2024-2025学年高二上学期期末复习【第四章 数列】十二大题型归纳（拔尖篇）（含答案）

2024-2025高二上学期期末复习第四章十二大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1．（2023下·河南郑州·高二统考期末）已知数列an，满足an-an-1=2，A．18 B．36 C．72 D．1442．（2023下·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．3．（2023下·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知数列an中，a1=2，a(1)求a3，a(2)求an的前2023项和S4．（2023上·江苏盐城·高二校联考期末）已知数列an满足a1=2(1)求数列an(2)设bn=nan2n，且数列bn的前题型2题型2数列的周期性的应用1．（2023下·甘肃庆阳·高二校考期末）已知数列an满足a1=3,an+1A．3 B．12 C．-132．（2023下·四川凉山·高二统考期末）已知数列an的前n项和为Sn,anA．1012 B．-1012 C．2023 D．-20233．（2023·全国·高三专题练习）数列an中，a1=3，a2=64．（2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1，a2=3题型3题型3求数列的最大项、最小项1．（2023下·山东潍坊·高二统考期末）若数列an的前n项积Tn=1-215A．-3 B．-1 C．2 D．32．（2023上·河北唐山·高二唐山一中校考期末）关于“函数fx=2x-2A．函数fx无最大、最小值，数列aB．函数fx无最大、最小值，数列aC．函数fx有最大、最小值，数列aD．函数fx有最大、最小值，数列a3．（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an的通项公式a(2)若数列bn满足：bn=4．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）数列{an}，{bn}满足(1)求证：{a(2)设a1=4，b1题型4题型4等差数列的判定与证明1．（2023上·江苏·高三统考期末）“a3+a9=2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（2023上·上海闵行·高三闵行中学校考阶段练习）已知数列an满足an+A．an B．a2n-1 C．a2n3．（2023上·山东威海·高二统考期末）设Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前(1)求S1，S(2)求证：数列1S(3)求数列an4．（2023上·广东东莞·高二校考期末）已知数列an中，a1=2(1)证明数列1an-1(2)若对任意n∈N*，都有a1题型5题型5利用等差数列的性质解题1．（2023下·北京顺义·高二统考期末）数列an是等差数列，若a3=3,1aA．52 B．5 C．9 2．（2023上·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列an满足a3+a6A．－3 B．3 C．－12 D．123．（2023下·江西上饶·高二校考阶段练习）在等差数列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a4．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知在等差数列an中，a1+(1)求an(2)求数列12n+1an的前n题型6题型6求等差数列的前n项和及其最值1．（2023下·辽宁·高二校联考期末）等差数列an的前n项和为Sn，且a1+aA．63 B．45 C．49 D．562．（2023上·湖南株洲·高三校联考期末）等差数列an是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7A．d<0 B．aC．当n=5时Sn最小 D．Sn>0时3．（2022上·黑龙江鸡西·高二校考期末）已知等差数列an中，(1)求数列an(2)求数列an的前n项和Sn4．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）已知等差数列an，Sn是数列an的前n项和，且S(1)求数列an(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值时题型7题型7等比数列的判定与证明1．（2023上·河南开封·高三统考期末）在数列an中,a1=14,aA．an2n+3是等比数列C．an2n+32．（2023上·广东·高二校联考期末）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=①an+1是等差数列

②an+1是等比数列

③aA．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．（2023下·湖南湘潭·高二校联考期末）在数列an中，a1=1(1)证明an(2)若bn=log2an+14．（2023下·河南郑州·高二统考期末）设数列an的前n项和为Sn，已知a1(1)设bn=a(2)求数列an2n的前n题型8题型8等比数列性质的应用1．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an的前n项积为Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．352．（2022·四川乐山·统考一模）在等比数列an中，如果a1+a2=16，A．40 B．36 C．54 D．813．（2022·高二课时练习）已知等比数列an的公比q=2，且a1a4．（2023上·高二课时练习）已知an是一个无穷等比数列，公比为q（1）将数列an中的前k（2）取出数列an（3）在数列an题型9题型9求等比数列的前n项和及其最值1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a3=2，A．数列an为等比数列 B．数列SC．S100=322．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．{an}为递减数列 C．数列{Sn}有最小项 3．（2023下·陕西汉中·高二校联考期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，a4(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=2an-34．（2023下·贵州六盘水·高二统考期末）已知数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)设bn=n-1n+1an，求数列题型10题型10等差、等比数列的综合应用1．（2023·重庆云阳·重庆市校考模拟预测）已知等差数列an的公差不为0，设bi=anii∈N*，若n2=2A．a81 B．a121 C．a1222．（2022下·浙江丽水·高一统考期末）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10-1 3．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求数列an(2)设bn①求数列bn的前n项和T②若不等式λTn-Sn4．（2023上·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）已知数列an是等差数列，a(1)求an的通项公式和i=(2)已知bn是等比数列，对于任意正整数k，若2k-1≤n≤①当k≥2时，求证：2k②求bn的通项公式及其前n题型11题型11数列的求和1．（2022上·广东广州·高三校考阶段练习）已知函数fx满足fx+f1-x=2(1)求数列an(2)若数列bn满足b1=23，bn=1an⋅an+1（n≥22．（2023上·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知等差数列an满足：a1=1，d=2，数列bn满足b1(1)证明：数列bn(2)若数列cn满足cn=an4n-13．（2022上·黑龙江大兴安岭地·高二校考期末）已知数列an满足a1=3(1)证明数列an-n是等比数列，并求出数列(2)设bn=1log2an-n，数列bnbn+14．（2023上·重庆·高二统考期末）已知数列an满足a1=1，an+1=an(1)写出b1，b(2)证明bn为等比数列，并求数列b(3)求数列an的前2n项和S题型12题型12数学归纳法的应用1．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式n∈N(1)-1+3-5+⋯+-1(2)n+1n+22．（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数m使得fn=2n+7⋅3n+93．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于n-2π4．（2023上·高二课时练习）已知数列：11×2，12×3，13×4，…，1n⋅n+1，…，设Sn为该数列的前n项和.计算S1，S2，

高二上学期期末复习第四章十二大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1．（2023下·河南郑州·高二统考期末）已知数列an，满足an-an-1=2，A．18 B．36 C．72 D．144【解题思路】利用累加法计算即可.【解答过程】由题意可知：a10故选：A.2．（2023下·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解题思路】由an+1=n【解答过程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因为a1=1，所以因为a1=1满足上式，所以故选：B.3．（2023下·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知数列an中，a1=2，a(1)求a3，a(2)求an的前2023项和S【解题思路】（1）由递推公式令n=1和n=3代入即可得出答案；（2）由递推公式可证明数列an【解答过程】（1）当n=1时，a1a3=1，所以a3=1（2）当n=2时，a2a4由anan+2=1知an+2即a4n=a4=2，a所以S20234．（2023上·江苏盐城·高二校联考期末）已知数列an满足a1=2(1)求数列an(2)设bn=nan2n，且数列bn的前【解题思路】（1）写出当n≥2时的等式，再与原式两式相除求解即可；（2）由（1）bn=n+12n，再根据错位相减求解可得Sn=3-【解答过程】（1）a1当n≥2时，a1两式相除得；an又a1=2符合上式，故（2）bnSn12错位相减得：12=1+1即Sn=3-n+32n设f(n)=(n+1)(n+3)2n故f(n+1)-f(n)=(n+2)(n+4)由f(n+1)-f(n)=-由n∈N*可知，-n故-n故f(n+1)-f(n)<0恒成立，知f(n)单调递减，故f(n)的最大值为f(1)=4，则λ≥4.题型2题型2数列的周期性的应用1．（2023下·甘肃庆阳·高二校考期末）已知数列an满足a1=3,an+1A．3 B．12 C．-13【解题思路】根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求值.【解答过程】a1=3，a2=12，所以an又2023=4×505+3，所以a2023故选：C.2．（2023下·四川凉山·高二统考期末）已知数列an的前n项和为Sn,anA．1012 B．-1012 C．2023 D．-2023【解题思路】根据数列的递推公式得到a1【解答过程】因为数列an的前n项和为Sn，且则a1=cosπa3=5cos所以a1+a依次类推，a5+a6=2，所以S=(=1011×2-4045=-2023.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）数列an中，a1=3，a2=6【解题思路】利用递推公式可验证出数列an为周期为6的周期数列，从而可得a【解答过程】数列an中，a1=3，a令n=1，则a令n=2，则a令n=3，则a令n=4，则a令n=5，则a令n=6，则a∴数列an为周期为6∴.a20244．（2023·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1，a2=3【解题思路】根据递推式依次计算出数列的前几项，归纳出数列是周期数列，且周期为6，用6项的和为0．由此易计算出和S2021【解答过程】由a1=1，a2=3，a3=2，an+2a7=1，a8=3，a9=2，a10且a1+a题型3题型3求数列的最大项、最小项1．（2023下·山东潍坊·高二统考期末）若数列an的前n项积Tn=1-215A．-3 B．-1 C．2 D．3【解题思路】由题可得an【解答过程】∵数列an的前n项积T当n=1时，a1当n≥2时，Tn-1ann=1时也适合上式，∴an∴当n≤8时，数列an单调递减，且an当n≥9时，数列an单调递减，且an故an的最大值为a9=3∴an故选：C.2．（2023上·河北唐山·高二唐山一中校考期末）关于“函数fx=2x-2A．函数fx无最大、最小值，数列aB．函数fx无最大、最小值，数列aC．函数fx有最大、最小值，数列aD．函数fx有最大、最小值，数列a【解题思路】依题意可得fx=1【解答过程】解：函数fx令gx=1+1122x-因为2x-152>-则1122x-15又y=1x在-∞,0，所以fx在-∞,log2152因为2<对于数列an则a1=0>a2=-27所以数列an有最小项a2=-故选：A.3．（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an的通项公式a(2)若数列bn满足：bn=【解题思路】（1）根据an（2）求出b1=15，当n≥2时，计算出bn+1bn=1【解答过程】（1）Sn=2n+3当n≥2时，an其中21-1故a（2）当n=1时，b1当n≥2时，bn则bn+1当n=2时，b3当n≥3时，1n+1≤43，故n≥2时，bn的最大项为b又b3>b1，故数列4．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）数列{an}，{bn}满足(1)求证：{a(2)设a1=4，b1【解题思路】（1）将所给等式化简可得2an+1=（2）由（1）可得an+1=12an+【解答过程】（1）∵an+1=12an∴bn+1=2a（2）由（1）anbn=a1b∵a1=4∴a当n≥2时，an+1-2=1∴a∵an>2，∴an+1-an<0题型4题型4等差数列的判定与证明1．（2023上·江苏·高三统考期末）“a3+a9=2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解题思路】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.【解答过程】如果数列an是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a反之a3+a故选：B.2．（2023上·上海闵行·高三闵行中学校考阶段练习）已知数列an满足an+A．an B．a2n-1 C．a2n【解题思路】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案.【解答过程】由an+a∴an+5-a故an+6-a故数列a3n故选：D.3．（2023上·山东威海·高二统考期末）设Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前(1)求S1，S(2)求证：数列1S(3)求数列an【解题思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通过1Tn=Sn（3）当n≥2时，通过an=Sn-【解答过程】（1）由1Tn=Sn当n=1时，1T1=当n=2时，1T2=（2）对于1T当n≥2时，1T①÷②得Tn-1即Sn-1=S又1S∴数列1S（3）由（2）得1S∴S当n≥2时，an又n=1时，a1=S∴a4．（2023上·广东东莞·高二校考期末）已知数列an中，a1=2(1)证明数列1an-1(2)若对任意n∈N*，都有a1【解题思路】（1）根据已知可推出1an+1-1-1（2）经化简可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答过程】（1）证明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a所以1an-1=1+n-1（2）由（1）知，an所以a1a2则由a12⋅a2令bn=n+122n，假设数列当r≥2时则，有br≥br-1b解得2≤r≤2+1因为r∈N*，所以r=2，又b1=2，所以数列bn中第2项最大，即b所以由k≥n+122n对任意题型5题型5利用等差数列的性质解题1．（2023下·北京顺义·高二统考期末）数列an是等差数列，若a3=3,1aA．52 B．5 C．9 【解题思路】利用等差数列的性质结合已知条件求解【解答过程】因为数列an为等差数列，且a3=3因为1a1+所以6a1a故选：B.2．（2023上·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列an满足a3+a6A．－3 B．3 C．－12 D．12【解题思路】根据等差数列的性质若m+n=p+q则am【解答过程】由等差中项的性质可得，a3+a∵a7+a故选：A.3．（2023下·江西上饶·高二校考阶段练习）在等差数列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a【解题思路】根据等差数列的性质：若m+n=p+q，则am【解答过程】（1）在等差数列an中,∴a2∴a6∴a9-1（2）∵a1∴a8∴2a4．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知在等差数列an中，a1+(1)求an(2)求数列12n+1an的前n【解题思路】（1）根据等差数列性质和通项公式可求得公差d，代入通项公式即可求得an（2）采用裂项相消法可求得Sn【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d∵a1+a5∴a（2）由（1）得：12n+1∴Sn=题型6题型6求等差数列的前n项和及其最值1．（2023下·辽宁·高二校联考期末）等差数列an的前n项和为Sn，且a1+aA．63 B．45 C．49 D．56【解题思路】先根据已知求出公差d，再利用求和公式得出结果.【解答过程】设公差为d，由a1+a解得a1=3d=2故选：A.2．（2023上·湖南株洲·高三校联考期末）等差数列an是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7A．d<0 B．aC．当n=5时Sn最小 D．Sn>0时【解题思路】根据等差数列基本量的计算可得a1=-3d，进而根据递增即可判断AB,根据an【解答过程】由a7=3a由于an是递增数列，所以d>0，aan=a故当n>4,n∈N*时，an=n-4当n<4,n∈N*时，an=n-4d<0，因此当n=3或n=4时Sn最小，故C错误，Sn=na1故选：D.3．（2022上·黑龙江鸡西·高二校考期末）已知等差数列an中，(1)求数列an(2)求数列an的前n项和Sn【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式列出关于a1（2）利用等差数列的前n项公式即可得解.【解答过程】（1）依题意，设数列an的首项是a1，公差是因为a3=2,a9=14所以数列an的通项公式a（2）因为a1所以Sn则S104．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）已知等差数列an，Sn是数列an的前n项和，且S(1)求数列an(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值时【解题思路】（1）由等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项，（2）根据等差数列求和公式，结合二次函数的性质即可求解最值.【解答过程】（1）由题意，Sa（2）∵∴当n=4时，Sn题型7题型7等比数列的判定与证明1．（2023上·河南开封·高三统考期末）在数列an中,a1=14,aA．an2n+3是等比数列C．an2n+3【解题思路】根据an+12n+1=a【解答过程】解:由题知an+1所以an+1又因为a1所以an且首项为4,公比为2.故选:B.2．（2023上·广东·高二校联考期末）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=①an+1是等差数列

②an+1是等比数列

③aA．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解题思路】由数列的递推式可得an+1=Sn+1-【解答过程】由Sn+1=Sn+2由S1=a则an+1=2故②③正确，①错误；又2nT则Tn-1=-1故选：B.3．（2023下·湖南湘潭·高二校联考期末）在数列an中，a1=1(1)证明an(2)若bn=log2an+1【解题思路】（1）根据递推关系结合等比数列的定义即得；（2）根据等比数列的通项公式结合条件可得bn【解答过程】（1）由已知可得an+1∴an+1+1n+1=2所以an（2）由（1）可得an+1n=2所以Sn4．（2023下·河南郑州·高二统考期末）设数列an的前n项和为Sn，已知a1(1)设bn=a(2)求数列an2n的前n【解题思路】（1）利用an与Sn间的关系，得到an+1（2）利用（1）中结果得到数列an2n【解答过程】（1）由a1=2及得a1+a2=又Sn+1由①－②，得an+1∴an+1∵bn=a故数列bn是首项b（2）由（1）知bn∴an+12n+1故数列an2nTn题型8题型8等比数列性质的应用1．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an的前n项积为Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．35【解题思路】根据题意可得a2020a2021【解答过程】∵M2024=3M∴a2020a2021∴a20225=3∴b1023故选：B．2．（2022·四川乐山·统考一模）在等比数列an中，如果a1+a2=16，A．40 B．36 C．54 D．81【解题思路】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.【解答过程】由等比数列性质知，a1+a2，a3+a4，a5故选：C.3．（2022·高二课时练习）已知等比数列an的公比q=2，且a1a【解题思路】根据下标和性质得到a15⋅a【解答过程】解：由等比数列的性质可知a1所以a1∴a∵公比q=2，又a3∴a4．（2023上·高二课时练习）已知an是一个无穷等比数列，公比为q（1）将数列an中的前k（2）取出数列an（3）在数列an【解题思路】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a1（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a1（3）这个新数列是等比数列.它的公比是q11，我们由此可以得到一个结论：在数列an中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为【解答过程】（1）将数列an中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a（2）取出数列an中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是a（3）在数列an中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是q11，我们由此可以得到一个结论：在数列an中，每隔k题型9题型9求等比数列的前n项和及其最值1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a3=2，A．数列an为等比数列 B．数列SC．S100=32【解题思路】由anan+1=2n，得an+1an+2【解答过程】由anan+1两式相除得an+2所以数列an的奇数项和偶数项都是以2又a3=2，则a2因为a3a2由a3=2，anan+1则S2=a而等比数列中不能出现为0的项，所以数列Sn由AB选项可得，当n为奇数时，an当n为偶数时，an则a2024S====32故选：C.2．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．{an}为递减数列 C．数列{Sn}有最小项 【解题思路】由已知-a1<a2<a1，分析等比数列的公比范围，进而可以判断{an}的单调性，判断A，B【解答过程】设等比数列{an}的公比为q由-a1<a1可得a1>0，又a2<a1故等比数列{an}首项a1>0，公比q当-1<q<0时，等比数列{a当0<q<1时，an+1-a又Sn=所以当-1<q<0时，由于Sn+2则S1=a此时数列{Sn}的最小项为S当0<q<1时，有Sn+1则数列{Sn}故选：C.3．（2023下·陕西汉中·高二校联考期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，a4(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=2an-3【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和为Sn求得首项a1与公差d即可得数列（2）由（1）得bn=2n，直接利用等比数列的前【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d则a1+3d=72a1∴an（2）∵bn=2∴bn∴数列bn∴Tn4．（2023下·贵州六盘水·高二统考期末）已知数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)设bn=n-1n+1an，求数列【解题思路】（1）利用an（2）由（1）可知bn=n22n-2n，设n22【解答过程】（1）当n=1时，a1当n≥2时an所以an又a1所以an所以an（2）由（1）可知bn设n22n的前nPn2P两式相减得，-P-2P两式相减得，Pn=2+2=-6+n又因为2n的前n项和是S所以Tn题型10题型10等差、等比数列的综合应用1．（2023·重庆云阳·重庆市校考模拟预测）已知等差数列an的公差不为0，设bi=anii∈N*，若n2=2A．a81 B．a121 C．a122【解题思路】根据题意计算得到d=2a1，an【解答过程】根据题意知：b2=a2，b3=a故a1+4d2故an=2aa81a121a122=243aa123故选：C.2．（2022下·浙江丽水·高一统考期末）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10-1 【解题思路】由a1,a2,a5【解答过程】∵a1∴a22=∴Sn令t=n+1，令y=12(t+∵函数y在(0,10]递减，在∴当t=3时，y=136；当t=4时，∴ymin故选：A.3．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求数列an(2)设bn①求数列bn的前n项和T②若不等式λTn-Sn【解题思路】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；（2）①先计算bn的通项公式，再用错位相减法求解T

②代入Tn,Sn，得到λ≤2-n3n【解答过程】（1）依题意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以-2Tn=3+2⋅3+2⋅32∴T②由（1）易求得Sn=n(n+2)，所以不等式λT即转化为λ≤2-n3n令fn=2-n又fn+1当1≤n≤2时，fn+1-fn<0；所以f(1)>f(2)>f(3)，且f(3)<f(4)<⋯，则λ≤fn所以实数λ的最大值为-14．（2023上·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）已知数列an是等差数列，a(1)求an的通项公式和i=(2)已知bn是等比数列，对于任意正整数k，若2k-1≤n≤①当k≥2时，求证：2k②求bn的通项公式及其前n【解题思路】（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3d=2（2）①利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，即可得证题中的不等式；②结合①的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而求得数列得通项公式，最后由等比数列的前n项和公式计算即可.【解答过程】（1）由题意可知a2+a5=2a1i==2=2×（2）①由题意可知，当2k-1≤n≤2取n=2k-1，则bk当2k-2≤n≤2取取n=2k-1-1，此时a综上可得：2②由①可知2k-1<b则数列bn的公比q满足2当k∈N*，k→+∞时，2-32所以2k-1<b当k∈N*，k→+∞时，2-12所以数列的通项公式为bn其前n项和为：Sn题型11题型11数列的求和1．（2022上·广东广州·高三校考阶段练习）已知函数fx满足fx+f1-x=2(1)求数列an(2)若数列bn满足b1=23，bn=1an⋅an+1（n≥2【解题思路】（1）由fx（2）由（1）可得bn的通项公式，由数列的裂项相消求和可得S【解答过程】（1）因为f(x)+f(1-x)=2,由an则an所以①+②可得：故an=n+1，（2）由（1）知，an=n+1，则n≥2时，所以S

=

=1-1又由Sn<λan+1对一切即有λ>1n+2-当n=1时,-1n+2-12故实数λ的取值范围是292．（2023上·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知等差数列an满足：a1=1，d=2，数列bn满足b1(1)证明：数列bn(2)若数列cn满足cn=an4n-1【解题思路】（1）依题意，对原式进行化简，根据等比数列的定义证明即可；（2）依题意，利用等差数列的通项公式，写出数列an的通项，再结合（1）中的结论，得出数列bn的通项，从而得到数列cn的通项，然后利用数列的错位相减法求和，即可求出数列cn的前【解答过程】（1）证明：因为bn≠2，且所以3bn+2=4bn+1又因为b1所以数列bn-2是以首项为1，公比为（2）解：等差数列an满足a1=1，d=2由（1）可知，bn-2=3因为Tn所以Tn13①-②，得：23T=2-2n+1所以Tn3．（2022上·黑龙江大兴安岭地·高二校考期末）已知数列an满足a1=3(1)证明数列an-n是等比数列，并求出数列(2)设bn=1log2an-n，数列bnbn+1【解题思路】（1）变换得到an+1-n+1（2）计算bn=1n，根据裂项求和得到【解答过程】（1）an+1=2an-n+1，故a故an-n是首项为2，公比为2的等比数列，an（2）bn=1Tn=1所以由Tn<m2-m+14．（2023上·重庆·高二统考期末）已知数列an满足a1=1，an+1=an(1)写出b1，b(2)证明bn为等比数列，并求数列b(3)求数列an的前2n项和S【解题思路】