福建省漳州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

漳州市2023-2024学年（上）期末高中教学质量检测高一数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函数定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得.故选：B.3.若，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数单调性知C正确，举反例得到ABD错误，得到答案.【详解】对选项A：取，，不成立，错误；对选项B：取，，不成立，错误；对选项C：，则，正确；对选项D：取，，不成立，错误；故选：C.4.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数对数的单调性与和进行比较大小.【详解】根据题意，,,,所以.故选：D5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数为偶函数排除CD，当时，，排除B，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为偶函数，排除CD；当时，，排除B；故选：A.6.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式和和差公式计算得到答案.【详解】.故选：C.7.已知，则“”的一个充分条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据充分条件的定义逐项判断.【详解】对于A：即，因，所以不一定成立，故A错误；对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误；对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误；对于D：即，则成立，故D正确.故选：D.8.若函数是增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案.详解】当时，单调递增，且；当时，，，函数单调递增，且，解得；当时，，，.函数单调递增，则，解得；同理可得：当时，，，函数单调递增，且，解得；综上所述：.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.函数是偶函数 B.函数是增函数C.的解集为 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案.【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即，对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误；对选项B：函数是增函数，正确；对选项C：，解得，正确；对选项D：，正确；故选：BCD.10.为了得到函数的图象，只需（）A.将函数的图象向左平移个单位长度B.将函数的图象向左平移个单位长度C.将函数的图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的变换和诱导公式，进行逐一判断选项.【详解】对于选项A，向左平移个单位长度，可得,故A正确;对于选项B，向左平移个单位长度，可得，故B错误；对于选项C，向左平移个单位长度，可得，故C正确；对于选项D，向右平移个单位长度，可得，故D正确.故选：ACD11.已知，，且，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为2 D.的最大值为8【答案】BC【解析】【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误.【详解】A选项，因为，由基本不等式得，即，故A错误；B选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，B正确；C选项，两边平方得，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，的最小值为2，C正确；D选项，因为，，所以，故D错误.故选：BC12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.函数是增函数C.关于的不等式的解集为D.【答案】BC【解析】【分析】根据定义判断A错误，确定函数单调递增B正确，构造，确定函数为奇函数且单调递增，得到，C正确，确定，计算得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：函数定义域为，，错误；对选项B：，在上单调递增，故是增函数，正确；对选项C：设，函数定义域为，则，函数为奇函数且单调递增，，即，即，故，解得，正确；对选项D：，，，错误；故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆心角是2弧度的扇形的周长为8，则扇形的面积为______.【答案】4【解析】【分析】设扇形半径为，解得，计算面积即可.【详解】设扇形半径为，则，解得，.故答案为：.14.若函数是偶函数，且当时，，则当时，______.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的性质求解即可.【详解】解：因为数是偶函数，且当时，，所以当时，，所以，即，所以当时，.故答案为：15.设，则的值为______.【答案】##【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求解值.【详解】由，则，所以，故,故答案为：16.函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】判断出为偶函数，只需研究时的值域即可，分、讨论去绝对值，然后利用两角和与差的正弦化简，再根据的范围求的值域即可.【详解】函数的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，只需研究时的值域即可.当即或时，，因或，所以，或，可得；当即时，，因为，所以，可得，综上所述，函数的值域为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是只需研究时的值域，分、讨论，结合三角函数的性质解题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定或，，再计算补集和并集即可.（2）确定，考虑和两种情况，计算得到答案.小问1详解】集合或，，故，.【小问2详解】，所以，当时，，所以；当时，或，解得：；综上所述：实数的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案；（2）由与诱导公式可得，后由可得答案.【小问1详解】由三角函数定义，结合题意，可得，即，所以；【小问2详解】由诱导公式，结合题意可得：，又，则，又，则19.设函数，其中.（1）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围；（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）（2）在区间上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可推出“，”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答案；（2）由题意可得的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论.【小问1详解】因为命题“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】在区间上单调递减.证明如下：，且，则，因为，且，所以，，，所以，即，即，所以在区间上单调递减.20.已知函数，且函数的最小正周期为.（1）求的图象的对称中心；（2）若，求使取最大值时自变量的集合，并求出最大值.【答案】（1），（2）或，最大值为.【解析】【分析】（1）确定，变换得到，再计算对称中心即可.（2）变换，取，计算得到答案.【小问1详解】，因为函数的最小正周期为，，故，，.由，，得，，故的图象的对称中心为，.【小问2详解】，所以当时，，此时或，即或，，使取最大值时自变量的集合为或，最大值为.21.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神州十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：（天）271423（百个）4567已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.（1）给出以下三种函数模型：①，②，③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.（2）借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？【答案】（1）选择模型③，理由见解析（2）第13天最低.【解析】【分析】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案.（2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】选择模型③，理由如下：表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，模型①不满足题意；因为表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意；对于模型③，将，代入模型③，有，解得，此时，经验证，，均满足，所以模型③满足题意.故选择模型③【小问2详解】，故，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第13天最低.22.已知函数，函数为奇函数，其中，.（1）求的值；（2）用表示，中的最小者，记为，请讨论在内的零点个数.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据解得答案，再验证即可.（2）考虑，，三种情况，首先确定的零点情况，再根据，，，四种情况计算的零点，综合得到答案.【小问1详解】是奇函数，所以，即，因为，所以，，函数定义域为，，函数为奇函数，满足；【小问2详解】①当时，，从而，所以在内无零点.②当时，，，，所以当，且时，，，即是的零点；当，时，，，即不是的零点.