规律探究与新定义型问题

重难点01规律探究与新定义型问题

目录

重难点题型突破................................................................2

类型一新■式搦律2

题型01记数类规律.........................................................2

题型02乘方类规律.........................................................4

题型03表格类规律.........................................................5

题型04数阵类规律.........................................................7

题型05个位数字规律.......................................................9

题型06新定义运算规律....................................................10

类型一图形协律12

题型01图形固定累加型...................................................12

题型02图形渐变累加型....................................................14

题型03图形个数分区域累加................................................16

题型04图形循环规律.....................................................18

重难点题型突破

类型一数式规律

方法总结：

一、数字规律探索

1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、

正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断

数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用（J）11或（-1产1表示数

字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果.

2）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断

出分子和分母的数字规律（其方法同1））,从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项

的规律.

二、数阵规律探索

此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数

值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：

1）分析数阵中的数字排列方式：①每行的个数；②每列的个数；③相邻数据的变化特点，

并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质（如完全平方数，正整数）等；

2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系；

3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案

三、等式规律探索

1）标序数；

2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数（1,2,3,4,…，n）之间的关系，

把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序

数是否存在倍数或者乘方的关系

3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.

题型01记数类规律

［例1］（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是|、1、畀小著、g.按此规律，

这列数中第100个数是（）

「

AA.—299nB.—299-C.—301D.—303

199201201203

【变式1-1］（2023•山东日照・日照市新营中学校考一模）观察下列各式：的=1,。2=|,。3=

p....它们按一定规律排列，第九个数记为与，且满足则三+一=工，则。2023=____________________

4an+2an+l

【变式1-2］（2022•河北保定・统考模拟预测）有一列数1,久2,7,/，久5，…，X”从第二

个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数.

（1）则％6为____________

(2)若17n=52,则TH=

【变式1・3】（2023六安市模拟）判断下面各式是否成立

3⑶[*=4

⑵Ji82

探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：下好

②用含有〃的代数式将规律表示出来，说明〃的取值范围，并给出证明

【变式1-4］（2023•安徽六安•统考模拟预测）观察下列等式:

第1个等式：1+1+|-|=2

第2个等式：2+三+工一工=9

34122

第3个等式：3+工+工—工=U

56303

第4个等式：4+工+工一工="

78564

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第九个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

【变式1-5］（2023•安徽宣城•校联考一模）先观察下列各式:

VT=1；

V1+3=V4-2；

V1+3+5——V9——3；

Vl+3+5+7=V16=4

⑴计算：Vl+3+5+7+9…；

(2)已知〃为正整数，通过观察并归纳，请写出：J1+3+5+7+9+11+...+(2n—1)=

—;

(3)应用上述结论，请计算+12+20+28+36+44+...+204的值.

题型02乘方类规律

【例2】（2023•四川成都•校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：%、一2/、4婷、一8%4、

16%5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（）

A.-256/B.256/C.-512/D.512/

【变式2-1］（2023•湖北武汉•校考模拟预测）为了求1+2+22+…+22。23的值，可令$=t+

2+22+…+22023,则2s=2+22+23+…+22024,因止匕2S—S=22024—1,所以1+2+

22十…十22023=22024—1,仿照以上推理计算出1+3+32+…+32023的值是（）

【变式2-2］（2022随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一

个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数i,使其满足i2=-1（即X2=-1方程有一个根为

i）,并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于

是有F=i,i2=-1,i3=i2»i=（-1）»i,i4=（i2）2=（-1）2=1,从而对任意正整数n,我们可

得到i4n+y4n.i=Q4）%,同理可得i®2=-1,i4n+3=-j,ij那么，i+i2+i3+i4+..+i2016+i2017

的值为（）

A.0B.1C.-1D.i

【变式2-3］（2022.广西梧州.统考一模）找规律数：0,6,16,30,48,则第n个为

（用含〃的代数式表示）.

【变式2-4】观察等式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=

42,.....猜想1+3+5+7+…+2019=.

题型03表格类规律

解题技巧：

表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开

的规律选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小

来展开，比如在日历的表格当中上下相差7,左右相差一，那么将中心的数字看作是字母a,

则左边为a-1,右边为a+1,上边为a-7,下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思

路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以

类比进行推论.

【例3】（2020.山西临汾.校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的

规律，如图是2019年1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分

中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9x11-3x17=48,

13x15-7x21=48.不难发现，结果都是48.

2019年1月

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12..45

一・十、、、

6...、一891011'.12

,131415'；16'、17-1819

20厂.21.*'2212242526

2728293031

（1）请证明发现的规律；

（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435,求出这

5个数的最大数；

（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120.直

接判断他的说法是否正确.（不必叙述理由）

【变式3-1】观察表格，回答问题:

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

（1）表格中支-,y-；

（2）从表格中探究a与6数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题:

①已知g〜3.16,则VT两〜:

②已知A/加=8.973,若乃=897.3,用含机的代数式表示。，则匕=

（3）试比较遍与a的大小.

当________时，y/a>a；当________时，4a—a-,当________时，yja<a.

【变式3-2］（2021宿州市一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.

第1个图第2个图第3个图第4个图第〃个图

根据此规律，回答下列问题：

（1）第5个图中4个数的和为.

（2）a=；c—.

（3）根据此规律，第n个正方形中，d=2564,则n的值为

【变式3-3］（2023•河北保定•统考一模）观察：

序号①②③④⑤⑥⑦

数2°212223242526

个位上数字12486mn

思考：（1）上面表格中机、〃的值分别是多少？

探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？

延伸：（3）22。23的个位数字是多少？

拓展：（4）用含左的代数式表示个位上的数字是6的数的序号.（左为正整数）

题型04数阵类规律

[例4](2023・福建厦门•厦门双十中学校考三模)将一组数遮，2,V6,2凡…,4企,...按

下列方式进行排列：

V2,2,V6,2V2；

V10,2V3,V14,4；

若2的位置记为(1,2),E的位置记为(2,3),则2郁的位置记为.

【变式4-1](2022.陕西西安•校考模拟预测)观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么

第5行从左边数第6个数是.

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

【变式4-2](2023・山东聊城・统考二模)将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对8m)

表示第〃排，从左到右第根个数，如(4,2)表示9,则表示123的有序数对是.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987...第四排

【变式4-3](2021.山东济宁.统考一模)将1,V2,V3,乃按如图方式排列，若规定Gn,〃)

表示第机排从左向右第〃个数，则(6,3)与(2000,4)表示的两数之积是.

1第1排

72后第2排

761也第3排

招而1扬第4排

招«1我在第5排

【变式4-4](2022鄂尔多斯市二模)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨

辉三角”(如图所示)就是一例.

1

11................(o+dV

\z

2

1\z2\z1................(a+b}

1331................(a+bV

这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和.事实上，

这个三角形给出了(a+匕尸(ri为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规

律.例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1,恰好对应(0+5)2=£12+2帖+62展开式中

各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1,恰好对应着(a+6)3=a3+302匕+3劭2+匕3展

开式中各项的系数等等.根据上面的规律，(a+5)4的展开式中各项系数最大的数为；

式子75+5x74x(-5)+10x73x(-5)2+10x72x(-5)3+5x7x(-5)4+(一5户的值

为.

【变式4-4](2021.湖北随州.统考一模)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们

称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性.从图中取一斜列数：1,3,6,10,15,...»我们

把第一个数记为电，第二个数记为。2,第三个数记为。3,…，第九个数记为斯.熹+己+2+,“

【变式4-5](2021合肥市一模)如图1,观察数表，如何计算数表中所有数的和？

方法1：如图1,先求每行数的和：

第1彳丁1+2+3+…+几=(1+2+3+...+n)

第2行2+4+6+…+2Tl=2(1+2+3+…+?1)

第n行n+2n+3n+—I-n2=n(l+2+3H---1-n)

故表中所有数的和：(1+2+3+…+71)+2(1+2+3+…+TL)+…+n(l+2+3+…+

n)=;

第1行1234…〃

第2行2468…2〃

第3行36912…3〃

第4行4812164n

第〃行n2n3〃4〃■■■rr

图1

方法2：如图2.依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和:

第1组1=停

第2组2+4+2=23

第3组3+6+9+6+3=33

第律组n+2m+—I-n2+—2n+n

用这72组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：,

综合上面两种方法所得的结果可得等式：；

利用上面得到的规律计算：13+23+33+.••+203.

第〃行n2〃3〃4〃---“2

图1

题型05个位数字规律

[例5]（2023・湖南岳阳•统考一模）观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,

74=2401,75=16807,…，根据其中的规律可得70+71+7?+…+72。22+72023的结果的

个位数字是.

【变式5-1］（2022.山东聊城.统考二模）计算3】，32,33,34,35,36,并观察这些累的个位

数字，根据你发现的规律，判断32。22的个位数字跟（）的个位数字相同.

A.31B.32C.33D.34

【变式5-2］计算：2］一1=1,22-1=3,23-1=7,2,一1=15,-1=31,…归纳各计算

结果中的个位数字规律，猜测22。21—1的个位数字是（）

A.1B.3C.7D.5

【变式5-3】发现：4=4,42=16,43=64,44=256,45=1024,46=4096,47=16384,48

=65536

（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；

（2）依据（1）中的规律，通过计算判断3x（4+1）（42+1）（44+1）...（432+1）+1的结果的

个位数字是多少，

题型06新定义运算规律

解题技巧：

新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出

的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，

以及对数字的敏感程度.

【例6】（2020•河南•统考中考真题）定义运算：m»n-mn2-mn-1.例如:4x2-4x22-

4x2-1=7.则方程1x%=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【变式6-1］（2023•辽宁朝阳•校联考三模）我们知道，一元二次方程/=—1没有实数根，即

不存在一个实数的平方等于-L如果我们规定一个新数“『'使它满足评=-1（即/=—1有一

个根为D,并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算

法则仍然成立.于是有：Q=3产=—1,户=产.j=t,产=（产）2=1……那么/023=

【变式6・2】(2022.浙江宁波.统考中考真题)定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,

a0b=-+^-.若(比+1)0%=主口，则x的值为___________.

abx

【变式6-3](2022.湖南张家界.张家界市民族中学校考一模)定义：如果一个数的平方等于-1,

记为产=-1,这个数，叫做虚数单位，把形如a+仇(a,b为实数)的数叫做复数，其中a

叫这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法

运算类似.例如，计算：(3-i)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)1=8+21；(1+t)X(3-i)=

1x3-i+3xi-i2=3+(-1+3)i+1=4+2i.根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：4,j4=.

(2)计算:(2+i)x(3—42)；

(3)计算：2+m+/+产+—+'2022.

【变式6-4](2023石家庄二模)对于任意一个四位数，我们可以记为abed,即

abcd-1000a+100b+10c+d.若规定：对四位正整数abed进行R运算，得到整数F(abcd)=

a4+b3+^+^.例如，F(1249)=I4+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+

01=20.

(1)计算：F(2137)；

(2)当°=9+2时，证明：F(abcd)-F(abed)的结果一定是4的倍数；

(3)求出满足F(324/)=98的所有四位数.

类型二图形规律

方法总结：

解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图

形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而

推出一般性的结论.

题型01图形固定累加型

解题技巧：

对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前

一个图形的基础上累加的所求图形的个数b（即固定累加图形个数），再根据固定累加的图形规

律推导出与序数n有关的关系式为a+b（n-l）.

【例1】（2022.重庆.统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中

有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有

17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊…

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

①②③@

A.32B.34C.37D.41

【变式1-1］（2022.重庆.统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案

中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下

去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）

◊行W…

①②③

A.15B.13C.11D.9

【变式1-2］（2022.江西.统考中考真题）将字母“C”，"/T按照如图所示的规律摆放，依次下

去，则第4个图形中字母"/T的个数是（）

HHHHHH

IIIIII

CCCC

H-HH-C-C-HH---H

IIIIII

HHHHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【变式1-3]（2023•山西忻州•校联考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同

的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个正三角形和4个正方形，第（2）个图

案有10个正三角形和8个正方形，第（3）个图案有16个正三角形和12个正方形，…，依

此规律，第（〃）个图案中正三角形和正方形的总个数为个.（用含〃的代数式

表示）.

【变式1-4]（2022.湖南怀化.校考二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第九个图案中

的“2^”的个数是（用含〃的代数式表示）

第1个第2个第3个第4个

【变式1-5]（2023•山东济南•统考二模）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用x表示餐

桌的张数，y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式

【变式1-6]（2022.安徽•校联考模拟预测）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中

的规律.

D一4x0=4xl-3；

（2），：-；-»4xl+l=4x2-3；

③“-^4x24-1=4x3-3；

J，、、

（4）%一,、,-J—»；

（1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

（2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式，并证明.

题型02图形渐变累加型

解题技巧：

对于个数不固定，

1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的

规律总结推导出关系式即可.

2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，在比较后一个图形和前一个图

形通过作差（商）来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平

方加1、平方减1等关系，从而总结规律推导出关系式.

【例2】（2023•重庆江北•校考一模）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成

的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个

数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（）

□□□□□□□

□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□

A.100B.99C.98D.80

【变式2-1］（2022下•安徽合肥•八年级校考期末）我们用全等的正六边形拼成如下图形，按

此规律则第10个图形中有小正六边形（）个.

O

图1图3-

A.270C.272D.273

【变式2-2］（2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校联考二模）小明如图叠放了一些星星，第1

个图形有4颗星星，第2个图形有8颗星星，第3个图形有14颗星星，请问第9个图形的星

星颗数为（）

★★

n★★★★★★★

**★★★★★★★

★★★★

A.92B.88C.76D.64

【变式2-3］（2022.辽宁大连.统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是

一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规

律，若第九个图形比第（〃-1）个图形多用了72个小正方形，则”的值是.

【变式2-4］如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为〃时，所需小木棒的根

数为_______________

四层

【变式2-5］（2023•广东•统考二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第

1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4

个图形中一共有22个圆.....按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个,

题型03图形个数分区域累加

解题技巧：

首先应观察图形区分图形累加的各部分，分别求出各部分累加规律，再将各部分关系式相

加,得到第n项（某项）图形的数量与序数关系式.

【例3】（2022揭阳市一模）将一些相同的“。”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”

中的“。”的个数，则第16个“龟图”中有个

O

0OO

OOooooo

ooOOOOO

oo

OooOOo

OOo

OOOO

OOO

OOoO

第1个第2个第3个第4个

【变式3-1】某班举行拼汉字比赛，小梅用•排列成数字“上"，图①共用10个•，图②共用13

个•，图③共用16个・，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用•的个数是（）

•••

•••

•••••••••…

①②③

A.22B.25C.28D.32

【变式3-2］（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一

定规律组成的，其中第①个图形中共有5个十,第②个图形中共有8个支,第③个图形中共有

11个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（）

★★★

★★★★★

★★★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

①②③④

A.18个B.20个C.22个D.24个

【变式3-3］（2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考一模）如图，每个图形都由同样大小的“△”按照

一定的规律组成，其中第1个图形有5个“△”，第2个图形有10个“△”，第3个图形有15

个“则第8个图形中“△”的个数为（）

△

△△

△△

△△△△

△△△△△△△△•••

△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△

△△△△△△△△△△△△

①②③

④

A.40B.42C.44D.46

【变式3-4］（2022.安徽芜湖.统考二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种

花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花.图1中盆景数量为2,盆花数量为2；

图2中盆景数量为4,盆花数量为6；图3中盆景数量为6,盆花数量为12……

图1图2图3图4图5

按照以上规律，解决下列问题：

（1）图6中盆景数量为,盆花数量为；

（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中

盆景和盆花的数量；

（3）若有〃（〃为偶数，且nA2）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花

的数量为.（用含〃的代数式表示）

题型04图形循环规律

解题技巧：

①先找出一个周期的图形个数n:

②N（第N个）+n=b.......m（0Wm<n）;

③第N个图形是一个周期中第m次变化后的图形

【例4】如图，一串有趣的图案按一定规律排列.请仔细观察，按此规律画出的第10个图案

是;在前16个图案中“合”有个.

【变式4-1］（2020.湖南常德.统考一模）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺

时针方向旋转90。得到，第2020个图案中箭头的指向是（）

A.上方B.左方C.下方D.右方

【变式4-2］（2021.山东济宁.统考一模）如图，矩形A3CD中A3是3cm,3c是2cm,一个

边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB^BC^CD^DA^AB连续地翻转，那么这个

小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（）

【变式4-3】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板A3C在数轴上的位置

如图所示，点A.B对应的数分别为2和1,若^ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，

翻转第1次后，点C所对应的数为0,则翻转2023次后，点C所对应的数是（）

C

-5-4-3-2-1012345

A.-2021B.-2022C.-2023D.-2024

真题实战练

1.（2023・山东•中考真题）已知一列均不为1的数a2,。3，…，斯满足如下关系：a2=

詈=誉|，°4=詈|，…，％1+1=詈：若的=2,则。2023的值是（）

11

A.—2B.3-C.-3D.2

2.（2023・四川绵阳•中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆

成以下图形，第1幅图形中“•”的个数为的,第2幅图形中“•”的个数为a2,第3幅图形中“0

的个数为由，…,以此类推，那么工+2++^-的值为（）

。2。3。19

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

A20-61-589—431

一一

A.—21B.—84C.840D.760

3.（2022.湖北鄂州.中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立

数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就

用数学模型2〃来表示.即：21=2,22=4,23=8,2』16,25=32,……，请你推算型022

的个位数字是（）

A.8B.6C.4D.2

4.（2023・重庆・中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了

9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木

棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）

9CDoOCCO

①②③④

A.39B.44C.49D.54

5.（2023•重庆・中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，

第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有H个圆圈，…，按此

规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）

oooooo

OOOOOOOOOOOOOO...

oooooo

⑴(2)(3)(4)

A.14B.20C.23D.26

6.(2023・山东聊城•中考真题)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3

开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；

(21,26)；(31,37)…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发

现其中的规律.请写出第〃个数对：.

•••37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

7.(2023・湖北恩施•中考真题)观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：

-2,4,-8,16,-32,64,.......①

0,7,-4,21,—26,71,……②

根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为;取每行数的第2023个数,

则这两个数的和为..

8.(2023•黑龙江大庆•中考真题)1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》

中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.

1

11(a+by=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+£))3=a3+3a2/)+3ab2+b3

14641(a+by=a4+4a2b2+6a2b2+4ab3+b4

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+5)7展开的多项式中各项系数之

和为.

9.(2023•四川・中考真题)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，

用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第

八行从左到右第三个数为.

第

行

一

第

行

二

第

行

三

第行

四

第

行

五

第

行

六

10.（2023•西藏•中考真题）按一定规律排列的单项式：5a,8a2,Ila3,14a4,....则按此

规律排列的第〃个单项式为.（用含有〃的代数式表示）

11.（2023•黑龙江绥化•中考真题）在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,

2+99=101……，从而得到1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解决下

面问题.图（1）有1个三角形，记作出=1;分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有

5个三角形，记作。2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）,有9个

三角形，记作=9;按此方法继续下去，则的+<22+。3+.....+册=.（结果用含

12.（2022.四川遂宁.中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后

的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，

按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为.

13.（2022.青海・中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第九个图中

共有木料根.

C)(1)')

第1个第2个

14.（2022.湖北十堰.中考真题）如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的

圆的直径为1cm,按这种连接方式，50节链条总长度为cm.

15.（2022.山东聊城.中考真题）如图，线段ZB=2,以A3为直径画半圆，圆心为以为

直径画半圆①；取的中点&,以为直径画半圆②；取的中点^3，以&24为直径

画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为

16.（2023•浙江嘉兴•中考真题）观察下面的等式：32—12=8x1,52—32=8x2,72—52=

8X3,92-72=8X4,…

（1）写出192-"2的结果.

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含〃的等式表示，〃为正整数）

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的

17.（2022.安徽.中考真题）观察以下等式:

第1个等式：(2X1+I)2=(2x2+I)2-(2X2)2,

第2个等式:(2X2+I)2=(3X4+I)2-(3X4)2,

第3个等式：(2x3+1尸=(4x6+1尸—(4x6)2,

第4个等式：(2x4+1)2=(5x8+1)2-(5x8)2，

按照以上规律.解决下列问题：

⑴写出第5个等式：.；

⑵写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

18.（2023•安徽•中考真题）【观察思考】

◎

◎

◎◎**◎

◎◎*◎◎**◎©***©

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含n的式子填空：

（1）第律个图案中“◎”的个数为二

⑵第1个图案中“★”的个数可表示为手，第2个图案中“★”的个数可表示为管，第3个图案中

“★，，的个数可表示为詈，第4个图案中“★”的个数可表示为詈，……，第律个图案中“★”的个

数可表示为..

【规律应用】

(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3+

…+n等于第律个图案中“◎”的个数的2倍.

重难点01规律探究与新定义型问题

答案解析

重难点题型突破

类型一数式规律

题型01记数类规律

［例1］（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是|、1、枭昔、著、卷…按此规律,

这列数中第100个数是（）

A299°299―301门303

A.—B.—C.—D.—

199201201203

【答案】B

【分析】观察发现，是不变的，变的是数字，不难发现数字的规律，代入具体的数就可求解.

【详解】解：由|、1、今3、=、……可得第n个数为安.

37911132n+l

Vn=100,

•••第100个数为：券

故选B.

【点睛】本题考查学生的观察和推理能力，通过观察发现数字之间的联系，找出一般的规律,

解决具体的问题；关键是找出一般的规律.

【变式1-1］（2023•山东日照・日照市新营中学校考一模）观察下列各式：的=1,。2=|，。3=

它们按一定规律排列，第n个数记为品，且满足则上+上=—,则。2023=

4an+2an+l

【答案】施

【分析】由题意可得与=而5汨，即可求解.

【详解】解：由题意可得：的=1,a2-=%

112

-

-^--

*的

+

1125

--=即8

2^『-

-2

*一

54

+=-

2

*-_

11,

+

±

12

---

^

«3«4

11

-+1

1-

-

4as

同理可求@6二三

222_222

Aa

l=々。2=g，◎37@4二五，Q5—14,念=一17

2

CLfi~~~~,

713(n-l)+2

22_2

。2023=3(2023-1)+26068—3034’

故答案为：意

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.

【变式1-2］（2022•河北保定•统考模拟预测）有一列数1