吉林省长春市九台区第四中学2025届高考数学倒计时模拟卷含解析

吉林省长春市九台区第四中学2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A． B．2 C． D．12．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（）A． B．9 C．7 D．3．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于5．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．的值域是 B．是奇函数C．是周期函数 D．是增函数6．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()A． B． C． D．7．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知直线与直线则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．11．已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为()A． B．C． D．12．函数f(x)=2x-3A．[32C．[32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．14．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体的外接球的体积为__________．15．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______.16．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，且的解集为.（1）求实数，的值；（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.18．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．19．（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=1．（I）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：…，求{bn}的前n项和．20．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．21．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．22．（10分）在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率，则，，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.2、B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．3、D【解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.4、D【解析】

试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．5、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.6、C【解析】

根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，，解得，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.7、D【解析】

设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．【详解】设，因为，所以，所以，解得：，所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．8、C【解析】

方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.【详解】方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，则，所以，又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，所以，所以．方法二：抛物线的准线方程为，直线由题意设两点横坐标分别为，则由抛物线定义得又①②由①②得.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.9、B【解析】

利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若，则，故或，当时，直线，直线，此时两条直线平行；当时，直线，直线，此时两条直线平行.所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件，当时，可以推出，故“”是“”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.10、B【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.11、C【解析】

设，，则，，相减得到，解得答案.【详解】设，，设直线斜率为，则，，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12、A【解析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．14、【解析】

将四面体补充为长宽高分别为的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线，所以球半径为，体积为.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.15、【解析】

取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点，连接，，依题意可得，，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，，，因为，所以直线与所成的角为，设，则，，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16、【解析】

设正四面体的棱长为，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解．【详解】解：设正四面体的棱长为，则底面积为，底面外接圆的半径为，高为．∴正四面体的体积，圆柱的体积．则．故答案为：．【点睛】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】

（1）解绝对值不等式得，根据不等式的解集为列出方程组，解出即可；（2）求出的图像与直线及交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.【详解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.过点向引垂线，垂足为，则.化简得：，（舍）或.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.18、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，（3）由（2）得到时，，，求得，再代入证明。【详解】（1）解：令可得，即．所以．时，可得，当时，所以．显然当时，满足上式．所以．，所以数列是等差数列，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，恰为与的等比中项，所以，解得，所以（3）时，，，而时，，，所以当时，.当时，，∴对任意，都有，【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，19、（I）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设．由,可得．由，得，可得．所以．可得．（Ⅱ）设，则.即，可得，且．所以，可知．所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．所以前项和．考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式．20、（1）见解析（2）【解析】

（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到，问题得证；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）因为平面，所以，又因为，，，所以，因此，所以，因此平面，所以，从而，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，平面的法向量，设平面的法向量，由，由，令，即，所以，，所以，所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；