空间几何体的结构特征、表面积与体积-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第28讲空间几何体的结构特征、表面积与体积

（7类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第9题,5分柱体体积的计算

2023年天津卷，第8题,5分锥体体积的有关计算证明线面垂直

2022年天津卷，第8题,5分柱体体积的有关计算求组合体的体积

2021年天津卷，第6题,5分锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2020年天津卷，第5题,5分球的表面积的有关计算

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握几何体的有关特征，掌握不同几何体的表面积与体积的计算公式。

2.能掌握不同几何体的展开图的特征。

3.具备数形空间思维，会计算空间几何体中的最短路径问题。

4.会解外接球，内切球与棱切球问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体，求解几何体的表面积。体积与球的相

关问题。

GA•考点梳理，

1

r知识点一.构成空间几何体的基本元素一点、线、面考点一、空间几何体的结构特征

考点五、几何体的展开图

知识点二.简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台

考点六、最短路径问题

知识点三.简单旋转体一圆柱、圆锥、圆台、球

空间几何体的结构特征、表面积与体积；

知识点四.组合体

考点二、空间几何体的表面积

知识点五.表面积与体积计算公式考点二、空间几何体的表面积

考点七、球相关问题

知识点六.空间几何体的直观图考点四、几何体的直观图

知识讲解

知识点一.构成空间几何体的基本元素一点、线、面

1.空间中，点动成线，线动成面，面动成体.

2.空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几

何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.

知识点二.简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台

1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱.

(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱;

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱;

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱;

(4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱;

(5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体;

(6)长方体：底面是矩形的直平行六面体;

(7)正方体：棱长都相等的长方体.

2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫

做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

2

知识点三.简单旋转体一圆柱、圆锥、圆台、球

1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2.圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.

3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离:

经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

知识点四.组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

知识点五.表面积与体积计算公式

1.表面积公式

S直棱柱="+2s底

S斜棱柱=c7+2s底(c‘为直截面周长

柱体

)

S圆锥=2TTP2+271rl=2^r(r+/)二2--

表S正棱锥=；加"+8底

面锥体

积S圆锥-兀户+7irl=7ir(r+/)

a

S正棱台=~n(a++S上+S下

台体

S圆台=成产+r2+r'l+r/)

3

球S=4"21

体积公式

柱体%=SkK

锥体嗫=兴

体

积

台体K=^(s+4ss'+S')h

43

球V=-7rR3

3©

知识点六.空间几何体的直观图

1.斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观

图中画成平行于O'x',Oy,使/x'O'y'=45。（或135。），它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于V轴的线段，且长度保持不变;

在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变，

纵减半

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为4.

2.平行投影与中心投影

4

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

考点一、空间几何体的结构特征

中典例引领

1.（•北京・高考真题）如图，在正方体力BCD-&B1C1D1中，P为对角线BDi的三等分点，P到各顶点的距离

的不同取值有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

【答案】B

【详解】如图,取底面ABCD的中心0,连接PA,PC,PO.

：AC_L平面DD1B,

又POu平面DD1B,

AACIPO.

又O是AC的中点，

；.PA=PC.

同理，取B1C与BC1的交点H,易证B1C_L平面D1C1B,

.•.B1C±PH.

又H是B1C的中点，

.,.PB1=PC,

；.PA=PB1=PC.

5

同理可证PA1=PC1=PD.

又P是BD1的三等分点，

/.PB#PD1/PB1#PD,

故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.

2.（2007・安徽・高考真题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些

几何形体是（写出所有正确结论的编号）.

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【答案】①③④⑤

【详解】试题分析：本题中①③④⑤只要能举一例说明正确即可，如图长方体力中，四边

形是矩形，四面体有三个面是直角三角形，第四个面/AC是等腰三角形，四面体每

个面都是等腰三角形，四面体Z8DC每个面都是直角三角形，故①③④⑤正确，而任取四点构成的平行四

边形的两组对边中至少有一组是长方体的平行的一对棱，故这个平行四边形一定是矩形，从而②错误.

考点：线线垂直与线面垂直.

即时检测

■一

1.（2024・陕西咸阳•模拟预测）碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称

为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面,

且满足：顶点数一棱数+面数=2,则其六元环的个数为（）.

6

A.12B.14C.18D.20

【答案】D

【分析】根据题意，设正五边形为x个，正六边形为y个，分析可得其棱数，即可得关于久、y的方程组，解

得y的值，即可得答案.

【详解】根据题意，设正五边形为x个，正六边形为y个，

碳60（40）的顶点数为60，有32个面，

由顶点数一棱数+面数=2,则棱数为90,

则有解可得y=20,即有20个六元环，

故选：D

2.（2023高三上•广西•学业考试）如图、以矩形48CD的边AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所

围成的几何体是（）

【分析】根据圆柱的形成即可得到答案.

【详解】以矩形48CD的边所在直线为轴，

其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱.

故选：C.

3.（2024•福建泉州•模拟预测）要使正方体力BCD-4道1的。1以直线C4为轴，旋转n。后与其自身重合，贝g

的最小正值为.

【答案】120

【分析】由正方体的性质可证得C41平面BO。，且为正三角形，所以只需要△BDCi旋转后能和自

身重合即可，从而可求得答案.

【详解】因为四边形4BCD为正方形，所以力C1BD,

因为441_L平面4BCD,8Du平面力BCD,所以4411BD,

因为力41。4。=力，441，4Cu平面所以BD_L平面

因为41Cu平面44停，所以8D_L&C,同理可证得BQ_L&C,

因为BCiCiBD=B,BC[,BDu平面8。的，所以C4i_L平面8。的，

7

同理可证得1平面48拉1，

因为△BO。为等边三角形，BC=CCt=DC,

所以&C过△BOQ的中心，设△BDQ的中心为点G,连接CiG,BG,DG,

贝此8GD=乙BGC]=乙DGC[=120°,

同理&C也过等边的中心，

若正方体绕C&旋转浒后与其自身重合，只需要△BO。和△力Bi%旋转后能和自身重合即可,

因此至少旋转120°.

故答案为：120.

【点睛】关键点点睛：本小题主要考查正方体特征及垂直等知识；解题的关键是证明C41平面BDCi，考

查运算求解能力等；考查化归与转化思想等；体现基础性和综合性，导向对发展发展直观想象、逻辑推理、

数学运算、数学建模等核心素养的关注.

4.（24-25高三・上海•随堂练习）连结正三棱柱的6个顶点，可以组成个四面体.

【答案】12

【分析】求出4个点共面的情况有3种情况，利用正难则反进行求解.

【详解】正三棱柱共有6个顶点，从中任取4个，有墨种，

其中4个点共面的情况有3种情况，分别为三个侧面,

故可以组成-3=12个四面体.

故答案为：12

考点二、空间几何体的表面积

8

典例引领

1.（24-25高三上•安徽•开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和

一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6,圆柱和圆锥的高均为4,则该陀螺的表面

积为（）

A.44TlB.46KC.48KD.50n

【答案】c

【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.

【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面,

且圆锥的母线长为V32+42=5,

所以该陀螺的表面积为兀x3?+2irx3x4+nx3x5=481T.

故选：C.

2.（24-25高三上•贵州黔东南•开学考试）如图，在直角梯形4BCD中，4B||CD,AB1BC,且力B=l,BC=y/3,

DC=2.将直角梯形4BCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（）

A.2逐兀+5兀B.百兀+5无C.UTTD.6V3TT+5K

【答案】C

【分析】由圆台的表面积公式求解即可.

【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径勺=1,下底面半径*=2,母线长/=2的圆台,

则该圆台的表面积S=rt（ri+r1+rrl+r2Z）=lln.

故选：C.

1.（2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测）已知圆锥P。的顶点为P,其三条母线P4PB,PC两两垂直，且母线长为

9

则圆锥P。的侧面积为（）

A.V2TTB.2y/6itC.手兀D.V6TC

【答案】D

【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径，然后由圆锥的侧面积公式求出结果即可.

【详解】因为三条母线PA,PB,PC两两垂直，且母线长为旧，

所以△4BC为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长4B=BC=CA=V3T3=V6,

由正弦定理可得底面圆的半径R=3x咯=&，

2sin60°

圆锥的侧面积为］xV2x211xV3-迎兀；

故选：D

2.（2024•福建福州•模拟预测）已知圆锥S。的底面半径为1,过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥S。

截成上、下两部分，若截得小圆锥的体积为翁乃，则圆锥S。的侧面积为（）

A.4TTB.2TTC.a兀D.n

【答案】B

【分析】根据体积公式可得圆锥的高，进而求解母线，即可由侧面积公式求解.

【详解】圆锥的底面半径为1,设高为伍过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，则小

圆锥的底面半径为右高为沙

则小圆锥的体积为：|TTX（|）2X|/I==V3.

故圆锥母线长为=2,

故圆锥S。的侧面积为nx1x2=2兀

故选：B

3.（24-25高三上・河南•开学考试）已知圆锥的高与底面半径之和为3,则当该圆锥的体积取得最大值时，圆

锥的侧面积为（）

A.2逐兀B.（2V5+4）7tC.4V5rtD.4（1+V5）TI

【答案】A

【分析】设圆锥的底面半径为r,高为3-r,得到％）=♦—泞，得到U'（r）=nr（2—r）,利用导数求得

10

函数的单调性和极值(最值)，即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高为3-r(0<r<3),

则圆锥的体积为V(r)=!?tr2(3—r)=nr2—^r3,

所以U'(r)=2nr—irr2=nr(2—r),

当0<r<2时,/(r)>0,U(r)在(0,2)上单调递增，

当2<r<3时，7'(r)<0,U(r)在(0,2)上单调递减，

所以当r=2时，U(r)取得最大值，此时圆锥的高为1,母线2=后”=痛，

故圆锥的侧面积S=TtrZ=ITx2xV5=2V5TT.

故选：A.

4.(2024•四川宜宾•三模)在直三棱柱力BC-4B1C1中，AB=BC=BBX,4B1BC,点P在四边形人&⑶道

内(含边界)运动，当C1P=/CC1时，点P的轨迹长度为兀，则该三棱柱的表面积为()

A.4B.10+4V2C.12+4V2D.16+4近

【答案】C

【分析】由题意得8记=V2a2-a2=a,其中AB=BC=BB1=a,从而根据题意列方程可求得a,根据棱

柱表面积公式即可求解.

【详解】

设力B=BC=BBi=a,因为4B，BC,所以由棱柱的性质可得1位的，

因为BB]_J_平面B]_Ciu平面4B1C1，所以B/J-BiCi，

又因为4iBi±B]Ci，41夕1CBBI=B],A^BI,BB^u平面力

所以C\Bi，平面4BBi公,

点P在四边形441/B内(含边界)运动，当gP=&Cg=奁£1时，

B]P=V2a2-a2=a,这意味着点P是在以当为圆心a为半径的圆弧上运动，

该圆弧弧长是:圆周周长，由题意：x2ira=n,解得a=2,

所以该三棱柱的表面积为2X2+2X2+2/x2+Tx2x2+Ix2x2=12+4V2.

故选：C.

11

考点三、空间几何体的体积

典例引领

1.（2023・天津•高考真题）在三棱锥P—4BC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=*C,PN=^PB,则

三棱锥P-HMN和三棱锥P-A8C的体积之比为（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【分析】分别过作“用'124"'’1「力,垂足分别为“，过8作88’1平面/5",垂足为B',连接PB',过N

作NN'1PB’,垂足为N'.先证NN'_L平面PAC,则可得到BB7/NN,，再证MM'//。。'.由三角形相似得到箸=

普=9,再由詈皿=经%即可求出体积比.

3Vp-ABCVB-PAC

【详解】如图，分别过MC作MM'1PA,CC,1P4垂足分别为过B作，平面P4C,垂足为B',连接PB；

过N作NN'1PB：垂足为N：

因为8B‘1平面PAC,BB'u平面PBB',所以平面PBB'_L平面P4C.

又因为平面PB8'n平面PAC=PB',NN'1PB',NN'u平面PBB',所以NN’1平面P力C,且BB'〃NN'.

在△PC。'中，因为MM'1P4CC'，P4所以MM力CC',所以翳=箸=(,

在△PBB'中，因为BB7/NN',所以黑=黑=：

CDDD3

所以PPTMN_PN-P4M_¥APAM.NM_ggPAMMjNN'_2

Vp-ABCVB-PAC^S^PAC-BB'^PACCyBB'9*

故选：B

2.（2024・北京・高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是痛、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次

为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

【答案】2357.5/孚

【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.

【详解】设升量器的高为刈，斗量器的高为电（单位都是mm）,则球陛=单守=10,

若”1督）加

12

故电=23mm,自=—mm.

故答案为：23mm，手mm.

即时校L

1.(2024•全国•高考真题)已知圆台甲、乙的上底面半径均为q,下底面半径均为上，圆台的母线长分别为

2(「2-口),3(丁2—勺)，则圆台甲与乙的体积之比为.

【答案】斗

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

*22

【详解】由题可得两个圆台的高分别为八甲=V[2(ri-r2)]-(ri-r2)=百(勺一万)，

r22

h乙=V[3(n-2)]-(n-^2)=2鱼01-r2),

福l、J甲翔2+$1+4瓦)诈八甲V3(ri-r2)V6

P/T以=T-----------===---------=

，乙§(S2+Si+JS2Si)h乙"乙2V2(ri—r2)4

故答案为：手.

2.(2023•全国•高考真题)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△力BC是边长为3的等边三角形，SH1

平面力BC,则S4=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-4BC转化为正三棱柱SMN-4BC,

设的外接圆圆心为。口半径为r,

则2T=.*忆=%=2®可得百，

smz.ACB虫.7-=

2

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接。4。。1，贝"04=2,。。1=gsa,

因为。A2=。。彳+0^2,即4=3+[s42,解得S4=2.

故答案为：2.

13

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一

般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

3.（2023•全国•高考真题）在正四棱台力BCD-力i/CiDi中，=2,=1,44］=戊，则该棱台的体积

为.

［答案］』灰

OO

【分析】结合图像，依次求得乙。1，4。,公知，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过&作41MJ.4C,垂足为M,易知为四棱台48。。一4/1的。1的高，

因为4B=2,4当=l,AAr=V2,

Ac

贝I］力=^ii=ixV2A1B1W，A0=^AC=^x42AB=V2,

故力M=|(^C-&CJ=y,则=yjA^-AM2=(2-1=y,

14

所以所求体积为。=Jx(4+1+W3H)义当=婴

DZO

故答案为：平.

6

4.(2023・全国•高考真题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为一.

【答案】28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于：=；，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

所以正四棱锥的体积为3x(4x4)x6=32,

截去的正四棱锥的体积为3x(2x2)x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x(16+4+116x4)=28.

故答案为：28.

考点四、几何体的直观图

典例引领

1.(2024・湖北•模拟预测)用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中。'是B'C'的中点,

且力'D'//y'轴，轴，A'。'=B'C'=2,那么SMBC=()

A.V2B.2C.2V2D.4

15

【答案】D

【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.

【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示,

其中力DJ.BC,力。=24'。'=4,BC=B'C'=2,

原平面图形的面积为S&4BC=•4D=（x2x4=4.

2.（2024・四川成都・模拟预测）如图，△。’4'8'是水平放置的△。48用斜二测画法画出的直观图（图中虚线

分别与V轴和y'轴平行），OB'=20'D=6,OC=8,则a。力B的面积为（）

A.8&B.12V2C.24D.48

【答案】D

【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.

【详解】由直观图可得如下平面图形：

其中。8=02=6,0D=0D=3,OC=2OC=16,力。〃y轴，且AD=OC=16,

所以SAO4B=；x6x16=48.

16

即时检测

1.（2022高三•全国•专题练习）下图中小正方形的边长为1,四边形4BCD为某图形的直观图，则该图形的

面积为（）

【答案】D

【分析】先利用分割法求出直观图的面积，然后利用直观图和原图面积关系求解.

【详解】如图，把四边形4BCD分割成两个三角形和一个梯形来求面积

其面积S'=gx5x5+1x2x7+gx（5+7）x3=g

设原图形面积为s,则s'=¥s,

4

所以S=2V2S'=2V2xy=75a.

故选：D.

2.（2022•全国•模拟预测）如图，在水平放置的平面a上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线

段2C的长为.

【答案】程

【分析】根据斜二测画法的几何关系，再结合余弦定理从而可求解.

【详解】在斜二测画法中，取的中点D,则力。=f，CD=1,^ADC=45°,

AC2=CD2+AD2-2CD-AD-coszXDC=1+--2x1x—x—=

4224

故答案为：号.

17

A

A

3.（23-24高三上•贵州黔西•阶段练习）如图，矩形。/B'C'是水平放置的平面图形。48C的直观图，其中。N=

6,。'。'=3,则原图形。48C的面积为

【答案】36企

【分析】结合图形求出矩形ON'B'c'的面积，再由/j=2a,即可求解.

SOABC

【详解】由题意可得SoZRd=3X6=18,又^^=2V2,所以S./BC=2&X18=36Vl

SoABC

故答案为：36Vl

4.（2023・辽宁锦州•模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图。力'B'C'如图所示，6A=3CB,

C'E1O'A,S04BC=8,C力'〃y'轴，CE=y,。'为。'4'的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成

的空间几何体的体积为一.

【答案】48Tt

【分析】先由直观图还原梯形OABC,再利用斜二测画法的性质求得其边与高，从而判断得该梯形为等腰梯

形，进而利用圆台与圆锥的体积公式求解即可.

【详解】在直观图中，CD=<2C'E=1,所以在还原图中，CD=2,如图，

在直观图中，O'A=3CB',。'为。'4的三等分点，

所以在还原图中，O4=3CB,D为OA的三等分点,

又在直观图中，C'》〃炉轴，

所以在还原图中，CD〃y轴，则CDLO4

18

所以S04BC=[CDX（%+CB）=[X2x4CB=4CB=8，贝iJCB=2,

故。A=6,。。=（。4=2,所以四边形OABC是等腰梯形，

所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积,

222

即V=1KX（4+4X6+6）X2-1TTX2x2=苧—岑=48n.

故答案为：487T.

考点五、几何体的展开图

典例引领

1.（•广东・高考真题）己知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）

A.—B.—C.—D.—

4TTn2K2TI

【答案】c

【分析】设圆柱的底面半径为r,高为八，则由题意可得h=2irr,然后分别表示出圆柱的表面积与侧面积进

行求解即可.

【详解】设圆柱的底面半径为r,高为八，

因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以九=2irr,

所以圆柱的表面积为2irr2+2-rrr-h=2-nr2+4n2r2,

圆柱的侧面积为4n2r2,

所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是空真竺=竽，

4九”产271

故选：C

2.（•北京•高考真题）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）

是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】设圆锥的母线长为I,底面半径为r,依题意得到Z=2r,即可得到圆锥的轴截面为等边三角形，即

可得解.

【详解】解：设圆锥的母线长为Z,底面半径为r,依题意可得位=2c,即Z=2r,

所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的顶角为60。.

故选：C.

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1.（2022•全国•高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2m侧面积分别为S甲

19

sv

和s乙，体积分别为唳和V乙.若£=2,则直（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

【答案】c

【分析】设母线长为Z,甲圆锥底面半径为「1，乙圆锥底面圆半径为「2,根据圆锥的侧面积公式可得=2丁2,

再结合圆心角之和可将勺,「2分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即

可得解.

【详解】解：设母线长为1,甲圆锥底面半径为勺，乙圆锥底面圆半径为全，

C

则二=辿=11=2,

r

s乙"冲2

所以=2r2，

又孚+”=2兀，

则中=1,

所以=|，"2=?

所以甲圆锥的高阳=

乙圆锥的高七=

所以£=注

故选：C.

2.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（）

A.AB||HGB.CG1BHC.CG1DHD.AC||DG

【答案】A

【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确.

【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体.显然4BIIHG.因此A选项正确.

20

由图易得CGIIDH,显然。”与BH所成角非直角，因此异面直线CG与所成角也非直角，所以CG1不成

立.因此B、C选项不正确.

由图易得AC||EG,显然EG与DG相交，因此4C||DG不成立.因此D选项不正确.

故选：A

3.（2022•江苏连云港•二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的

,242412,12

【答案】B

【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.

如图，设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为h,母线长为Z,

则2TO-=TTX1,2TTR=TTX2,解得r=1,R=L

又I=2-1=1,h=J/2一（R_「）2=J]_2_0_=今

设上底面面积为S'=ITx（£）2=j下底面面积为S=TTX/=m

所以圆台的体积V=[（S+S'+Vsy）/l=11+；+J兀X：）Xy=

故选：B.

4.（2024•全国•模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为a的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为£的扇形,

21

则当0—a的值最大时，夕=()

A.1B.2

C.VTT12-1D.2,兀2—1

【答案】D

【分析】设圆锥的母线长为1,则可得底面半径丁=Isin会再由侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长

可得/?=2ns呜，则£一a=2ns呜一a,构造函数/(a)=2ns呜一a,利用导数可求出其最大值，从而可

求出/?.

【详解】设圆锥的母线长为1,则圆锥的底面半径r=Zsin泉

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长C=邛,

因此牛=2n/sirip/?=2nsinpp-a=2nsin|-a.

记/(a)=2nsin^—a,a6(0,IT),则f(a)=ncos^—1,

因为f(a)在(0,冗)上递减，且f(0)=ncosO—1=K—l>0,/(兀)=ncos^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭G(0,71)满足f'Oo)=0,即cos?=工，

L71

且当ae(0,劭)时，/'(a)>0,则/(a)在(0,劭)单调递增，

当a£(他加)时，/(a)<0,则/"(a)在(劭,冗)单调递减，

故劭是/①)的极大值点，也是最大值点.

此时/?=Zirsiny=2njl一(：)=2VTI2-1.

故选：D

考点六、最短路径问题

典例引领

1.(24-25高三上•广东・开学考试)圆锥顶点4底面半径为1,母线4B=4,4B的中点为M,一只蚂蚁从底

面圆周上的点B绕圆锥侧面一周到达M的最短路线中，其中下坡路的长是()

A.0B.等C.卓D.逐

【答案】B

【分析】将圆锥侧面沿母线2B剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段3M,过A作8M的垂线，垂足

为N,求出NM的长即可.

【详解】将圆锥侧面沿母线ZB剪开并展开成扇形，

22

心-----------

则该扇形半径2B=4,弧长为2TTX1=2TT,圆心角==泉

最短路线即为扇形中的线段BM,BM=7AB2+加=2限

过2作BM的垂线，垂足为N,当蚂蚁从B点爬行到点N过程中，它与点4的距离越来越小，

于是BN为上坡路段，当蚂蚁从点N爬行到点M的过程中，它与点4的距离越来越大，

于是NM为下坡路段，下坡路段长NM=AM-cos^AMB=2x亲=等.

故选：B

2.(24・25高三上•广东•阶段练习)已知某圆锥的轴截面是顶角为a的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为£

的扇形，则当。一夕最小时，)

A.1B.2C.VTI2-1D.2VK2-1

【答案】D

【分析】设圆锥的母线长为1,则可得底面半径r=/sin会再由侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长

可得/?=2nsi吟则S-a=2ns呜-a,构造函数f(a)=2ns呜一a,利用导数可求出其最大值，从而可

求出仇

【详解】设圆锥的母线长为1,则圆锥的底面半径厂=/sin全

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长

因此10=2irZsinp0=2nsinpp-a=2nsin1-a.

记f(a)=2nsin1—a,aE(0,n),则f(a)=71cos£—1,

因为/(a)在(0,n)上递减，且/(0)=ncosO—l=n—1>0,/'(兀)=TTCOS^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭6(0,TI)满足/'(劭)=0,即cos詈=

且当a6(0,他)时，/'(a)>0,则/(a)在(0,%))上单调递增，

当aG(劭,71)时，/'(a)<0,则/(a)在(劭,IT)上单调递减，

于是劭是/(a)的极大值点，也是最大值点，此时0=2irsin^=2nJl-(i)2=2荷工

而a-/?最小，当且仅当/?一a最大，所以-=2A/兀2一1

故选：D

即日螂(

23

1.（2019高三・全国・专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面

圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4b，则这个圆锥的体积为

【答案】C

【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PPi，由余弦定理求出NPiOP=g.求出底面

圆的半径r,从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.

【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示:

该小虫爬行的最短路程为PP1，

由余弦定理可得COSNPIOP==一[...NP]OP=3.设底面圆的半径为r,

L'Ur'UriLJ

则有2m-=gx4,解得r=:....这个圆锥的高为h=116-,=竽,

这个圆锥的体积为V=1xnr2xh=|TIXX『=年产.

故选：C.

2.（2024•辽宁•模拟预测）在正四棱柱486-4/1的01中,=3,P为线段的小的中点，

一质点从4点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点力的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的

面积为（）

24

A.V3B.—C.—D.3V6

24

【答案】B

【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.

【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离,

所以质点从4到P的最短距离为3企,

此时质点从4点出发，经过上靠近久的三等分点S,再到达P点,

面力SP截正四棱柱所得截面为五边形4SPQR,如图，

由力S=AR=RS=2V2,SP=PQ=QR=V2,

所以沿质点力的最短运动路线截正四棱柱,

则所得截面的面积为:

S^ARS+S梯形PQRS=2聒+当=当

故选：B

3.（23-24高三上•山西大同•期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为％,。2，母线力B=1（点力位于上

25

底面），且8。2=2401，圆。2的周长为不一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B,则其爬行的

最短路程为（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得.

【详解】将圆台的侧面沿着母线AB剪开，展成平面图形，延长B4B1公交于点0,连接481,8%,如图,

显然弧的长为年，弧441的长为条设乙B0Bi=a,则ax04=]ax0B=芋

则。B=2。力，即。4+1=2。力，得。4=1,于是4是。B的中点，a=泉

因此△OBJ是等边三角形，有网10B,且力当