函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

（13类核心考点精讲精练）

.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第4题,5分函数奇偶性的定义与判断求含COSX的函数的奇偶性

函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的

2023年天津卷，第4题,5分

图象（含正、余弦，正切）根据函数图象选择解析式

2022年天津卷，第3题,5分函数奇偶性的应用函数图像的识别根据解析式直接判断函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。

2.能掌握函数的性质

3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题

4.会解周期性与对称性的运算.

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式,

解析式，求和等各种问题。

卜7\・考点梳理・

1.单调函数的定义

\考点一、函数的单调性

2.单调区间的定义/考点二、函数的单调区间

C知识点一•函数的单调性（3.函数单调性的等价结论

|考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围

4.判断函数单调性的四种方法

"［由灿.何枇岫中.考点四、函数的奇偶性

雪鬻曹黑繇右注考点五'利用函数奇偶性求参数

知识点二.函数的奇偶性Y（勰鬻既¥胆?'考点六、利用函数奇偶性求解析式

函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性3.函数奇偶性的常用结论考点七、利用单调性奇偶性解不等式

考点八、函数的对称性

―考点九、利用函数对称性求解析式

“鬻荒考点十、函数的周期性

知识点三.周期性与对称性瑞耀对L论裴匚,鬻麓嚣鬻，

考谓十3奇偶性与周期性解不等式

知识讲解

知识点一.函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数兀0的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任

意两个自变量的值xi，X2

定

当X1＜X2时，都有"1）＞

义当尤1＜尤2时，都有/fa）＜"2），那么就说函数

届）,那么就说函数yu）在区

式力在区间D上是增函数

间。上是减函数

y

图

象__-：加1）：大初）

0到x

描0X\X2X

述

自左向左一看图象是上升的自左向彳3看图象是下降的

2.单调区间的定义

如果函数y="）在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数＞=兀0在这一区间具有（严格的）单调性，区

间D叫做y=兀0的单调区间.

注意：（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属

于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

（2）单调区间定义域/.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大.

3.函数单调性的等价结论

（1）函数f（x）在区间［a,b］上是增函数：

。任取xi,x2e[a,b],Mxi<X2,都有f(xi)-f(x2)<0;

。任取xi,X26[a,b],且xi力X2,都有上上叵2>0;

一%2

0任取Xi,X2C[a,b],且X1?X2,都有(Xl-X2)[f(Xi)-f(X2)]>0；

=任取X],X2C[a,b],且X法X2,都有卷篇>

⑵函数f(x)在区间[a,b]上是减函数:

O任取Xi,X2E[a,b],且X1VX2,都有f(xi)-f(x2)>0;

0任取xi,x2e[a,b],Mx浮X2,都有四"型<0;

%]一%2

=任取Xi,X2G[a,b],_&X1rX2,都有(Xi-X2)[f(Xi)-f(X2)]<0；

O任取xi,X2C[a,b],且X"X2阍有-「宁、<0

(3)在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)复合函数八g(x))的单调性与函数y=A")和a=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

(5)对勾函数(耐克函数)

形如y=x+"(p>0,且p为常数)

x

在(-00,-y[p卜口[J7,+00)上为增函数，在(-J3,o)和(o,4P)上为减函数.

对勾函数有两条渐近线：一条是y轴(xwO,图象无限接近于y轴，但不相交)，

另一条是直线y=x(当x趋近于无穷大时，K趋近于0,y趋近于％,因为"wO,所以y#尤)

XX

4.判断函数单调性的四种方法：

(1)定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.

(3)图象法：如果40是以图象形式给出的，或者丸尤)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.

(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)

(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.

易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“U”联结.

知识点二.函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义：

奇偶性偶函数奇函数

条件设函数f（x）的定义域为I,如果VxeL都有一xel

结论f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

图象特点关于y轴对称关于原点对称

注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

2.判断人尤）与斤x）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式yw+y（㈤

=0（奇函数）或"X）T/（-X）=O（偶函数）是否成立.

3.若兀0加，则奇（偶）函数定义的等价形式如下：

①/（元）为奇函数=八-尤）=-汽x）0fi~x）+八x）=0=今m=-L

②/（X）为偶函数钙为-无）=/0）钙/（-尤）；/^）=。0隼？=1.

TI引

2.判断函数奇偶性的方法

利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：降?=±1如）邦）判断函数的奇偶性.

1.定义法:

2.图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.

3.验证法：即判断人功句（一尤）是否为0.

4.性质法：设於），g（x）的定义域分别是。1，D2,那么在它们的公共定义域上，有下面结论:

g(x)+g(x)fO)—f(x)—g(x)f[g(.x)]

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

总结：奇±奇=奇偶±偶=偶奇、奇=偶偶、偶=偶奇、偶=奇

3.函数奇偶性的常用结论

1.如果一个奇函数大尤）在x=。处有定义，那么一定有四片也.

2.如果函数/（X）是偶函数，那么Kx）=/（|x|）.

3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

4在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇义奇=偶，偶义偶=偶，奇、偶=奇.

5.若y=/（x+a）是奇函数，则八一x+a）=—/（尤+a）；若y=«r+a）是偶函数，则八一x+a）=/（x+a）.

知识点三.周期性与对称性

1.周期性

(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)

=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最

小正周期.

2.中心对称

定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备

对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心

3.周期性与对称性的常用结论

(1)函数周期的常见结论设函数y=/(x),x€R,a>0.

①若a),则函数的周期为2a；

②若兀r+a)=—/(无)，则函数的周期为2a；

③若式x+a)=则函数的周期为2a；

7(无)'

1

④若加+a)=则函数的周期为2a；

於＞'

(2)对称轴常见类型

①/■(久+a)=/(-X+b)代x)图像关于直线x=W■对称

②/(%+a)=/(-x+a)qy=/(x)的图象关于直线x=a对称

③/'(久)=f(一%+2a)=y=f(%)的图象关于直线x=a对称

④/(-x)=f(x+2a)oy=f(x)的图象关于直线x=a对称

(3)对称中心常见类型

①)于(x+a)+f(b-x)=2cay=f(x)图像关于直线心对称

②f(a+x)+/(«—x)=2b=y=/(x)的图象关于点(a涉)对称

③/(%)+/(2a-X)=2b。y=/(x)的图象关于点(。/)对称

@/(-%)+f(2a+x)=2b<=>y=/(x)的图象关于点(a/)对称

(4)周期与对称性的区分

①若f(x+a)=+f(x+b),则f(x)具有周期性；

②若/1(x+a)=+f(-x+b),则f(x)具有对称性：

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

考点一、函数的单调性

典例引领

1.(2023•北京•高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-InxB.f(x)=表

C./(%)=-D./(x)=3lxT

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=In久在(0,+8)上单调递增，y=-X在(0,+8)上单调递减，

所以/0)=—Inx在(0,+8)上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2》在(0,+8)上单调递增，y=(在(0,+8)上单调递减，

所以/(%)=/在(0,+8)上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=1在(0,+8)上单调递减，y=-x在(0,+oo)上单调递减，

所以/(%)=-5在(0,+8)上单调递增，故C正确；

对于D,因为/'⑨=3bli==百，/(I)=311T=3。=1,/(2)=312-11=3,

显然〃%)=3氏-11在(0,+8)上不单调，D错误.

故选：C.

2.(2020•山东•高考真题)己知函数/。)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数均，无2，总有

""2)-"卬)>o成立，则函数fQ)一定是()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.

【详解】对于任意两个不相等的实数%,%,总有>0成立,

2%2Tl

等价于对于任意两个不相等的实数/<尤2,总有f(尤1)</(X2).

所以函数/(X)一定是增函数.

故选：C

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1.(2021•全国•高考真题)下列函数中是增函数的为()

A./(x)=—XB./(x)-(勺C./(x)=x2D./(x)=K[x

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,"%)=-X为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,/(x)=6)”为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(x)=/在(_8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,f(%)=版为/?上的增函数，符合题意，

故选：D.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知/'(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)满足g(x)+g(-x)=。，且/(%)、

g(x)在(-8,0］单调递减，则()

A.f(g(x))在［0,+8)单调递减

B.g(g(x))在(一8,0］单调递减

C.0))在［0,+8)单调递减

D./(/(x))在(一8,0］单调递减

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.

【详解】由题意知/(久)在［0,+8)单调递增，g(x)为奇函数，在R上单调递减.

设ow<犯，则g(%2)<wo，/(9(>2))>/(g3))，

所以f(g(x))在0+8)单调递增，故A错误，

设/<x2<0,则g3)>g(x2),<。(。3))，

所以g(g(x))在(-8,o］单调递增，故B错误；

设ow勺<冷，贝疗(/)</'(犯)，>g(f(%2))，

所以g(f(x))在［。,+8)单调递减，故c正确；

取/(%)-x2-1,贝1］/'(/■(%))=(%2-1)2—1,/(/(0))=0,/(/(-I))=-1,

此时/(/(%))在(-8,0］不单调递减，故D错误.

故选：C.

3.(2024•山西吕梁•二模)已知函数y=/(4x-在区间。2)上单调递减，则函数/(%)的解析式可以为

()

A./(x)=4x—x2B./(x)=2㈤

C./(%)=—sinxD./(x)=x

【答案】A

【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间(3,4)上单调递减，进而逐项分析判断即可.

【详解】因为t=4x—/开口向下，对称轴为t=2,

可知内层函数t=4x-/在区间(1,2)上单调递增，

当x=1,t=3；当x=2,t=4；

可知t=4x—%2£(3,4),

又因为函数y=/(4x-/)在区间(1,2)上单调递减，

所以f(t)在区间(3,4)上单调递减,即f(x)在区间(3,4)上单调递减.

对于选项A：因为函数f(x)=4久-/在区间⑶4)上单调递减，故A正确；

对于选项B：因为x6(3,4),则/(%)=2⑶=2*在区间(3,4)上单调递增，故B错误；

对于选项C：因为x6(3,4)=('?)，则^0)=-5行%在区间(3,4)上单调递增，故C错误；

对于选项D：因为/(%)在区间(3,4)上单调递增，故D错误.

故选：A.

4.(23-24高三上•上海杨浦•期中)已知函数y=f(久)，xeR.若f(1)<f(2)成立，则下列论断中正确的

是()

A.函数/'Of)在(-8,+8)上一定是增函数；

B.函数/(X)在(-8,+8)上一定不是增函数；

C.函数/(久)在(-8,+8)上可能是减函数；

D.函数/(£)在(-8,+8)上不可能是减函数.

【答案】D

【分析】根据函数单调性的定义判断即可.

【详解】因为函数y=/(%),xeR且f(1)<f(2)成立，

则函数人久)在(-8,+8)上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，

如f(x)=X2,满足"1)<f(2),但是f(x)在(-8,+8)上不具有单调性，

故D正确，A、B、C错误.

故选:D

考点二、函数的单调区间

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)函数y=%的单调递减区间为()

X

A.(—°°,+°°)

B.(0,+8)

C.(—0)U(0,+°°)

D.(―°°,0),(0,+°°)

【答案】D

【分析】由反比例函数的性质即可求解.

【详解】由反比例函数的性质可得函数y=1的单调递减区间为(-8,0),(0,+8).

故选：D.

2.（23-24高三上•河南南阳•阶段练习）函数y=因（1-久）在区间A上是减函数，那么区间A

是.

【答案】（一8,0）,G，+8）（答案不唯一）

【分析】化简函数y=|汨（1一切为〃x）=产一作出其图象，数形结合，即可得答案.

【详解】由题意得y=f（x）=|x|（l-x）=产一，

作出其图像如图：

由图像可知函数在区间（-8,0）,G，+8）上是减函数，

故区间A是（一8,0）,（|,+oo）,或其子集

故答案为：（一8,0）,（，+8）

即时悒测

1.（23-24高三上•宁夏固原•阶段练习）函数y=|—J+4久+5］的单调递减区间为

【答案】（一8,-1）,（2,5）

【分析】作出y=|-%2+4x+5］的图像，根据图像即可求出结果.

【详解】由--+4%+5=0,得到x=-1或尤=5,

函数y=|-%2+4x+5］的图像如图所示，

由图知,函数y=|-/+轨+5|的单调递减区间为（—8,-1）,（2,5）,

2.(20-21高三上•陕西汉中•阶段练习)函数f(x)="X2-2X-8的单调递增区间是.

【答案】。+8)/[1,+8)

【分析】由复合函数单调性进行求解.

【详解】因为y=在R上单调递增，故y=/一2%-8的单调递增区间即为/(%)=的单调递增

区间，

y=/_2刀-8的对称轴为x=-£=1,故(1,+8)或[1,+8)为y=%2-2%-8的单调递增区间，

故/(%)="/-2>8的单调递增区间为(1,+8)或口+8).

故答案为：(1,+8)

3.(2023•海南海口•二模)已知偶函数y=/0+1)在区间[0,+8)上单调递减，则函数y=/(x—1)的单

调增区间是.

【答案】(—8,2]

【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.

【详解】因为偶函数y=f(x+1)在区间[0,+8)上单调递减，

所以y=f(x+1)在区间(-8,o]上单调递增，

又因为/O-1)=/((%-2)+1),则函数/(x-1)的图象是由函数/(X+1)的图象向右平移2个单位长度得

到，

所以函数f(x-l)的单调增区间是(-8,2].

故答案为：(-8,2].

【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系.

4.(22-23高三上•北京•阶段练习)能够说明“若g(x)在R上是增函数，则xg(尤)在R上也是增函数”是假

命题的一个g(x)的解析式g(x)=.

【答案】x(答案不唯一，符合题意即可)

【分析】根据单调性的概念分析理解.

【详解】例如：g(x)=%在R上是增函数，则%g(x)=%2在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以

在R上不是增函数

故答案为：x(答案不唯一，符合题意即可).

5.(23-24高三上•海南储州•阶段练习)若/。)=3―1为奇函数，则g(x)=ln[(x-3)(x-a)]的单调

递减区间是.

【答案】(-8,2)

【分析】由奇函数得/(0)=0,解出a值，再由复合函数单调性可得减区间.

【详解】由/'(x)=-xeR为奇函数，

ex+l

则f(0)=]-1=。，解得a=2，

当a=2时，/0)=岛-1=贰

则f(r)=M=lS=—满足题意・

当a=2时，g(x)=ln[(x-3)(%—2)],

由(x-3)(x-2)>0解得％<2,或x>3,

令t=(x-3)(%—2),

当x<2时，t=(x-3)(久一2)单调递减，y=lnt单调递增，

则g(x)=ln[(x-3)(x-2)]单调递减;

当%>3时，t=(%-3)(x—2)单调递增，y=lnt单调递增，

则g(x)=ln[(x-3)(x-2)]单调递增；

则g(X)的单调递减区间是(-8,2).

故答案为：(-oo,2).

6.(22-23高三上•上海杨浦•阶段练习)若函数y=f(x)在区间/上是严格增函数，而函数y=号在区间/上

是严格减函数，那么称函数y=f(久)是区间/上的“缓增函数”，区间/叫做“缓增区间”.已知函数

是区间/上的“缓增函数”，若定义6-a为[a,b]的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”/的

区间长度最大值为.

【答案】V3-1

【分析】分别求出函数/(x)的单增区间，再求出度号的单减区间，即可求出函数/(x)的“缓增区间”，进

而求出“缓增区间”/的区间长度最大值.

【详解】二次函数/(£)=卜2一正的单增区间是[1,+oo).

而、=竽4+/T.

由对勾函数的性质可知：尸号=楙+2-1的单减区间为卜禽,0),(0,V3].

所以[1,网及其非空真子集均为函数/(%)=评-x+|的“缓增区间”，其中区间[1,网的长度最长，为g7

所以满足条件的''缓增区间”/的区间长度最大值为通-L

故答案为：V3-1.

考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)设函数f(x)=2工(”。)在区间(0,1)上单调递减，贝b的取值范围是()

A.(—8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2久在R上单调递增，而函数“X)=2》(x-a)在区间(0,1)上单调递减，

则有函数、=双久一。)=(久一三)2-竽在区间(0,1)上单调递减，因此三1,解得a22,

所以a的取值范围是[2,+oo).

故选：D

x

2.(2024•湖北•二模)已知函数f(%)=log5(a-2)在[1,+8)上单调递增,则a的取值范围是(

A.(l,+oo)B.[In2,+8)C.(2,+8)D.[2,+8)

【答案】C

【分析】先由题设条件证明。>2,再验证a>2时条件满足即可.

【详解】若f(x)=logs(a%-2)在[1,+8)上单调递增，

则必然在％=1处有定义，所以小一2>0,即a>2；

若Q>2,则当尤之1时Q*-22a—2>0,所以/(%)在[L+8)上有定义，

再由a>1知a%-2在R上单调递增，所以/(%)在[1,+8)上单调递增.

故选：C.

1.(2024•广东揭阳•二模)已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围为(

A.(2,6)B.(―oo,2]U[6,4-00)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.

【详解】函数/(%)=—/+〃+1的图象对称轴为％=会依题意，2<]<6,得4<"12,

所以a的取值范围为(4,12).

故选：C

2.(2024•吉林•二模)若函数/(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是

【答案】[，0)

【分析】利用复合函数的单调性可得9(%)=。久+1在(1,2)上单调递减且恒大于0,可得>⑶_葭?1>n

计算可求实数a的取值范围.

【详解】函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减,

由函数y=Inx在定义域内单调递增，

所以函数g(x)=a尤+1在(1,2)上单调递减且恒大于0,

贝第｛g(2)="2：：iN0,解得后Wa<°・

故实数a的取值范围是[-，0).

3.(2024•全国,模拟预测)命题p:0<a<1,命题q：函数/(久)=loga(6-ax)(a>0,a黄1)在(一8,3)上

单调，贝Up是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由命题q求出a的取值范围，再判断充分性和必要性即可.

【详解】设t=6-ax,则/(x)=loga(6-ax)(a>0,a1)可化为y=logat.

充分性：当0<a<l时，函数y=log/在(一8,3)上单调递减，t=6-ax在(一8,3)上单调递减，且t>0,

所以f(x)=loga(6-ax)(a>0,a不1)在(-~3)上单调递增，因此充分性成立.

必要性：当0<a<l时，y=loga在(-8,3)上单调递减，t=6-ax在(-8,3)上单调递减，且t>0,所

以f(x)=loga(6-ax)(a>0,a71)在(-8,3)上单调递增;

当a〉1时，y=log/在(—8,3)上单调递增，t=6—ax在(—8,3)上单调递减，且t=6—ax>0在(―8,3)

上恒成立，所以6-3a2。，则1<aS2,此时函数/(x)=loga(6-ax)(a>0,a力1)在(一8,3)上单调递

减.

综上可知，当函数/'(x)=loga(6-ax)(a>0,a71)在(-8,3)上单调时，0<a<l或l<aW2,因此必

要性不成立.所以p是q的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，

体会函数思想、分类讨论思想的应用.先考虑充分性，再考虑命题q为真命题时，参数a的取值范围，对参

数a进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点.

考点四、函数的奇偶性

典例引领

1.(2024•天津•高考真题)下列函数是偶函数的是(

sinx+4x

【答案】B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设=函数定义域为R,但/■(—1)=匕F，则/(—1)力”1)，故A错

误；

对B,设g(%)=W^,函数定义域为R,

xz+l

且9(-行=竺曷亲立=笺等=9(久)，则。(久)为偶函数，故B正确；

对C,设函数定义域为{x|xK-1},不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误；

对D,设0(x)=艺受，函数定义域为R,因为9(1)=_,s(_i)=弋二，

则W(1)#W(-1),则0(x)不是偶函数,故D错误.

故选：B.

2.(2020•全国•高考真题)设函数f(x)=%3-则/(久)()

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为｛久比70｝,利用定义可得出函数f(x)为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数f(x)=x3—专定义域为｛小力。｝,其关于原点对称，而〃—x)=-/(>),

所以函数/(%)为奇函数.

又因为函数y=/在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递增，

而y=点=在(0,+8)上单调递减，在(-co,0)上单调递减，

所以函数f(x)=/—点在电+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

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1.(2020•全国•高考真题)设函数/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—l|,则f(x)()

A.是偶函数，且在G，+8)单调递增B.是奇函数，且在(-3与单调递减

C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义可判断出久支)为奇函数，排除AC；当ft)时，利用函数单调性的性质可

判断出f(x)单调递增，排除B；当xe(-%-m时，利用复合函数单调性可判断出f(x)单调递减，从而得到

结果.

【详解】由/■(»=ln|2x+1|-ln|2x-1|得/(%)定义域为｛x|x4±m，关于坐标原点对称，

又f(―%)=ln|l-2%|—ln|-2%-1|=ln|2x-1|—ln|2x+1|=—/(%),

・・・/(%)为定义域上的奇函数，可排除AC；

当久E(―时，/(%)=ln(2x4-1)—ln(l—2%),

•••y=ln(2x+1)在(一^彳)上单调递增，y=ln(l-2式)在(一|片)上单调递减，

f(x)在(-3|)上单调递增，排除B；

当尤6—时，/(x)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=足普=In(1+总)，

•••M=1+^^在(一8,-1)上单调递减，/(〃)=In〃在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在(-8,-9上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根

据f(-x)与/(%)的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质

和复合函数“同增异减”性得到结论.

2.(2024•北京•三模)下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.7'(工)=后B./(x)=s,in|x|

C./(%)—2X+2TD./(x)=tanx

【答案】C

【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】=，则/(X)为偶函数，但在区间(0,+8)上单调递减，

I%

故A错误；

/(%)=sin|%|=仍心久)，笈0为偶函数，但在区间(0,+8)上不具有单调性，

故B错误；

f(x)=2X+2T的定义域为R,且/'(一万)=2T+2X=/(x),

则/'(x)为偶函数，令t=2*,当xe(0,+8)时，则te(l,+8),

则丫=£+:/>1,由对勾函数的性质可知，y=t+(在(1,+8)单调递增，

所以fO)=2工+2f在区间(0,+8)上单调递增，故c正确；

/(%)=tan工为奇函数，故D错误；

故选：C

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)函数/(%)=ln(e'+1)-^()

A.是偶函数，且在区间(0,+8)上单调递增B.是偶函数，且在区间(0,+8)上单调递独

C.是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增D.既不是奇函数，也不是偶函数

【答案】A

【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.

【详解】：/(x)的定义域为R，/(-x)=ln(e-x+1)+|=ln(ex+1)-%4-1=ln(ex+1)-1=/(%),

・•.f(x)为偶函数；

当x>0时，/0)=£—：=靠高>0,.-./(x)在区间(0,+8)上单调递增.

故选：A.

4.(2024•北京朝阳•二模)下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()

A.f(%)=sinxB.f(%)=cosx

C./(x)=VxD./(x)=x3

【答案】D

【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.

【详解】/(x)=sinx是奇函数，它在区间[-]+2/OT(+eZ上单调递增，在定义域内不是增函数,

所以选项A是错误的；

f(%)=cosx是偶函数，所以选项B是错误的；

f(x)=々既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；

/(X)=产满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；

故选：D.

考点五、利用函数奇偶性求参数

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)已知"X)=嚏二是偶函数，贝必=()

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/(%)=需为偶函数，则/(》)—/(—W=奈—辛=把=2=0,

axJaxaxax

」e-l'e-le-le-l

又因为％不恒为0,可得e%—e(aT)%=0,即e%=e(aT)%,

则久=(a—l)x,即1=a—1,解得a=2.

故选：D.

2.(2023•全国・高考真题)若f(%)=(x+a)ln器为偶函数，则a=().

1

A.一1B.0C,-D.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.

【详解】因为/(%)为偶函数，贝U/(l)=/(—1),(l+a)ln|=(-l+a)In3,解得a=0,

当a=0时，/(%)=(2%—1)(2%+1)>0»解得或％<-£

则其定义域为｛小>1或x<-#关于原点对称.

f(一行=(一%)ln|g^=(一切足署=(-%)ln(1^)^==/(%)«

故此时/■(%)为偶函数.

故选：B.

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■一

1.(2024•黑龙江•三模)已知函数f(x)=(ex+e-%)sinx-2在［—2,2］上的最大值和最小值分别为M,N,

则“+N=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=f(x)+2,证明g(x)为奇函数，从而得到M+2+N+2=0,即可求出M+N的

值.

【详解】令g(x)=/(x)+2=(e*+e-x)sinx,定义域为R,

因为“x)在［-2,2］上的最大值和最小值分别为M,N,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分别为M+2,N+2,

因为g(—%)=(e-x+ex)sin(—%)=—(e-x+ex)sinx=—g(x),

所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，

所以g(x)的最大值和最小值互为相反数，即M+2+N+2=0,

所以M+N=-4,

故选：A.

2.(23-24高三上•安徽安庆•阶段练习)己知函数/(无)=茨+3在区间［-2023,2023］上的最大值为”,

最小值为6，则M+m=.

【答案】6

【分析】设g(x)=总，分析可知g(x)为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.

【详解】设9(久)=总，

则g(x)的定义域为R,且连续不断，

0,

由g(x)+g(-x)=&+,然+7=可知gO)为奇函数，

设gO)在［-2023,2023］上的最大值为9(殉)，

由奇函数的对称性可知g(x)在［-2023,2023］上的最小值为9(-3=-9(尤o)，

则函数fO)=g(x)+3在区间［-2023,2023］上的最大值为M=gg)+3,最小值为m=-gg)+3,

所以M+m=。(而)+3-g(x())+3=6.

故答案为：6.

3.(23-24高三上•福建莆田•期中)函数/(x)=(x2-6x)sin(x-3)+x+a(xe［0,6］)的最大值为M,最

小值为m，若M+m=10,则a=.

【答案】2

【分析】

将函数解析式化为/(%)=[(%-3)2-9]sin(x-3)+%-3+。+3,设久-3=tG[-3,3]，则/(%)=g(t)=

(t2-9)sint+t+a+3,记/i(t)=(产-9)sint+；tE则h(t)为奇函数，根据奇函数的性质及M+

m=10,即可求得。的值.

【详解】因为/(%)=(%2—6x)sin(x—3)+x+a=[(x-3)2—9]sin(x—3)+x—3+a+3,

设％—3=tE[—3,3],

则/(%)=g(t)=(t2—9)sint+t+a+3,

设八(t)=(t2—9)sint+t,te[—3,3]，

则—t)=—(力之—9)sint—t——/i(t)9

所以九④)是[一3,3]上的奇函数，最大值为M—(Q+3),最小值为m—(a+3),

所以M—(a+3)+zu—(a+3)=0,

由M4-m=10,得a=2,

故答案为：2.

4.(2023高三•全国•专题练习)若关于x的函数f(x)=2’婷+§；丫71+"因丰0)的最大值和最小值之和

为4,贝Ut=.

【答案】2

【分析】

根据三角恒等变换和分类常量法可得/(%)=£+黑E=t+g(%),由函数的奇偶性可知g(%)为奇函数，

则g(%)max+g(%)min=进而f(%)max+f(%)min=9(^)max+9(X)min+2t=0,即可求解.

【详解】

当一j4工工弓时，0<2/4i,cos%>0,当久V—产或％>/时，2—>1,

所以/(%)的定义域为R.

2tx2sinx+cosx+x2

▽_+V2t(Y^)_t(2x4-cosx)+(tsinx+x)_心(tsinx+x

/(%)=-----------；---------------=----------；------------=tH；------,

2xz+cosx2xz+cosx2xz+cosx

设9(无)=鼠篝’则9(—%)=盍黑=一9(为，，g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M,最小值为N,

则M+N=0,则/(x)的最大数值为M+t,最小值为N+t,

的最大值与最小值之和为M+N+2t=4,得t=2.

故答案为：2.

5.(2024高三•全国•专题练习)如果奇函数〃久)在[3,7]上是增函数且最小值5,那么/(>)在区间[-7,-3]

上是().

A.增函数且最小值为-5B.减函数且最小值为-5

C.增函数且最大值为-5D.减函数且最大值为-5

【答案】c

【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值.

【详解】因为/(X)是奇函数，所以/(x)在区间［-7,-3］上的单调性与/(久)在［3,7］上的单调性相同，也是增

函数，,0)在［3,7］上的最小值5,即f(3)=5,

所以在区间［—7,-3］上的最大值为/(—3)=-f(3)=-5.

故选：C.

考点六、利用函数奇偶性求解析式

典例引领

1.(23-24高三下•上海•阶段练习)已知函数y=f{x),xeR为奇函数，当x>0时，f(x)=2x3+2X-1,

当X<0时，/(久)的表达式为()

A.2x3+2X-1B.2x3-2-x+l

C.-2x3+2~x-1D.-2x3-2X+1

【答案】B

【分析】根据奇函数定义，结合x20的解析式直接求解即可.

【详解】当x<0时，—x>0,.1./(-%)=-2x3+2T-1,

又/'(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=2x3-2T4-1,

即当x<0时，/(%)=2%3—2T+1.

故选：B.

2.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)/。)为定义在R上的奇函数，当k>。时，f(x)=2*+1,则x<0

时，.

【答案】-2-x-1

【分析】由x<0时，得