'与CC的差为100;由8点测得A点的仰角为45。,贝C两点到水平面

AFC的高度差A4'-CC'约为(6土1.732)()

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【解析】

A

故CC=A4」(阳-幽=AA'-班'+100=AZ)+100,

由题,易知△ADB为等腰直角三角形,所以=

所以A4CO=+100=A'5'+100.

因为NBCH=15。,所以

tanl5°

在△A'5'C'中,由正弦定理得:

A®_C'B,_100_100

sin45°sin75°tanl5°cosl5°sin15°

J6-J2

而sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos450sin30°=_

100x4x----

所以2=100(6+1)。273'

GO

所以AA'—。。=46'+100。373.故选:B.

-填空题

5.(2021年高考全国乙卷理科)记△TWC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百,5=60。,

a2+c2—3ac>贝!1A=•

【答案】2&

【解析】由题意,SARr--acsinB=^-ac-^3,

△ABL2J

所以QC=4,—12,

所以廿=/+°2—2accosB=12—2x4xg=8,解得b=20(负值舍去).故答案为:2也.

6.(2021年高考浙江卷)在△ABC中,N8=60o,AB=2,M是中点,AM=2/,则AC=

cosZMAC=.

【答案】⑴.2屈(2).巫

13

解析:由题意作出图形,如图,

在AABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BMBAcosB>

01

即12=4+8M--2%Wx2x—,解得负值舍去),所以3C=2BM=2CM=8,

2

在AABC中,由余弦定理得一?筋•BC.COS8=4+64—2x2x8x1=52,

2

4。2+.2-近252+12-162辆

所以AC=2而;在△AMC中,由余弦定理得cosZMAC=

2AM-AC2x2百x2而一13

故答案为2万;笔?.

7.(2020年高考课标I卷)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=5AB±AC,AB

±AD,ZCAE=30°,则cosZFCB=

【解析】-,-AB±AC,AB=5AC=1.

由勾股定理得BC=VAB2+AC2=2,

同理得30=..BE=3。=6,

在△ACE中,AC=l,AE=AD=也,NG4E=30°,

由余弦定理得。后2=AC2+AE2—2AC-AEcos30°=l+3—2xlx百X3=1,

2

:.CF=CE=1,

在ABCF中,BC=2,BF—V6,CF=1,

222

由余弦定理得cosNEC3=JCF+BJC-B~F1++44-61故答案为:一—1.

2CFBC2x1x244

8.(2023年全国甲卷)在AABC中,ABAC=60°,AB=2,BC=46,/B4C的角平分线交BC于。,则

AD=•

【答案】2

【解析】

如图所示:记AB=c,AC=8,_BC=a,

方法一:由余弦定理可得,22+Z?2-2x2xbxcos60°=6,

因为6>0,解得:b=\+C,

=

由^^ABC^AABD+S.ACD可得,

—x2xZ?xsin60°=—x2xADxsin30°+—xADxZ?xsin30°,

222

瓜2项+6)

解得:AD=~-豆S—=2.故答案为:2.

1+2

方法二:由余弦定理可得,22+b2_2x2xbxcos600=6,因为解得:b=\+g,

由正弦定理可得,及―=〃—=/_,解得:sinB=显枝,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因为1+退>#>血,所以C=45°,5=180°—60°—45°=75°,

又NBA。=30°,所以NAD3=75°,即AD=AB=2.故答案为:2.

三解答题

9.(2023年天津卷•第16题)在AABC中,角AB,C所对边分别是a,4c.已知a==2,NA=120.

⑴求sinB的值;

⑵求c的值;

⑶求sin(3—C).

【答案】⑴叵

13

(2)5

⑶一拽

26

【解析】(D由正弦定理可得,一匕=一纹,即底=?_,解得:sin3=巫;

smAsmBsin120°sin813

(2)由余弦定理可得,az=b2+c2-2bccosA,即39=4+c?-2x2xcx

解得:c=5或c=—7(舍去).

(3)由正弦定理可得,=,一,即屈=二_,解得:sinC=±"3,而A=120°,

sinAsinCsin1200sinC26

所以民C都为锐角,因此cosC=Jl—竺=)叵,cosB=Jl-—=^^-,

V5226V1313

“•/nN-「n•「而37392廊5而773

故sin(B—C)=sinBDcosC—cosBsinC=-----x-----------------x-------=

')13261326~26~

10.(2023年新课标全国I卷)已知在AABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA;

⑵设AB=5,求AB边上的高.

【答案】(1)士何(2)6

10

【解析】(D:A+5=3C,

71

:.TI-C=3C,即。=一,

4

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

7T

即由4=3,所以。<A’,

.,sinA=^=^

Vioio

(2)由(1)知,cosA=

V10-io'

由sin-in(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=争噜+噜)=咨

V2后

5x-----

由正弦定理,——,可得6=—W—=2&U,:.-ABh=-ABACsinA,

sinCsinBV222

~T

.■.A=Z?-sinA=2V10x^^=6.

10

11.(2023年新课标全国H卷)记AABC的内角A,3,C的对边分别为a,"c,已知AABC的面积为百,D

为中点,且AD=1.

jr

⑴若ZAOC=—,求tanB;

3

(2)若方?+C2=8,求及C.

【答案】⑴走

⑵Z?=c=2.

5

,71

【解析】(1)方法1:在AABC中,因为Z)为5c中点,Z.ADC=—,AD=1,

3

S―,解得a=4,

则^ADC=-AD-DCsinZADC=-xlx-tzx—=—«=-2SAADBC

222282

2兀

22

在AABD中,ZADB=—,由余弦定理得c=BD+AD--2BD-ADcosZADB,

,1r-7+4-15J7

即。2=4+1—2x2xlx(——)=7,解得c=V7,则cos8=二―=二上,

2277x214

2

sinB=V1-COS2B=Jl-(^)=叵

V1414

所以==

cos35

TT

方法2:在AABC中,因为。为5c中点,Z.ADC=—,AD=1>

3

则s=-AD-DCsinZADC=-xlx-tzx—=-47=-5.解得a=4,

-ADnCr222282A2

在△ACD中,由余弦定理得Z?2=002+402—2“.4)©osNAD3,

即廿=4+1-2x2xlxJ=3,解得6=6,有AC2+AQ2=4=CD2,则/C4D=彳,

C=],过A作AEJ_3C于E,于是CE=ACcosC=3,AE=ACsinC=走,BE=g,

6222

所以tanB=M=走.

BE5

9191

c-—a+l-2x—tixlxCOS(TI-ZADC)

(2)方法1:在△AB。与AACD中,由余弦定理得<

.11

b-—a9+l-2x—(2xlxcosZADC

42

整理得;a2+2=z/+c2,而步+C2=8,则q=2百,

又SAnr=!乂6乂1乂5诂/4。。=走,解得5足/4£>。=1,而0</4£>。<兀,于是/4。。=',

we222

所以/?=c==2

方法2:在AABC中,因为。为BC中点,则2拓=4万+/,又屈=通—正,

于是4苞?+在2=(题+/y+(通一宿2=2(。2+o2)=16,即4+储=16,解得。=28,

又S“ADC=gx6xlxsin/AQC=*,解得sin/ADC=l,而0</4£>。<兀,于是NAOC=],

所以H=C=JA£)2+CD2=2-

12.(2021年新高考I卷)记AABC是内角A,B,C的对边分别为。,b,c.已知廿=改,点。在边AC

上,BDsinZABC=asinC.

⑴证明:BD=b;

(2)若M=2DC,求cos/ABC.

【答案】【解析】

B

⑴由题设‘皿=£''由正弦定理知:bsinCc

,B即n------------=-

sinCsinZABCsinZABCb

ac

:.BD=—,又廿=ac,:.BD=b,得证.

b

2hh

(2)由题意知:BD=b,AD一,DC=—,

33

,,4b2213Z?*22,2b"210b22

b+-------c--------cbH-------Cl--------Cl

cosNADB=-----------------:—,同理cosNGD5=99

〜2b4b2,b2b2

2b----2bz•—

3r33

■:NADB=7i—/CDB,

「2.3

9911Z?2

,整理得2/+,=工,乂b1=ac,

4/2ba3

33

b411b2加工用/日4224Q,曰/1/3

・・2。+—=------,整理得6/一11储匕2+3/4=0,解得=一或

a23b23b22

a1+c2-b24a2

由余弦定理知:cosZABC=

lac32b2

2i72o7

当今」时,cos/ABC=—>1不合题意;当今=士时,cosZABC=—

b236b2212

7

综上,cosZABC=一

12

ccq/Asin23

13.(2022新高考全国I卷)记△715c的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知------------

1+sinA1+cosIB

2兀

(1)若。=——,求B;

3

2,72

⑵求":的最小值.

c

TT

【答案】⑴:;

6

(2)472-5.

・cosAsinIB2sinBcosBsinBr

【解析】(1)因为一—=---------=------5——=--------,即13

1+sinA1+cos2B2cosBcosB

sinB-cosAcosB-sinAsin5=cos(A+B)=-cos。,

jrjr

而0<B<—,所以3=二;

26

兀兀

(2)由(1)知,sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<3<一,

22

/兀)JTJT

而sinB=—cosC=sinC——,所以C=—+5,即有A=——2B.

I2)22

b”a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一o—二----「-----------------O-----------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)2+l-cos2B

=4COS2B+^—-522瓜-5=4夜-5•

cos2Bcos-B

当且仅当cos2B:号时取等号,所以a2:"的最小值为4J5-5.

15.(2020天津高考)在AABC中,角AB,C所对的边分别为。,"c.已知a=2也,6=5,c=a.

(I)求角C的大小;

(II)求sinA的值;

(III)求sin[2A+?J的值.

【答案】⑴C十(11。八普;(UDs《A+J嚼.

【解析】(1)在右43。中,由a=2点,6=5,c=JB及余弦定理得

片+02―8+25—13A/2vzEAL》((X\cri\in

cosC=-------------=-------=-=—,又因为。£(0,乃),所以。二:;

2ab2x272x524

r-yf2

(II)在AABC中,由C=:,a=2后,C=AB及正弦定理,可得,抽(一「inC劣一七2后;

4-c-713-13

an)由,<C知角A为锐角,由sinA=3叵,可得COSA=J1—sin2A=2姮

1313

125

进而sin2A=2sinAcosA=一,cos2A=2cos2A-1=一,

1313

717112及5夜_17&

所以sin(2A+—)=sin2Acos——I-cos2Asin—=——x-T+l3X^_~26

4413

16(2020年新高考全国I卷)在①公=6,②csinA=3,③。=这三个条件中任选一个,补充在下面

问题中,若问题中的三角形存在,求。的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B.C的对边分别为,且sinA=石sin5,C=—,_______'

6

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】解法一:

由sinA=石sin5可得:;=6,

b

不妨设a=0),

则:c2=a2+b2-2abeosC=3m2+m2-2xv3mxmx——二m2,即c=zn.

2

选择条件①的【解析】

据此可得:ac=y/3mxm=V3m2=A/3,m=1,此时。二M二1.

选择条件②的【解析】

^22_2m2+IT12—3m2

据此可得:cosA=3^——

2bc2m22

此时:csinA=mx^-=3,则:c=m=2y/3.

则:sinA二

2

选择条件③的【解析】

-cm«

可得一二一=1,c=b7,

bm

与条件0=逐矛盾,则问题中的三角形不存在.

解法二:*.*sinA=y/3sinB,C=—,B=^-(A+C),

6

**•=A/3sin(A+C)=A/3sin^A+—,sinA=A/3sin+C)=y/3sinA^-+A/-cos/lg

**•sinA=—y/3cosA,,勿MA=—^/3,「・A=-,*.B—C——)

若选①,ac=A/3,***a=y/3b=^/3c,•二=A/3,,c=l;

若选②,cs%A=3,则弓^=3,°=2用;若选③,与条件c=J的矛盾.

17.(2020年新高考全国卷II数学)在①砒=6,②csinA=3,③c=后这三个条件中任选一个,补充

在下面问题中,若问题中三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在AABC,它的内角A,5c的对边分别为a,4c,且sinA=有sin3,C=9'

6

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】【解析】解法一:

由sinA=、/5sin5可得:—=y/3,不妨设。=也加>0),

则:c2=a2+b2-labcosC=3m2+根?-2x^/3mxmx——二m2,即c=加.

2

选择条件①的【解析】

据此可得:ac=y/3mxm=^/3m2=A/3,m=1,此时c=/n=l.

选择条件②的【解析】

^22_2加2+加2—3m2

据此可得:cosA=3^~—]_

2bc2m22

则:—=,此时:csinA=根义^^=3,则:c=m=2A/3-

选择条件③的【解析】

可得f='=l,C=b,与条件c=J。矛盾,则问题中的三角形不存在.

bm

解法二:•:sinA=6sinB,C=^-,B=^-(A+C),

/.sz力A=gsin(A+C)=A/3sin^A+^j,

sinA=y/3sin(?l+C)=y/3sinA^~+jcosA;,

sinA=—yficosA,tanA=—^/3,••A-B—C——,

若选①,ac=5/3,***a==y/3c,A/3C2=A/3,•*«c=l;

若选②,cszk4=3,则叵=3,c=2若;

2

若选③,与条件c=&矛盾.

考点02三角形中面积周长应用

1(2024•全国可考I卷)记AABC的内角A、i5、C的对边分别为a,/?,c,已知sinC=^2cosB,a1+b2—c2=y[2ab

⑴求&

⑵若AA3c的面积为3+g,求c.

【答案】(1)8=](2)2应

【详解】(1)由余弦定理有c2=2abcosC,对比已矢口/+/_02=缶"

可得cosC==立,

2ab2ab2

因为。£(0,兀),所以sinC>0,

从而sinC=A/1-COS2C-

-2

又因为sinC=0cosB,即cosB=;,注意到3e(0,7t),所以B=g.

⑵由⑴可得c°sC=白,”0,兀),从而C$A=7171571

71——

3412

571兀71夜石应1V6+V2

而sinA=sin—+—=-------X----------1---------X—=--------------------

124622224

bc

由正弦定理有.5兀.7C.冗,

sin—sm—sin—

1234

从而〃:后+&.缶;

垦lc,b=&S,

4222

由三角形面积公式可知,AABC的面积可表示为

s;…、.一旦工工,

A*BC222228

3+百

由已知AABC的面积为3+有,可得=3+^3,所以c=2^2.

8

2.(2024•全国•高考II卷)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+g'cosAu2.

⑴求A.

(2)若〃=2,技sinC=csin23,求AABC的周长.

【答案】⑴4=m(2)2+#+3应

O

【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)

由sinA+若cosA=2RTW-sinA+—cosA=1,即sin(A+§)=1,

22

।,十./八、.71,714jC,»▲7171,.兀

由于A£(0,兀)=>A+彳w(彳,丁),i^A+—=—,解得/x=A=:

33332o

方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sinA+若cosA=2,Xsin2A+cos2A=1,消去sinA得到:

4cos2A-4石cosA+3=Oo(2cosA-百y=0,解得cosA=3,又Ae(0,无),故4=巴

26

方法三:利用极值点求解

设/(x)=sinx+A/3COSX{0<x<n),则/(尤)=2sin(x+*|J(0<x<兀),

显然x时,/(x)max=2,注意至[J/(A)=sinA+A/5cosA=2=2sin(A+;),

63

/(冷侬二八⑷,在开区间©兀)上取到最大值,于是工二人必定是极值点,

即广(A)=0=cosA-坏sinA,即tanA=又Ae(0,7t),故4=巴

36

方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)

设a=(1,旨),B=(sinA,cosA),由题意,a-5=sinA+>/3cosA=2,

根据向量的数量积公式,a-b=\a\\b\cos^a,b)=2cos05),

则2cos。,万=2ocos3,5=1,此时4,5=0,即a,石同向共线,

根据向量共线条件,LeosAuA/^sinAotanA,又Aw(0,兀),故4=自

36

方法五:利用万能公式求解

设/=tan(,根据万能公式,sinA+若cosA=2=巴+:,,

21+fl+t2

整理可得,产-2(2一6"+(2-否-=0=(r-(2-A/3))2,

解得tang=f=2-G,根据二倍角公式,tanA=,^=且,

23

7T

又Ae(0,7t),故4=F

(2)由题设条件和正弦定理

V2Z?sinC=csin2BA/2sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又比Ce(0,7t),贝。sinBsinC—O,进而cosB=也,得到B=工,

24

7IT

于是。=兀一A—3=——,

12

sinC=sin(兀-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=-2+——

4

2bc

由正弦定理可得,号=工=,7;,即F"一

sinAsmBsinCSin—Sin—sin—

6412

解得b=2JIc="+JL故AABC的周长为2+#+3&

3.(2024•北京,高考真题)在AABC中,内角4民C的对边分别为a,b,c,NA为钝角,a=7,sin2B=——bcosB.

7

⑴求NA;

⑵从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得"RC存在,求AASC的面积.

条件①:6=7;条件②:cosB=^|;条件③:csinA=1V3.

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解

答计分.

【答案】(1)A=§;(2)选择①无解;选择②和③"BC面积均为凶.

34

【详解】(1)由题意得2$由3858=^尻053,因为A为钝角,

7

厂匕_2_。_7厂

贝!JcosNwO,则2sinB=^/?,贝UsinB73sinAsinA,解得sinA=也,

7-2

因为A为钝角,则人=了.

(2)选择①匕=7,则sin8="b=3x7=E,因为A=§,则8为锐角,则8=工,

1414233

止匕时A+B=7C,不合题意,舍弃;

选择②cosB=",因为B为三角形内角,则sin8=Jl-=苦,

贝IJ代入2sinB=36得2x^=立6,解得6=3,

7147

sinC=sin(A+B)==sin——cosB+cos——sinB

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