广东省佛山市2024-2025学年高二年级上册阶段测试一（10月） 数学试题（含答案）

2024-2025学年度第一学期高二年级数学科

阶段测试一（概率+空间向量与立体几何）考试题

（全卷共4页，供全级使用）成绩：

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交

于一点；③实数a,b都不为0,但/+〃=°；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中

为随机事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.

抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；

三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；

实数°,6都不为0,则③是不可能事件；

某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，

所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.

故选:A

2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为

偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【解析】

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

由题可知，事件1可表示为：底{I*},事件2可表示为：8={2,4,6},

事件3可表示为：H§⑹，事件4可表示为：八{L2},

因为/00={5},所以事件1与事件3不互斥，人错误；

因为Zc8为不可能事件，4U8为必然事件,

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为'0。={4,6},所以事件2与事件3不互斥，c错误;

因为CCD为不可能事件，CD。不为必然事件,

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误;

故选：B.

3.已知空间向量0=（1'。2）,l=（1，-2,1）,则向量3在向量入的投影向量是（）

B.(I/)

C（6，6,3）D.lU)

【答案】C

【解析】

【分析】本题运用投影向量的定义即可解题.

因为5=0,T2），2,1）,

贝/石=1x1+（—1）x（—2）+2x1=5

同=Jl+1+4=V6

b-aa5_55

-------X—CL—•I

故向量B在向量G上的投影向量是同H61663

故选：C.

4.如图，甲站在水库底面上的点。处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角

为120°,测得从。，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为'=30m,CB=40m,若

C.90mD90Gm

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的运算得到=++然后利用平方法即可求出答案.

由于反=刀+方+前，

所以|就『=(次+方+而)2=|方『+|^|2+|5C|2+2——+——+

=302+(20扬2+4()2+2*(o+0+30X40XCOS60。)=4900

|DC|=70

所以II，故甲，乙两人相距70m.

故选：A.

5.已知向量方=(一1，3,_2)石=(2,_1,3)?=(4,3即),若伊，反丹不能构成空间的一个基底，则实数比

的值为().

37

A.-1。B.0C.5D,7

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到存在使得，=布+〃*，从而得到方程组，得到答案.

因为伍3]｝不能构成空间的一个基底，

所以3=(-1,3,-2),B=(2,—1,3),己=(4,3,加)共面,

故存在使得D+力，

即〃一1,3,-2)+〃(2,-1,3)=(4,3,掰)，

—A+2〃=44=2

<3/1—〃=3*〃二3

、一22+3〃=加，解得m=5

故

故选：C

6.已知一个古典概型的样本空间。和事件/,B,满足“(),(),()1

〃('U8)=8,则下列说法正确的是()

A.事件工与事件8互斥B.叫

尸（4ff）〉尸G5）

C.D.事件/与事件3相互独立

【答案】D

【解析】

P（A\=-,P（B}=-P（^5）=-

【分析】利用古典概型计算公式可得23,利用概率的加法公式可得6,再由

互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由尸（”）+尸（⑹=尸⑷可知c错误，利用事件独立性定

义可判断D正确.

/、1[0

P（^）="7oA=?P（B）=—P（A＜JB）=-

易知〃（。）2,同理可得3,3.

2111

由尸（入8）=尸⑷+尸⑻—尸（O可得-尸（”），即尸（0=%,

P（AB）=-^0

对于A,因为6,所以事件/与事件8不互斥，可得A错误；

尸伊）二1—尸（3）二—

对于B,显然''3,即B错误；

对于c,由尸（硝+尸画）=尸⑷可得＜+尸（吨4,即尸（@4

所以尸（向＜尸豳），即C错误；

P（A）P（B）=-x-=P（AB）=-

对于D,易知236,满足独立性定义，即D正确.

故选：D

7.尸是被长为1的正方体48co—4班沦的底面上一点，则尸N•尸G的取值范围是（）

r_iolLiolri_i

A,'4」B.L2,JC,L4,JD.112」

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点尸的坐标为卜/"）,用坐标运算计算出

PAPC\,配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围.

如图，以点D为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),G(°，l，l),设0o<x<l,0<y<l；z=l,

:.PA=(l-x,-y,-l)PQ=(-x,l-y,0)

，，

..PAPC=-x(l-x)-y(l-y)=x2-x+y2-y=

l2

当"'5时，尸小尸G取得最小值2,

当x=0或1,>=°或1时，尸取得最大值0,

所以尸的取值范围是L2

故选：B.

8.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6,若乙先着子，则乙胜的概率为0.5,若采取三局

两胜制(无平局情况)，第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，

则最终甲胜的概率为()

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

【答案】D

【解析】

【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先

着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.

由题意知，

—x0.6x0.5+—x0.5x0.5=0.275

一二局甲胜的概率为：22,

—x0.6x0,5x0.6+—x0.5x0.5x0.6=0.165

一三局甲胜的概率为：22

—x0.4x0,6x0.5+—x0.5x0,6x0.5=0.135

二三局甲胜的概率为：22,

因此最终甲胜的概率为0・275+0.165+0.135=0.575,

故选：D.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下命题正确的是（）

A,两个不同平面a,6的法向量分别为〃1=（2厂1，°）,〃2=（-420）,则a//£

B,若直线/的方向向量N=（°，2,T）,平面a的一个法向量"=（2，1，2）,则/,a

,3

C.已知1=（T/，2）,b=（0,2,3）,若版+B与2G—B垂直，贝快数4

—■2—•1—-2—•

,厂OP=-OA+-OB+-OC口口「

D.已知48D，C三点不共线，对于空间任意一点。若555，则匕A四点共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB,根据空间向量数量积的坐标表示可判定C,根据

四点共面的充要条件可判定D.

—*1—*

=----〃2HQ

对于A,由题意知2一，所以a〃夕，故A正确；

对于B,由题意知。,"=0,所以或，ua,故B错误；

-（ka+l）^2a-b\=Ika+（2-k、a》-言=12左+8（2—左）一13=0

对于C,由题意知1人J'JV7

k=--

解之得4,故c正确；

而=|刀+1砺+|反=而—灰=|@_灰＞!@_双）

对于D,由

CP=lcA+lcB

即55，所以P，48,C四点共面，故D正确.

故选：ACD

10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字X表示第一次抛掷骰子的点数，数字歹表示第二次抛掷骰

子的点数，用（%丁）表示一次试验的结果.记事件Z="x+y=7”，事件B="X<3，，，事件C="

孙=2"&N*）,,,则。

P（C）=-

A.4B.A与5相互独立

C.A与C为对立事件D.3与0相互独立

【答案】AB

【解析】

【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式

计算可得.

依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6x6=36个；

其中事件”="苫+'=7,,包含的样本点有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个；

事件C="盯=2I/GN）,,,包含的样本点有：

（1,1）,（3,3）,（5,5）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）,（5,1）,（5,3）共9个，

事件3=“xW3",包含的样本点有：（1/），0,2）,。,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）

，，，，，，

（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）

,,,,,八I，18

p（c）=—=-

对于A,364,故A正确；

对于B,事件48包含的样本点有M）,（26）,GM）共3个,

P（^）=—=-,P（5）=—=-,P（^）=—=—

所以366-362'73612,

所以。⑷尸3）=尸（/8）,所以A与8相互独立，故B正确；

对于C,NUC包含的样本点个数满足6+9=15<36,

所以A与C不为对立事件，故C错误；

对于D,事件5c包含的样本点有：°」），O'"0,5）,（3』），（3,3）,（3,5），共6个,

而尸©1,尸⑶=1回讨£

6,

P（5C）=^P（5）P（C）=1

从而60,

所以2与C不相互独立，故D错误.

故选：AB.

11.（多选）在直三棱柱初c-48c中，〃8。=90。,。8=1。=2,必=五/是CG的中点,

则o

AM-BA.=-1

AA.1

M_2NA\MN\=V5

B.若*贝江।

C.在"4上存在一点G,使得GG//平面8Mz

D.若B1E=-2BE,AXF=-2AF,则平面BMA与平面QEF不平行

【答案】CD

【解析】

【分析】以8为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量坐

标表示公式、空间向量模公式，结合平面向量的法向量逐一判断即可.

以8为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

Jio逅］

则G0,0,遍)A^o,V6)4(O,AV6)52J5(0,0,0)z«),G,o)所以

____r_

AM=1,-A—,54=(0,V3,V6l—.—.

I2)，所以2"•四=0,A错误；

N0---y[6]“NJ138

v，。

若B、N=2NAu3\MN\=-------

则l（所以।।6B错误;

当G为Z4中点时，GG〃z/，GG<Z平面8初4幺/u平面氏忆4

所以C]G//平面8K4,c正确;

一一「一E[O,O陷,小0,6―

若B1E=_2BE,A.F=-2AF；则（3J（3J

QE=f-i,o,-^W=f-i,A-^

3

所以I3JI）.

设平面C"的法向量方=（*'必'4）,

平面BMA的法向量加=（%，%，Z2）,

/、__（r\__

n=1,0,BM=1,0,—，旗=1,G,0）

令玉=1则（又I2J

y

BM-m=0

BA-m=0

所以应与力不平行，D正确.

故选：CD

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两

次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中；

5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组.代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20

组随机数：

137996191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率

【答案】0-3

【解析】

【分析】根据在这20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有6组，即可得出结论.

这20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：

137、191、271、932、812、393共6组,

—=0.3

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：20,

故答案为：0,3.

1

a,a,l

13.小刚参加一种答题游戏，需要解答48C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为2,且各题

£

答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为4,则他三道题都答错的概率为.

£

【答案】4##0.25

【解析】

【分析】记小刚解答48,C三道题正确分别为事件0,£,口，且°，瓦口相互独立，根据题意，结合独立

事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解.

解：记小刚解答48,c三道题正确分别为事件°，£，/，且。，耳厂相互独立，

P(D)=P(E)=a,P(F)==

且2,

1

因为他恰好能答对两道题的概率为4,

可得P(DEF+DEF+DEF)=P(DE包+P(DEF)+P①EF)

=GXGX(1)+6ZX(1—a)X1-(1—67)X(7X——=_(1—Cl)=——

2224,整理得2,

-----___ii

P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=(1-a)2(l——)=-

所以他三道题都答错的概率为24.

£

故答案为：4.

14.已知梯形CE尸。如图1所示，其中勿=8,。£=6,/为线段正£)的中点，四边形48C。为正方形,

现沿4B进行折叠，使得平面R48E1平面/3C。，得到如图2所示的几何体.已知当点尸满足

4F=X48(O<X<1)时，平面DEE,平面尸CE,则力的值为.

3

【答案】5##0.6

【解析】

【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参.

如图，以N为坐标原点，

/民/。,“尸所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系,

C(4,4,0),。(0,4,0),E(4,0,2),尸(0,0,4),E(4%0,0),

则PE=(4,0,-2),PC=(4,4,-4),EF=(4(2-1),0,-2),DE=(4,-4,2)

若掰=(x/,z)是平面DEF的一个法向量,

4(A-l)x-2z=0,

则4x-4y+2z=0,

士工2

m=

可得

若是平面PCE的一个法向量,

4a-2c=0,

贝ij、44+4/7-40=0,可得力=(1/,2),

由平面QE尸，平面尸CE,得心・”=o,

1

H——-——1-4=0

即4-1A-1

解得5

3

故答案为：5

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15,已知向量六（2，T加），5=0,4，1）,^alb

（1）求:+24的值;

（2）求向量1+2B与5—B夹角的余弦值.

_也

【答案】（1）9；（2）3

【解析】

【分析】（1）根据nB,可得相=2,从而可得"+2'=（4,7,4）,再根据向量模的坐标求法计算即可;

（2）结合⑴可得力

=0,YD,23,再由夹角公式求解即可.

【小问1详解】

解：因为。=（2，T，机）石=（1,4,1）口，3

所以彳.3=2-4+帆=0,解得加=2

所以万=(2,T，2),3=(1,4,1),

则万+23=(2,-1,2)+20,4,1)=(4,7,4),

|a+2Kl=V42+72+42=9

所以।।；

【小问2详解】

w：3-6=(2,-1,2)-(1,4,1)=(1,-5,1)

\a-b\=712+(-5)2+12=373

G+2B)@-B)=4xl+7x(—5)+4xl=—27

设向量5+2B与G—B夹角为e,

(a+2by(a-b^_276

\a2b\.\a-b\9x3百3

所以1+Hl,

所以向量1+2B与1一B夹角的余弦值为3.

16.由数字1,2,3,4构成的两位数中抽取一个，求：

(1)所抽到数为偶数的概率；

(2)所抽到数为3的倍数的概率；

(3)所抽到数的个位和十位不相同的概率.

]_

【答案】(1)2；

5

(2)16；

3

(3)4.

【解析】

分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解(1)(2)(3)即可.

【小问1详解】

数字1,2,3,4构成的两位数有1112,13142。22,23,24313233,34414243,44共16个，其中偶数有

12,1422,24323442,44共&个,

所以所抽到数为偶数的概率162.

【小问2详解】

数字1,2,3,4构成的两位数有UJ2,13142122,23,24313233,34414243,44共16个,其中3的倍

数有12,21,243342共5个

5

所以抽到数为3的倍数的概率16；

【小问3详解】

数字1,2,3,4构成的两位数有1112,13142。22,23,24313233,34414243,44共16个，其中个位和

十位相同的数有11，223344共4个，所以个位和十位不相同的数有12个，

12_3

所以抽到数为3的倍数的概率164.

17.如图，在正四棱锥P-NBCZ)中，各棱长均为血，/为侧棱尸。上的点，N是PC中点.

(1)若河是尸。中点，求直线8N与平面M4c所成角的正弦值;

PM

(2)是否存在点使得8N//平面M4C?若存在，求出PD的值；若不存在，说明理由.

V3

【答案】⑴6

2

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)设NCn8Q=°,以°为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到。尸=1,求得向量

—■11

BN=-

’2’2和平面的法向量〃=(2,0,2),结合向量的夹角公式，即可求解；

一2

---►—►►加=(]0___)

⑵设两=2而，得到/四=/尸+尸旧=(-九1』-㈤，求得平面4cM的法向量为'T"

根据8N//平面/C”,利用机•8N=0,列出方程，求得几的值，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，设"口5。=0,

以点°为坐标原点，以。民0cop所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,

在正方形ZBCZ)中，由BC=CD=亚,可得BD=」BC2+CD2=2,

又因为PB=PD=C,所以PB'PD2=BD)所以尸8，尸£),可得。尸=1,

则4(0,—1,0),5(l,0,0),C(0,l,0),D(-l,0,0),尸(0,0,1),

MNPDPC”(-J，0，J)，N(0，U

因为分别为中点，可得2222,

—►11—►11—►

BN=(―1,不彳),=(一不1=),4C=(0,2,0)

可得2222

n-AM=—x+y+—z=0

<22

设平面M4c的法向量为〃=("*),则［方ZC=2y=0

令x=2,可得y=0,z=2,所以〃=(2,0,2),

设直线8N与平面1所成角为°,

smd…小。上，立

可得Y2,

出

所以直线8N与平面M4c所成角的正弦值6.

【小问2详解】

^4(0,-1,0),5(1,0,0),C(O,1,O),Z)(-1,O,O),尸(0,0,1),N(0,：,g)

解：因为22,

W=[-I4，^,^C=(O,2,O),PD=(-I,O,-I)

可得I2,

设由=加,可得—=—+而=(0,U)+4(T0,-l)=(T,l,lT)

m-AM=—Axl+%+(1-X)Z]=0

设平面/CM的法向量为m=（西，％/1）,则、m-AC=2%=0

—^―m=(1,0,

1%=°，Z]=

令x=l,可得1—4，所以J了

若8N//平面NOW,可得m1BNt

m-BN=-1+---=02=-

即可得2(1-㈤，解得3,所以

PM2

即存在点使得8N//平面MZC,此时尸。的值为

18.在空间直角坐标系中，平行四边形4sC。的三个顶点为'（°'T1）'8（O，1，2）,C（3,1,3）,

（1）求。的坐标

（2）cosZBAD

【答案】⑴。（3，-1，2）

V2

⑵而

【解析】

【分析】（1）设根据/c和2。的中点相同，利用中点坐标公式求解；

⑵由⑴得到48=（0,2」），幺。=（3,0」），再利用向量的夹角公式求解.

【小问1详解】

解：设因为/c和8。的中点相同，

Z—（0,1,2）,C（3,1,3）

x+03+0y+1_-1+1z+2_3+1

所以222222

所以x=3,y=—l,z=2,

所以。（3T2