2024-2025学年高一上学期期末考试填空题压轴题50题专练（含答案）

2024-2025高一上学期期末考试填空题压轴题50题专练【人教A版（2019）】1．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）已知集合A=t+1,t+2∪t+5,t+10，0∉A，如果存在正数λ，使得对任意a∈A2．（2023上·福建·高一校联考期中）已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m3．（2023上·上海·高一上校考期中）已知正整数n≥2，对集合1,2,3,⋅⋅⋅,n及其每一个非空子集X，记X=x1,x2,⋅⋅⋅,xk，其中x1>x2>⋅⋅⋅>4．（2023·全国·高一专题练习）已知t∈R，集合A=t,t+1∪t+4,t+9，0∉A，若存在正数λ，对任意a∈A，都有λa∈A5．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）已知集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，规定运算“⊕”满足如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）a⊕b⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A；②若1∈A，则1⊕1⊕1=0③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中所有正确命题的序号是．6．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X,A组成一个v阶的Steiner三元系．若X,A为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为7．（2023上·江苏镇江·高一校联考期中）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x<y，则yx8．（2023下·北京顺义·高三校考阶段练习）对于集合M=a①如果B=bb=2n+1,n∈N，那么②若C=cc=2n,n∈N，对于∀c∈C，则有③如果a1∈M，a2④如果a1∈M，a其中，正确结论的序号是.9．（2015·山东·统考高考真题）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S={x|x∈(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)且x∉M∩N∩S}．假设集合A={x|a<x<b}，B={x|c<x<d}，C={x|e<x<f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab<0，cd<0；ef<0；（2）b-a=d-c=f-e；（3）b+a<d+c<f+e．计算A⊙B⊙C=．10．（2022上·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T；条件2：对任意x,y∈T，若x≠y，则x-y∈S．给出下列说法：①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；②若S只有2个元素，则S∪T必有3个元素；③若S只有2个元素，则S∪T可能有4个元素；④存在含有3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素．其中所有正确说法的序号是．11．（2023下·重庆渝中·高二校考期末）对任意的正实数a，b，c，满足b+c=1，则3ab2+a12．（2023·江西·校联考一模）已知a，b，c是正实数，且b+c=6，则ac213．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）设函数fx=x2+2x+a，若关于x的不等式f14．（2023下·浙江丽水·高二统考期末）已知实数a,b,c满足a2+b2+15．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知正实数m,n满足2m3+2n316．（2023上·贵州遵义·高三校考阶段练习）若关于x的不等式组-24<x<100,x2-2ax-3a217．（2023下·浙江·高一校联考期中）已知对任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得1-t18．（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知a>0,b>0,c>0，a2-ab+9b2-5c=0，当cab最小时，19．（2023上·上海·高一统考期末）二次函数f(x)=x2+mx+n恒有两个零点x1、x2，不等式l≤20．（2023上·湖北武汉·高一统考期末）已知函数f(x)=x|x|，若对任意x≥1，有f(x+m)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是.21．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为奇函数，g(x+1)为偶函数，f(-1)=2，g(x+2)-f(x)=1，则i=12023g(i)22．（2023上·广东清远·高一统考期末）若存在实数a,b∈1,9，使得函数fx=x+9x-10x>0在区间a,b上单调递减，且fx23．（2023上·海南儋州·高一校考期末）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在-∞,0上是减函数，且f-2=0，则使fx24．（2023上·山东聊城·高一统考期末）已知奇函数fx的定义域为x∈Rx≠0，且有f2x=16fx，f1=1，若对∀x25．（2019·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=ax3-x，若存在t∈R，使得|f(t+2)-f(t)|≤2326．（2023上·北京石景山·高三统考期末）函数f(x)=x①f(x)的值域是(-1,1)；②任意x1,x2∈R③任意x1,x2∈(0,+④规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f其中，所有正确结论的序号是．27．（2022下·浙江温州·高二校联考期中）已知函数fx=x2+1x2+9-m2+28．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）对于函数y=①在同一直角坐标系中，函数y=f(-1-x)与y=f(x-1)的图象关于直线x=②若f(1-x)=f(x-1)，则函数y=f(x)的图象关于直线③若f(1+x)=f(x-1)，则函数y=④若f(1-x)=-f(x-1)，则函数y=f(x)的图象关于点其中所有正确命题的序号是.29．（2022上·江苏常州·高一统考期中）定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)=2-x-1，则使得f(x)≤18在30．（2023下·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）函数f(x)的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，f(x)在[0,1]上单调递增，且①f(②f(③f(x)④f2024是f⑤f131．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知定义在x|x∈R,x≠0上的函数fx为奇函数，且对任意正实数x1,x2都有x1-x232．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）设函数f(x)=3x+1,x≤0log4x,x>0，若关于x33．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）若函数fx满足：当x≤-1或x≥1时，fx=1+ax；当-1<x<1时，fx=34．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数fx和gx，设α∈xfx=0，β∈xgx=0，若存在α,β,使得α-β≤1，则称函数fx和35．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知函数f(x)=log3x2-1，g(x)=x2-2x+a，∃x36．（2023上·山东济南·高一统考期末）已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，f(1)=e，对任意的x1,x2∈(0,+∞)，当37．（2023上·重庆沙坪坝·高一校考期末）对于给定的区间D，如果存在一个正的常数T，使得∀x∈D都有x+T∈D，且fx+T>fx对∀x∈D恒成立，那么称函数fx为D上的“T增函数”.已知函数gx=lnx238．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足：fx+2=-fx，且当0≤x≤1时，fx=log2x+a39．（2022上·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）fx=log2x,0<x<2x2-6x+9,x≥2，若关于x的方程f2x-2t+140．（2022·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数f(x)=loga9-ax,g(x)=logax2-ax41．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知函数f(x)=5cos(ωx+π6)(ω>0)在-2,242．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，f(x)满足f(x+π3)=f(π3-x)，f(-π43．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与时间①A=2.4,ω=π②点P第一次到达最高点需要的时间为103③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是403④若ht在0,a上的值域为0,3.6，则a的取值范围是20其中所有正确结论的序号是.44．（2023下·江西景德镇·高一校考期末）已知定义在R上的偶函数fx，当x≥0时满足fx=4cosxsin(x+π45．（2023下·四川南充·高一统考期末）在锐角△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB+tanC=2tanB46．（2023下·江苏徐州·高一徐州市第一中学校考期中）已知函数fx=2sinxcosx+4cos2x-1，若实数47．（2023上·陕西西安·高一统考期末）设函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在π6,π448．（2023下·河南濮阳·高三统考开学考试）已知fx=sin3x+φφ<π2为奇函数，若对任意α∈-49．（2023上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数fx=2sinωx+φω>0,φ①fx的最小正周期为π②fx的图象关于直线x=③若x1,x2∈④fx的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到gx的图象，若gx图象的一个对称中心是π6,050．（2023上·天津南开·高一校考期末）已知函数fx=Asin①fx=2sinx+③若α∈0,π时，gα④把函数y=fx图象上所有点横坐标缩短为原来的12得到的函数图象的对称轴与函数⑤函数y=fx+gx在R则以上结论正确的序号为.

高一上学期期末考试填空题压轴题50题专练【人教A版（2019）】1．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）已知集合A=t+1,t+2∪t+5,t+10，0∉A，如果存在正数λ，使得对任意a∈A，都满足λ【解题思路】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.【解答过程】当t>-1时，当a∈t+1,t+2当a∈t+5,t+10即当a=t+1时，λa≤t+10；当a=t+10时，λa当a=t+2时，λa≥t+5；当a=t+5时，λa因此有λ=t+10当t+2<0<t+5时，当a∈t+1,t+2当a∈t+5,t+10即当a=t+1时，λa≤t+2；当a=t+10时，λa当a=t+5时，λa≤t+10；当a=t+10时，λa因此有λ=t+2当t+10<0时，同理可得无解，综上所述：实数t的值为－4或0，故答案为：－4或0.2．（2023上·福建·高一校联考期中）已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m的取值范围是【解题思路】先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围.【解答过程】若命题p:“方程axa=0时，2x+1=0,x=-1当a<0时，Δ=4-4a>0，且x则此时方程ax当a>0时，由Δ=4-4a=0，解得a=1此时方程为x2由Δ=4-4a>0解得0<a<1，此时x则此时方程ax综上所述，p为真命题时，a的取值范围是-∞若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则m+1>1,m>0.故答案为：m>0.3．（2023上·上海·高一上校考期中）已知正整数n≥2，对集合1,2,3,⋅⋅⋅,n及其每一个非空子集X，记X=x1,x2,⋅⋅⋅,xk，其中x1>x2>⋅⋅⋅>xk【解题思路】集合1,2,3,4,5,6,7的任意一个不含7的集合A与集合A∪7的“交替和”之和应为7【解答过程】由题意知，集合7的“交替和”为7.集合1,2,3,4,5,6,7的所有27个子集中，除去集合7外，还有2这27-2个非空子集中不含元素7的集合，即1,2,3,4,5,6的非空子集，共有设为Ai则这27-2个非空子集中含元素7的集合，也共有这样的集合都可以看成相应地在每个不含7的集合中再加上元素7得到，即Ai对Ai(i=1,2,⋯,26-1)则“交替和”SA=x由7>x1>7-x则集合A与集合A∪7的“交替和”之和为7下面举例说明：如集合6,5,4,3,2,1与集合7,6,5,4,3,2,1，6,5,4,3,2,1的“交替和”为6-5+4-3+2-1=3，7,6,5,4,3,2,1的“交替和”为7-6+5-4+3-2+1=7-(6-5+4-3+2-1)=7-3，即集合6,5,4,3,2,1与集合7,6,5,4,3,2,1的“交替和”之和为7.综上，把这27且每组中“交替和”之和都为7，共有26故集合1,2,3,4,5,6,7所有“交替和”之和，由各组之和再加集合7的“交替和”7即可，综上所述，当n=7时，集合1,2,3,⋅⋅⋅,n的所有子集的所有“交替和”之和为7×(2故答案为：448.4．（2023·全国·高一专题练习）已知t∈R，集合A=t,t+1∪t+4,t+9，0∉A，若存在正数λ，对任意a∈A，都有λa∈A，则t【解题思路】根据t所处的不同范围，得到a∈t,t+1和a∈t+4,t+9时，λa所处的范围；再利用集合A的上下限，得到λ与t【解答过程】因为0∉A，则只需考虑下列三种情况：①当t>0时，因为a∈t,t+1∪t+4,t+9且λ>0，可得λa又因为λa∈A，则λt+9可得：tt+9则λ=tt+9=t+1②当t+9<0即t<-9时，与①构造方程相同，即t=1，不合题意，舍去；③当t+1<0t+4>0，即-4<t<-1时，可得：λt+1≥t可得λ=tt+1=t+4综上所述：t=1或-3.故答案为：1,-3.5．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）已知集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，规定运算“⊕”满足如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）a⊕b⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A；②若1∈A，则1⊕1⊕1=0③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中所有正确命题的序号是①③④．【解题思路】根据新定义计算“⊕”逐项分析可得结果.【解答过程】对于命题①，对任意的a∈A，a⊕a=0∈A，命题①为真命题；对于命题②，若1∈A，则1⊕1⊕1=1⊕1+1⊕1+1=0+0+1=1对于命题③，当a=0时，若a∈A，则a⊕0=a，则a=0显然成立；当a≠0时，若a∈A，且a⊕0=a，在（3）中，令c=0，b=a，则a⊕a⊕0=a⊕0+a⊕0+0=2a另一方面a⊕a⊕0=0⊕0=0，则2a=0，即a=0，这与a≠0综上，a=0，故命题③为真命题；对于命题④，若a、b、c∈A，由a⊕0=a可得a=0，又因为a⊕b=c⊕b，则a⊕b⊕c=因为a⊕b⊕c=a⊕c+b⊕c+c，则c⊕b所以，a⊕c=c⊕c=0，即0⊕c=0，所以，0⊕c⊕c=0⊕c+c⊕c+c=c=0，所以，a=c故答案为：①③④.6．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X,A组成一个v阶的Steiner三元系．若X,A为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为7【解题思路】令X={a,b,c,d,e,f,g}，列举出所有三元子集，结合X,A组成v阶的Steiner三元系定义，确定A中元素个数.【解答过程】由题设，令集合X={a,b,c,d,e,f,g}，共有7个元素，所以X的三元子集，如下共有35个：{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、{a,b,f}、{a,b,g}、{a,c,d}、{a,c,e}、{a,c,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{a,d,f}、{a,d,g}、{a,e,f}、{a,e,g}、{a,f,g}、{b,c,d}、{b,c,e}、{b,c,f}、{b,c,g}、{b,d,e}、{b,d,f}、{b,d,g}、{b,e,f}、{b,e,g}、{b,f,g}、{c,d,e}、{c,d,f}、{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}、{d,e,g}、{d,f,g}、{e,f,g}，因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元素满足要求的有：{a,b,c}、{a,d,e}、{a,f,g}、{b,d,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；{a,b,c}、{a,d,f}、{a,e,g}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；{a,b,c}、{a,d,g}、{a,e,f}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{c,e,g}，共有7个；{a,b,d}、{a,c,e}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,d}、{a,c,g}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{d,e,g}，共有7个；{a,b,d}、{a,c,f}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,e}、{a,c,d}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,d,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,e}、{a,c,f}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,e}、{a,c,g}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,f}、{d,e,g}，共有7个；{a,b,f}、{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,d,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,f}、{a,c,e}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；{a,b,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,e,f}、{d,f,g}，共有7个；{a,b,g}、{a,c,d}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,d,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；{a,b,g}、{a,c,e}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；{a,b,g}、{a,c,f}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,e,g}、{d,f,g}，共有7个；共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.故答案为：7.7．（2023上·江苏镇江·高一校联考期中）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x<y，则yx∈S.若【解题思路】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S=p1,p2,p3,p4【解答过程】解：由题可知，S⊆N·,T⊆若取S=2,4,8,16，则T=8,16,32,64,128，此时具体如下：设集合S=p1,p2则p1p2<p同理p4若p1=1，则p2≥2，则p3又p4>p4p故S=1,p2,p若p1≥2，则p2p1又p4>p4p故S=p1,若q∈T，则qp13∈S，故即q∈p13此时S∪T=p1,故答案为：7.8．（2023下·北京顺义·高三校考阶段练习）对于集合M=a①如果B=bb=2n+1,n∈N，那么②若C=cc=2n,n∈N，对于∀c∈C，则有③如果a1∈M，a2④如果a1∈M，a其中，正确结论的序号是①③.【解题思路】根据集合的定义，对选项进行逐一分析即可.【解答过程】对①：对b=2n+1,n∈N，总是有b=2n+1=n+12-n2对②c=2n,n∈N，若c=2n∈M，则存在x,y∈Z，使得x2因为当x,y一个是偶数，一个是奇数时，x+y是奇数，x-y也是奇数，故(x+y)(x-y)也是奇数，而显然2n是偶数，故2n≠(x+y)(x-y)，故c=2n∉M，故②错误；对③如果a1∈M，不妨设a1则a1故a1对④同理，设a1则a1故不满足集合M的定义，故④错误.综上所述，正确的是①③.故答案为：①③.9．（2015·山东·统考高考真题）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S={x|x∈(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)且x∉M∩N∩S}．假设集合A={x|a<x<b}，B={x|c<x<d}，C={x|e<x<f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab<0，cd<0；ef<0；（2）b-a=d-c=f-e；（3）b+a<d+c<f+e．计算A⊙B⊙C={x|c<x≤e或b≤x<d}．【解题思路】由题设条件求a，b，c，d，e，f的大小关系，再根据集合运算新定义求A⊙B⊙C即可.【解答过程】a+b<c+d，得a-c<d-b；a-b=c-d，得a-c=b-d；∴b-d<d-b，b<d；同理d<f，∴b<d<f．由(1)(3)可得a<c<e<0<b<d<f．∴A∩B={x|c<x<b}，B∩C={x|e<x<d}，C∩A={x|e<x<b}．A⊙B⊙C={x|c<x≤e或b≤x<d}．故答案为：{x|c<x≤e或b≤x<d}.10．（2022上·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T；条件2：对任意x,y∈T，若x≠y，则x-y∈S．给出下列说法：①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；②若S只有2个元素，则S∪T必有3个元素；③若S只有2个元素，则S∪T可能有4个元素；④存在含有3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素．其中所有正确说法的序号是①②．【解题思路】对于①由条件2知正确；对于④：设S={a,b,c}，由条件1推出T中元素，再由条件2推出的元素必在S中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与S={a,b,c}有3个元素矛盾.对于②③：S=a,-a，由条件1得0∈T，若T中除0外只有一个元素m，由-m∈S求得m=±a；若T中还有另两个元素m，n，由条件2得出S中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与S【解答过程】对于①：由条件2知，x-y∈S，y-x∈S，且x-y≠y-x，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；对于④：若S有3个元素，不妨设S={a,b,c}，其中a<b<c，则{a+b,b+c,c+a}⊆T，所以c-a,c-b,b-a,a-c,b-c,a-b∈S，而c-a与c-b为两个互不相等的正数，a-c与a-b为两个互不相等的负数，故集合S中至少有4个元素，与S={a,b,c}有3个元素矛盾，故④错误.对于②③：若S有2个元素，由①知集合S中的2个元素必为相反数，故可设S=a,-a(a≠0).由条件1得0∈T，由于集合T中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素当集合T只有2个元素时，即T={0,m}，由条件1得-m∈S，则m=±a,T={0,a}或T={0,-a}，故S∪T={0,a,-a}.当集合T有多于2个元素时，不妨设T={0,m,n}，则m,n,-m,-n,m-n，n-m∈S，由于m,n≠0，所以m≠m-n,n≠n-m，又m≠n，故集合S至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾.综上，S∪T={0,a,-a}，故②正确，③错误.故答案为：①②.11．（2023下·重庆渝中·高二校考期末）对任意的正实数a，b，c，满足b+c=1，则3ab2+abc+【解题思路】根据条件b+c=1，得到3ab2+a【解答过程】因为3ab2≥26(a+1)×12a+1故答案为：12212．（2023·江西·校联考一模）已知a，b，c是正实数，且b+c=6，则ac2+2abc【解题思路】由于a，b，c是正实数，且b+c=6，所以先结合基本不等式“1”的代换求c2+2bc的最小值，得c2+2bc【解答过程】解：ac2+2abc+8a+1=a⋅c所以c=cb+b3c+2则c2+2bc的最小值为2当且仅当2a+1=8则ac2+2a故答案为：6.13．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）设函数fx=x2+2x+a，若关于x的不等式ffx【解题思路】根据题意，设fx=t，可知t≥a-1，从而将不等式ffx<0的解集为空集，转化为ft<0在区间a-1,+∞上的解集为空集，从得出而y=t+12+a-1≥0在区间a-1,+∞上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出y=t+1【解答过程】解：根据题意，可知fx设fx=t，则因为不等式ff即ft<0在区间即y=t2+2t+a=所以y=t+12+a-1≥0对于二次函数y=t+12+a-1∴Δ=4-4a，当Δ=4-4a≤0，即a≥1时，则a-1≥0>-1，所以y=t+12+a-1≥0当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，令y=t+12+a-1≥0，解得：t≤-1-要使得y=t+12+a-1≥0只需满足a-1>t=-1且a-1≥-1+1-a即a>0且a2+a-1≥0，解得：a≤-1-又因为a≤1，故解得：-1+5综上得，实数a的取值范围是-1+5故答案为：-1+514．（2023下·浙江丽水·高二统考期末）已知实数a,b,c满足a2+b2+c2【解题思路】根据已知得出a2+b2=3-c2【解答过程】由已知可得，a2+b所以，2ab+3c≤a当且仅当a=b时，等号成立.因为-c所以，当c=32时，该式有最大值214所以，2ab+3c的最大值为214故答案为：21415．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知正实数m,n满足2m3+2n3+6mn=27，则【解题思路】设m+n=t，结合立方和公式得出2t3-276t-6=mn，由mn>0，解关于t【解答过程】根据题意可得：2m3+2设m+n=t，则：2tt2-3mn∴2∵m,n>0,∴2t3解得0<t<1或t>3又∵2∴2t3①当0<t<1时，不等式不成立；②当t>3342时，t-3t2+6t+18≤0，又∴m+n的取值范围为33故答案为：3316．（2023上·贵州遵义·高三校考阶段练习）若关于x的不等式组-24<x<100,x2-2ax-3a2≥0的整数解共有36个，则正数【解题思路】解一元二次不等式得x≤-a或x≥3a，然后计算a=23,22,21时，不等式组整数解的个数，确定a=22满足题意，再根据a的变化（比22大或者小），确定不等式组的整数解的变化情况，从而得出参数范围．【解答过程】由x2-2ax-3a2≥0，得x+ax-3a≥0当a=23时，xx≤-axx≥3a此时不等式组的整数解的个数为32；当a=22时，xx≤-axx≥3a此时不等式组的整数解的个数为36；当a=21时，xx≤-axx≥3a此时不等式组的整数解的个数为40.a越大，则-a越小，3a越大，从而不等式组-24<x<100xa越小，则-a越大，3a越小，从而不等式组-24<x<100x要使得不等式组的整数解的个数为36，则需满足-22≤-a<-2165<3a≤66，解得65故答案为：65317．（2023下·浙江·高一校联考期中）已知对任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得1-ta+1+2t【解题思路】由一元二次不等式恒成立得c≥b24a>0、a>0，将问题化为求t=a+b+3c【解答过程】由题设a>0Δ=b2-4ac≤0，有b又1-ta+1+2tb+3c=a+b+3c+(2b-a)t故存在t∈R使a+b+3c+(2b-a)t=0成立，则t=所以t=1+3(b+c)a-2b≥1+3⋅ba所以t≥1+38⋅而38⋅[(12-m)+所以t≥14，仅当a=-b且c=b24a故答案为：1418．（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知a>0,b>0,c>0，a2-ab+9b2-5c=0，当cab最小时，x2-3x≥a+b-1【解题思路】由5cab=ab+9ba【解答过程】a2-ab+9当且仅当a=3b时，等号成立，此时，cab即c=ab=3b因为a+b-1所以x即{xx≤-1故答案为：{xx≤-119．（2023上·上海·高一统考期末）二次函数f(x)=x2+mx+n恒有两个零点x1、x2，不等式l≤(m-1)2【解题思路】由题设可设Δ=m2-4n=t>0即有n=m2-t4，令M=(m-1)2+(n-1)2+【解答过程】由f(x)恒有两个零点，则Δ=m令M=(m-1)∴M=2(n-m+12∴M=(m2∴M=g(t)=(N-3-t)当-3≤N-3≤0时，有M>g(0)=(N-3)28+3N综上，M>98，要使l≤M恒成立，则l≤98，故故答案为：9820．（2023上·湖北武汉·高一统考期末）已知函数f(x)=x|x|，若对任意x≥1，有f(x+m)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是(-∞,-1].【解题思路】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答过程】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为x+mx+m+mxx当m≥0时，不等式转化为x+m2+mx当m∈-1,0时，不等式转化为x+m2+mx2当m=-1时，x+mx+m+mxx<0⇔x-1当m<-1时，x+mx+m+mxx尚需进一步讨论，当1<x<-m时，不等式等价于-x+m即m-1x2-2mx-m2<0，当x>-m时，x+mx+m+mx此时对应的对称轴为x=-mm+1<1，又-mm+1<-m，则综上所述，当m∈-∞,-1时，对任意x≥1，有f(x+m)+mf(x)<0故答案为：(-∞,-1].21．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为奇函数，g(x+1)为偶函数，f(-1)=2，g(x+2)-f(x)=1，则i=12023g(i)=【解题思路】根据题意分析可得fx+2=-fx，进而可得函数f(x)【解答过程】因为g(x+1)为偶函数，则g(x+1)=g(-x+1)，又因为g(x+2)-f(x)=1，则g(x+1)=f(x-1)+1，g(-x+1)=f(-x-1)+1，即f(x-1)+1=f(-x-1)+1，可得f(x-1)=f(-x-1)，因为f(x)为奇函数，则f(x)=-fx，且f(0)=0可得f(x-1)=-fx+1，即fx+1=-f可得fx+4所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，由fx+2=-fx，可得f则f-1即fx所以i=12023故答案为：2023.22．（2023上·广东清远·高一统考期末）若存在实数a,b∈1,9，使得函数fx=x+9x-10x>0在区间a,b上单调递减，且fx在区间a,b【解题思路】根据a,b∈1,9，去绝对值符号化简fx，根据对勾函数的性质，判断fx的单调性，根据题意建立m,a,b之间的等式关系，将m消掉后化简可得a+b=10，代入到方程组中可建立m与a和m【解答过程】解：因为fx因为a,b∈1,9，所以x-1x-9<0，x>0取y=x+9在0,3上，y单调递减，在3,+∞上，y所以fx在1,3上，fx单调递增，在3,9上，因为fx区间a,b上单调递减，所以3≤a<b≤9因为fx区间a,b上单调递减，所以f即10-a+9a即a2-10a+9=b因为a<b，所以a+b=10，代入a2化简可得：m-1a当m=1时方程组不成立，所以方程组可化为a2即y=x2-10x在3,9因为y=x2-10x=x-52当x=3时，y=-21，当x=9时，y=-9，画出y=x2-10x由图可知只需-25<9m-1≤-21即-921≤m-1<-故答案为：4723．（2023上·海南儋州·高一校考期末）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在-∞,0上是减函数，且f-2=0，则使fx<0成立的【解题思路】由偶函数得出fx在0,+【解答过程】若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在-∞,0上是减函数，则fx当x≤0时，则fx<0=f-2当x≥0时，则fx<0=f2综上所述：使fx<0成立的x的取值范围是故答案为：-2,2.24．（2023上·山东聊城·高一统考期末）已知奇函数fx的定义域为x∈Rx≠0，且有f2x=16fx，f1=1，若对∀x1，【解题思路】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式fx【解答过程】构造函数Fx依题意，fx的定义域是x∈Rx≠0所以F-x=f由于对∀x1，x2所以Fx在0,+∞上单调递增，则Fxf2由fxx≥2x2所以x≤-2或x≥2所以不等式fxx≥故答案为：-∞25．（2019·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=ax3-x，若存在t∈R，使得|f(t+2)-f(t)|≤23，则实数a【解题思路】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究f(t+2)-f(t)=2a3t2【解答过程】使得f(t+2)-f(t)=a{2•[(t+2)使得令m=3t2+6t+4∈[1,+∞)由折线函数，如图只需-13≤a-1≤13，即2故答案为4326．（2023上·北京石景山·高三统考期末）函数f(x)=x①f(x)的值域是(-1,1)；②任意x1,x2∈R③任意x1,x2∈(0,+④规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f其中，所有正确结论的序号是①②④．【解题思路】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【解答过程】①：当x≥0时，f(x)=x当x≥0时，该函数单调递增，所以有fx当x≥0时，因为f(x)-1=1-1所以f(x)-1<0⇒f(x)<1，因此当x≥0时，0≤fx当x<0时，f(x)=x所以有fxf(x)-(-1)=11-x>0⇒f所以f(x)的值域是(-1,1)，故①正确；②：不妨设x1>x所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在x≥0时，单调递增，且0≤fx当x<0时，单调递增，且-1<fx③：当任意x1,x令x1=1,xfx1+因此fx④：当x≥0时，f(x)=xf1f2f3f4于是有fn(x)=x故答案为：①②④.27．（2022下·浙江温州·高二校联考期中）已知函数fx=x2+1x2+9-m2+m-ax-a【解题思路】将fx化为关于m的二次式子，利用判别式可将不等式化为x2+1x2+9-ax-ax【解答过程】f=2m因为对任意m∈R和任意x∈12,所以4x2+整理可得x2+1即x2+1x2即a≤x2+1x令t=x+1x，则则a≤t+5t或a≥t+9所以a≤t+5t因为t+5t≥25，当且仅当t=5又y=t+9t在t∈2,所以a≤25或a≥故答案为：(-∞28．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）对于函数y=①在同一直角坐标系中，函数y=f(-1-x)与y=f(x-1)的图象关于直线x=②若f(1-x)=f(x-1)，则函数y=f(x)的图象关于直线③若f(1+x)=f(x-1)，则函数y=④若f(1-x)=-f(x-1)，则函数y=f(x)的图象关于点其中所有正确命题的序号是①③④.【解题思路】根据函数对称性可知，可假设对称轴方程，再利用轴对称公式求出对称轴即可知①正确；②中可得函数y=f(x)的图象关于y轴对称，即②错误；根据周期函数定义可推出f(x+2)=f(x)，可知③正确；由题意可得f(1-x)+f(x-1)=0，根据中心对称公式得出其关于原点对称，④正确.【解答过程】假设函数y=f(-1-x)与y=f(x-1)的图象关于直线x=a对称，则需满足f-1-(2a-x)=f(x-1)，所以-2a-1=-1，即即函数y=f(-1-x)与y=f(x-1)的图象关于直线x=若f(1-x)=f(x-1)，即f1-x+1=f(x+1-1)，可得f(-x)=f(x)即函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，也即关于y轴对称，故②错误；若f(1+x)=f(x-1)，f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[(1+x)-1]=f(x)，即满足f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数，故③正确；由中心对称性质可知，若f(1-x)=-f(x-1)，则f(1-x)+f(x-1)=0，所以f(-x)+f(x)=0，函数y=f(x)是奇函数；因此函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，故④正确．故答案为：①③④.29．（2022上·江苏常州·高一统考期中）定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)=2-x-1，则使得f(x)≤18在m,+∞【解题思路】根据给定条件，依次求出函数f(x)在[0,2),[2,4),[4,6),⋯,[2n,2n+2),n∈N【解答过程】定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=2-当x∈[2,4)时，x-2∈[0,2)，f(x)=12f(x-2)=1-当x∈[4,6)时，x-4∈[0,2)，f(x)=122当x∈[2n,2n+2),n∈N时，x-2n∈[0,2)，f(x)=12由12n-1≤18得，n≥4观察图象知，m,+∞⊆[8,+∞)，则有故答案为：8.30．（2023下·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）函数f(x)的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，f(x)在[0,1]上单调递增，且fx+1①f(②f(③f(x)④f2024是f⑤f1【解题思路】由fx+1为偶函数，可得f(x)的图象关于直线x=1对称，由f(x+2)为奇函数，可得f【解答过程】对于①②，因为fx+1为偶函数，所以f-x+1=fx+1，所以f(因为f(x+2)为奇函数，所以f所以fx+2=-fx，所以f所以f(对于③，因为f(x)为奇函数，f(x)在因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f因为f(x)的周期为4，所以f对于④，因为f(x)因为f(x)在[-1,1]上递增，f(x)在[1,3]上递减，f(x)的周期为4，所以f(x因为f2024=f4×506=f0对于⑤，因为f-x+2=-fx+2，所以当x=0时，得f2=0，当x=1因为f(x)故答案为：②③⑤.31．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知定义在x|x∈R,x≠0上的函数fx为奇函数，且对任意正实数x1,x2都有x1-x2x2【解题思路】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可.【解答过程】因为x1所以由x1设gx=f因为x1所以由x1所以有x1-x即x1>x所以函数gx因为fx所以有g-x因此函数gx0.50.60.60.5log0.5因为函数gx所以c=glog因为0<0.50.6<函数gx所以a>b>c，故答案为：a>b>c.32．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）设函数f(x)=3x+1,x≤0log4x,x>0，若关于x的函数g【解题思路】画出fx=3x+1,x≤0log4【解答过程】作出函数fx令fx=t，函数则方程f2x-设t2-a+2因为t1t2=3，所以两根均大于0，且方程的一根在区间令g所以Δ=a+22综上：实数a的取值范围为2,+故答案为：2,+33．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）若函数fx满足：当x≤-1或x≥1时，fx=1+ax；当-1<x<1时，fx=lg1-x【解题思路】换元得到y=2-ft，先研究出y=2-ft的零点个数，研究-1<t<1时，零点为t1=-99101，当a≤0时，t2=1a,t3=-1a，画出ft【解答过程】y=2-ffx中，令fx先研究出y=2-ft当-1<t<1时，ft则f-t=lgft=lg因为-1<t<1，所以-1+21+t∈故ft与y=2由lg-1+21+t当t≤-1或t≥1时，f故当t≤-1或t≥1时，f当a≤0时，ft=1+at当a>0时，ft=1+at>1，令则要满足1a≥1，故画出0<a≤1时，ft故当fx=t故要想函数y=2-ffx有5个零点，则要满足即fx与y=故1a≥1+a，解得：又a>0故0<a≤5实数a的取值范围是0,5故答案为0,534．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数fx和gx，设α∈xfx=0，β∈xgx=0，若存在α,β,使得α-β≤1，则称函数fx和gx【解题思路】首先求出函数fx的零点，从而得α=3，结合新定义可得3-β≤1，则2≤β≤4，从而可知方程log2x2-a+1⋅【解答过程】函数fx=lnx-2+x-3是2,+结合“零点相邻函数”的定义可得3-β≤1，则2≤β≤4据此可知函数gx=log2x即方程log2x2-a+1整理可得：a+1=log令t=log2x,1≤x≤2根据对勾函数的性质，函数ht=t+3t在区间1,3上单调递减，在3则a+1=t+据此可知实数a的取值范围是23故答案为：2335．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知函数f(x)=log3x2-1，g(x)=x2-2x+a，∃x1∈【解题思路】由题意可得fx1min【解答过程】∃x1∈2,+∞，∀x2∈1∵x∈2,+∞时，则x2则log3所以函数fx=log3x又∵gx=x则gx在13,3∴1≤a-1，解得a≥2.故答案为：a≥2.36．（2023上·山东济南·高一统考期末）已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，f(1)=e，对任意的x1,x2∈(0,+∞)，当x2【解题思路】将fx1-fx2x1x2>ex2【解答过程】由题意当x2>x1时，有即fx故令g(x)=fx+xex，则当则g(x)在(0,+∞由于f(1)=e，而f(即有f(lna)+aln所以0<ln即实数a的取值范围是(1,e)故答案为：(1,e)37．（2023上·重庆沙坪坝·高一校考期末）对于给定的区间D，如果存在一个正的常数T，使得∀x∈D都有x+T∈D，且fx+T>fx对∀x∈D恒成立，那么称函数fx为D上的“T增函数”.已知函数gx=lnx2+1+x【解题思路】先分析出ux=x2+mx为偶函数，gx=lnx2+1+x【解答过程】设ux=x且u-x=-xgx=ln故gx所以hx且gx=ln故gx若m≥0，则画出ux即ux=x2+m由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：hx=gx2+m因为hx=gx若-2≤m<0，画出ux则ux=x2+mx在-1,m由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：hx=gx2+mx在-1,m因为hx所以只需任取x1∈-1,由对称性可知，存在x2=-x1∈故满足hx若m<-2时，画出ux则ux=x2+mx在由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：hx=gx2+mx在因为hx故只需满足任取x1∈-1,0由对称性可知：存在x2=x所以要满足x1+3>x2=综上：实数m的取值范围是-3,+∞故答案为：-3,+∞38．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足：fx+2=-fx，且当0≤x≤1时，fx=log2x+a，若对于任意x∈【解题思路】先由题给条件求得函数fx的单调区间对称轴对称中心，进而将f-x2+tx【解答过程】定义在R上的奇函数fx满足f0=0，则log又由fx+2=-fx则函数fx由fx+2=-fx=f-x当0≤x≤1时，fx由奇函数fx当-1≤x≤0时，fx则函数fx在-1,1单调递增，又函数fx有对称轴则函数fx在1,3又在x∈-1,0内，由f即-log2-x+1又函数fx有对称轴x=1，则x=52则在x∈-1,3内，由fx≥1-令g(x)=-x2+tx，x∈0,1，由任意又g(0)=0∈-12,5①当t<0，即t2<0时，g(x)在0,1则t-1,0⊆-12②当0≤t≤1，即0≤t2≤12在x=t2则t-1,t24⊆-1③当1<t≤2，即12<t2≤1在x=t2则0,t24⊆-1④当t>2，即t2>1时，g(x)在0,1则0,t-1⊆-12,5综上，实数t的取值范围为1故答案为：1239．（2022上·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）fx=log2x,0<x<2x2-6x+9,x≥2，若关于x的方程f2x-2t+1fx【解题思路】令u=fx，由已知可得出u=t或u=t+1，作出函数u=fx的图象，分析可知0<t+1<1，求出t的取值范围，利用对数的运算性质可求得x1x2【解答过程】令u=fx，由f2x可得u=t或u=t+1，作出函数u=fx若u=0，则直线u=0与函数u=fx的图象有2直线u=1与函数u=fx的图象有3此时，关于x的方程f2x-所以，t<0，则直线u=t+1与函数u=fx的图象有4个公共点，则0<t+1<1，得-1<t<0由图可知0<x1<1<x2即-log2x1=由图可知点x3,t+1与点x4,t+1关于直线所以，x1故答案为：6,7.40．（2022·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数f(x)=loga9-ax,g(x)=logax2-ax，若对任意x【解题思路】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.【解答过程】根据题意可得只需fx1min≥gx2min即可，由题可知a为对数底数且9-a2>0⇒0<a<1或1<a<3.当0<a<1时，此时f(x),g(x)在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知f(x)在1,2上单调递减，g(x)在3,4上单调递减，所以fx1min=f(2)=loga(9-a2)，gx2min=g(4)=loga(16-4a)，所以log故答案为：0,1∪41．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知函数f(x)=5cos(ωx+π6)(ω>0)在-2,2上恰有2个零点，则ω【解题思路】根据给定条件，求出相位的范围，再按余弦函数零点分布情况分类求解作答.【解答过程】由x∈-2,2且ω>0，得ωx+若fx在-2,0上无零点，则fx在0,2上恰有2个零点，则若fx在-2,0上恰有1个零点，则fx在0,2上恰有1个零点，则π2若fx在-2,0上恰有2个零点，则fx在0,2上无零点，则所以ω的取值范围为[π故答案为：[π42．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，f(x)满足f(x+π3)=f(π3-x)，f(-π3)=0【解题思路】根据函数f(x)的对称轴以及f(-π3)=0可求得ω,φ关于正整数k的表达式，根据f(x)在区间(π18,π【解答过程】因为f(x)满足f(x+π3)=f(π3-x)，故-π3ω+φ=k1则ω=32k+14,φ=k且k,k又f(x)在区间(π18,π6故要求ω的最大值，需使(π所以π6-π18=当k=23时，ω=1414，k'为奇数，0<φ<此时1414当1414x0+3π4当k=22时，ω=1354，k'为偶数，0<φ<此时1354当1354x0+π4等于当k=21时，ω=1294，k'为奇数，0<φ<此时1294当1294x0+3π由于ω=32k+14，即ω故ω的最大值为1294故答案为：129443．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与时间①A=2.4,ω=π②点P第一次到达最高点需要的时间为103③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是403④若ht在0,a上的值域为0,3.6，则a的取值范围是20其中所有正确结论的序号是①④.【解题思路】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断①；根据旋转角度即可判断②和③；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断④.【解答过程】对于①，因为筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2所以点P距离水面的高度h的最值为hmax=1.2+2.4=3.6=A+Kh因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以T=603=20因为ht=2.4sin又因