人教版七年级数学上册《实际问题与一元一次方程（第5课时）》示范课教学设计

5.3实际问题与一元一次方程（第5课时）教学目标 教学目标1．能从实际问题中找出相等关系，由此列出方程，把实际问题转化为数学问题．2．针对不同的题目类型，能正确进行解答，并将解方程的结果转化为实际问题的答案．教学重点教学重点通过寻找相等关系，将实际问题转化为数学问题．教学难点教学难点由实际问题抽象出数学模型的探究过程．教学过程教学过程新课导入一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，这类问题常与现实生活背景结合，常见类型有“配套问题”“工程问题”“商品销售问题”“比赛积分问题”“分段计费问题”等．解决这类问题的关键是先通过对实际问题进行分析，找出相等关系，再设未知数列方程求解．本节课，主要对这几种类型的题目进行复习巩固，进一步提高同学们分析和解决问题的能力．新知探究类型一、配套问题与工程问题【问题】1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．【答案】解：设用x张白铁皮制盒身，则用(36－x)张制盒底．由题意，得2×25x＝40(36－x)．解方程，得x＝16，36－x＝36－16＝20．答：用16张白铁皮制盒身，20张白铁皮制盒底，可使盒身与盒底正好配套．【问题】2．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，每超过1天罚款1000元，甲、乙两人商量后签订了该合同．（1）正常情况下，甲、乙两人能按期履行该合同吗？为什么？（2）现两人合作完成了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，则调走谁合适？为什么？【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．【答案】解：（1）能按期履行该合同．理由如下：设甲、乙两人合作x天完成，则有x＝1，可得x＝12．因为12＜15，所以两人能按期履行该合同．（2）调走甲合适．理由如下：由（1）知，两人合作完成这项工程的75%需要的时间为12×75%＝9（天）．剩下6天必须由某人单独做完余下的工程，故他的工作效率至少为(1－75%)÷6＝．因为，所以调走甲合适．【归纳】列一元一次方程解决工程问题应注意：（1）要清楚地表达出各个工作者的工作效率．（2）明确各阶段工作效率对应的工作时间．（3）一般有单独工作、合作两种形式，总量一般记为单位“1”．【设计意图】通过解答这两道题目，检验学生对本类型题目的掌握程度，让学生知道列一元一次方程解决工程问题的三个注意点，同时对配套问题进行解后反思，意识到解决配套问题的关键是找到数量关系．类型二、商品销售问题【问题】3．某商场将某种电器的标价按进价提高40%后，进行促销：“大酬宾，八折优惠”，结果每件电器可获利270元，请问这种电器每件的进价是多少元？【师生活动】学生独立解决问题，教师提问．【答案】解：设每件电器的进价是x元，按进价提高40%后的价格是x(1＋40%)元，“大酬宾，八折优惠”，是价格提高后的80%．由题意，得x(1＋40%)×80%－x＝270．解方程，得x＝2250．答：这种电器每件的进价是2250元．【问题】4．某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利2102元，求a的值．【师生活动】教师引导学生分步解答本题，鼓励学生组内讨论，尽量准确地找出等量关系，列出方程．【答案】解：（1）设第一次购进橙子x千克，则第二次购进橙子(600－x)千克．由题意，得1.2×5x＝(5－2)×(600－x)．解方程，得x＝200，所以600－x＝400．答：第一次购进橙子200千克，第二次购进橙子400千克．（2）由题意，得5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)－200×5－400×3＝2102．解方程，得a＝80，即a的值为80．【归纳】类型常用概念相关公式商品销售问题①成本：进价，即进货价格；②标价：商品在出售时标明的价格；③售价：商品在出售时的实际价格；④利润：商品的售价高于成本的钱数；⑤利润率：商品的利润与成本的比值①利润＝售价－成本（进价）＝成本（进价）×利润率；②利润率＝×100%；③售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）；④商品售价（打折后）＝商品标价×【设计意图】这两道题目涉及概念较多，主要让学生回顾商品销售问题中的相关概念，并对所涉及公式进行巩固．类型三、比赛积分问题与行程问题【问题】5．某市今年公务员录用考试是这样统计成绩的：综合成绩＝笔试成绩×60%＋面试成绩×40%．王小明的笔试成绩是82分，他的竞争对手的笔试成绩是86分，王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，则他的面试成绩必须比竞争对手多（）．A．2.4分B．4分C．5分D．6分【师生活动】学生分组解决此问题，以组为单位汇报解答结果．【答案】D【解析】若王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，设他的面试成绩必须比竞争对手多x分，由题意，得82×60%＋40%x＝86×60%，解得x＝6．所以王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，则他的面试成绩必须比竞争对手多6分．故选D．【问题】6．一列火车匀速行驶，经过一条长450m的隧道时，需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5s．根据以上数据，解答问题：（1）求火车的长度；（2）求火车完全在隧道里行驶的时间．【师生活动】教师引导学生设出未知数，学生独立列出方程解答．【答案】解：（1）设火车的长度为xm．由题意，得．解方程，得x＝150．答：火车的长度为150m．（2）因为火车的速度为：＝30（m/s），所以火车完全在隧道里行驶的时间为：＝5（s）．答：火车完全在隧道里行驶的时间是5s．【归纳】相遇问题中等量关系的寻找方法（1）从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用的时间相等．（2）从路程考虑：沿直线运动，两人相向而行，相遇时两人所走的路程之和等于全路程．【设计意图】让学生掌握相遇问题中等量关系的寻找方法，同时由问题7意识到，火车是有长度的，不能单纯地看作一个点．类型四、分段计费问题与方案选择问题【问题】7．为了鼓励节约用水，某市对自来水的收费标准作如下规定：用水量/m30～18（含）18～40（含）40以上费用/（元/m3）2.23.36.6另外：1m3收污水处理费1元．（1）9月，小张家用水10m3，交费_____元；小赵家用水26m3，交费_____元．（2）已知小李家10月份缴水费175元，他家10月份用了多少水？【师生活动】师生合作，解答问题．【答案】解：（1）10×1＋2.2×10＝32（元），2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元）．故答案为：32；92．（2）设小李家10月份用水xm3，由题意，得2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175．解方程，得x＝43．答：小李家10月份用水43m3．【问题】8．小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．（1）现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买240件，第二次购买460件；②一次性购买700件．问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由．（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第二次多于第一次），共付费1860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？【师生活动】教师提问，学生在不借助计算的前提下猜测哪种购买方案更省钱．在猜测的前提下，列方程进行验证．【答案】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下：购买方案①所需费用为：3×240＋2.5×460＝720＋1150＝1870（元）；购买方案②所需费用为：2×700＝1400（元）．因为1870＞1400，1870－1400＝470（元）．所以购买方案②费用较省，省470元．（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700－x）件．①当0＜x＜200时，3x＋2(700－x)＝1860．解方程，得x＝460（不合题意，舍去）；②当200≤x≤300时，3x＋2.5(700－x)＝1860．解方程，得x＝220，所以700－x＝700－220＝480．③当300＜x＜350时，2.5x＋2.5(700－x)＝1750≠1860，该情况不存在．答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．【设计意图】此处设置方案选择题目，让学生认识该种题型，并掌握解答这种题目的方法，知道在解题过程中，一定要把实际问题抽象成一元一次方程，利用解方程获得最终答案．类型五、数字问题和年龄问题【问题】9．若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”．【师生活动】学生设出未知数，列出方程，教师巡视．【答案】由题意，得(2x＋1)＋2x＋x＝16．解方程，得x＝3．所以2x＝6，2x＋1＝7．即这个“倍尾数”是763．答：这个“倍尾数”是763．【问题】10．小明问老师的年龄，老师说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”同学们，你们知道老师今年年龄是多少吗？【师生活动】学生解答完此题后，教师再以自己的年龄举例，让学生求解．【答案】解：设老师今年的年龄为x岁，则小明的年龄为(50－x)岁．根据题意，得x＋5＝2(50－x＋5)＋3．解方程，得x＝36．答：老师今年的年龄为36岁．【归纳】数字问题设未知数的技巧：在数字问题中，一般直接设未知数不易列出方程，可以采用间接设法，即设某个数位上的数字为未知数，并用它表示出其他数位上的数字，求解后再确定要求的具体数字．【设计意图】此处数字问题主要是考查学生设未知数的能力，要求学生能掌握间接设法，即由某一位来表示其余数位；年龄问题更加贴合实际，进一步巩固学生列方程解决问题的能力．类型六、调配问题和图形问题【问题】11．某工厂有甲、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲、乙车间各有多少人．【师生活动】学生列出方程并解答，组内交流纠错．【答案】解：设乙车间原有x人，则甲车间原有(x＋100)人．由题意，得x＋100＋50＝3(x－50)．解方程，得x＝150．故甲车间原有人数为：150＋100＝250．答：乙车间原有150人，甲车间原有250人．【归纳】类型特点等量关系调配问题从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定数量关系甲数＋乙数＝总数；甲调人数＋乙调人数＝总调人数【问题】12．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形的面积．【师生活动】教师引导学生分析图形，找出边长之间的等量关系，列出方程．【答案】解：设小长方形的长为xcm，则宽为(50－x)cm．由题意，得2x＝x＋4(50－x)．解方程，得x＝40，所以50－x＝10．所以一个小长方形的面积为：10×40＝400（cm2）．答：其中一个小长方形的面积为400cm2．类型七、古代数学问题中的一元一次方程【问题】13．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两．问：有几位客人，几两银子？（注：题中斤、两为旧制，1斤＝16两）【师生活动】教师引导学生读题，理解题意，找出等量关系．【答案】解：设有x位客人．由题意，得7x＋4＝9x－8．解方程，得x＝6，7x＋4＝42＋4＝46．答：有6位客人，46两银子．【问题】14．我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问第一天织多少布？【师生活动】学