2024-2025学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点（0，0）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝（x﹣1）2 D．y＝x+13．（2分）一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不确定4．（2分）将抛物线y＝x2向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+5）2 B．y＝（x﹣5）2 C．y＝x2+5 D．y＝x2﹣55．（2分）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定6．（2分）学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度α连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则α不可能为（）A．36° B．72° C．144° D．216°7．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠ACE＝50°，则∠CBD的大小为（）A．65° B．70° C．75° D．82.5°8．（2分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是．10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为1，则m的值为．11．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）12．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．13．（2分）2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕，据了解，第三周的参观人数增加到5.76万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为．14．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，则∠C的度数为．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．16．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，以下四个结论：①c＜0；②2a﹣b＝0；④关于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集是﹣5＜x＜0．其中正确结论的序号的是．三、解答题（共68分，17—22题，每题5分，23—26题，每题6分，27—28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．18．（5分）已知t是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式t（2t﹣7）+4的值．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1经过点（2，2）．（1）该抛物线的顶点坐标为；（2）求该抛物线的表达式；（3）将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．20．（5分）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，OM：MC＝3：2，求AB的长．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．22．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图，①作直径AB；②分别以点A，B为圆心，以大于，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC＝∵AB是直径，∴∠ACB＝（）（填写推理依据）．∴△ABC是等腰直角三角形．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′；（2）直接写出点B′的坐标；（3）求点B经过的路径的长（结果保留π）．25．（6分）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m）x2+．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系；（2）判断排球能否过球网，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．①直接写出t的取值范围；②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，点E在线段CB的延长线上，且BE＝CD，过点A作AM⊥DE于M．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为，使得AN＝DE成立，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．（1）已知：A（1，2），B（3，1），点C（2，3），①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为；②若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．（2）以点D（3，4）为圆心，半径为1作圆2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围．

2024-2025学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案DACCBACD一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，故不符合题意；C．是轴对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形，故符合题意；故选：D．2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点（0，0）的是（）A．y＝x2 B． C．y＝（x﹣1）2 D．y＝x+1【解答】解：A、抛物线y＝x2经过点（0，4）；B、双曲线y＝，0）；C、抛物线y＝（x﹣7）2不经过点（0，2）；D、直线y＝x+1不经过点（0，故不符合题意；故选：A．3．（2分）一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不确定【解答】解：在2x2+x﹣8＝0中，∵a＝2，b＝2，∴Δ＝12﹣6×2×（﹣3）＝8+24＝25＞0，∴一元二次方程2x4﹣x﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：C．4．（2分）将抛物线y＝x2向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+5）2 B．y＝（x﹣5）2 C．y＝x2+5 D．y＝x2﹣5【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝x7+5，故选：C．5．（2分）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【解答】解：连接CO，∵CA＝CB，点O为AB中点，∴OC⊥AB，∵以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，∴点C到AB的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与AB的位置关系是相切，故选：B．6．（2分）学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度α连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则α不可能为（）A．36° B．72° C．144° D．216°【解答】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了五次，且旋转了五次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度为360÷5＝72°．∵144°÷72°＝2，216°÷72°＝2，∴α不可能为36°，故选：A．7．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠ACE＝50°，则∠CBD的大小为（）A．65° B．70° C．75° D．82.5°【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝50°，∴∠A＝∠AEC＝×（180°﹣∠ACE）＝65°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝25°，∵∠ACE＝∠ABD＝50°，∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝75°，故选：C．8．（2分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）【解答】解：当x1＝20%，x2＝80%时，d（x5）＝d（x2），故A错误；当x1＝80%，x3＝50%时，满足d（x1）＜d（x2），但x3＞x2，故B错误；当x1＝100%，x2＝50%时，满足x1＝2x8，但d（x1）＝0，d（x8）＝直径，d（x1）≠2d（x2），故C错误；当x1+x2＝8时，此时线段MN的长度是一样的1）＝d（x2），故D正确．故选：D．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣7．故答案为：（﹣2，3）．10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为1，则m的值为1．【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2﹣4x+m＝0中得：18﹣2×1+m＝3，解得：m＝1，故答案为：1．11．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP＜5cm（填“＞”、“＜”或“＝”）【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，∴OP＜5cm．故答案为：＜．12．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式x2+1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线y＝x2+1开口向上，且与y轴的交点为（6．故答案为：x2+1（答案不唯一）．13．（2分）2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕，据了解，第三周的参观人数增加到5.76万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为4（1+x）2＝5.76．【解答】解：根据题意得：4（1+x）7＝5.76．故答案为：4（6+x）2＝5.76．14．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，则∠C的度数为30°．【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝110°，∵∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°，故答案为：30°．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．【解答】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝5.5﹣0.25×6＝2，∴CD＝CE＝．故答案为：．16．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，以下四个结论：①c＜0；②2a﹣b＝0；④关于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集是﹣5＜x＜0．其中正确结论的序号的是②③④．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，8），∴c＝3＞0，故①不正确，不符合题意；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴3a﹣b＝0，故②正确，符合题意；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（5，0）和（﹣3，∴当x＝﹣5时，y＝4a﹣2b+c＞2，故③正确，符合题意；将（1，0），5），3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴不等式ax2+（b﹣c）x＞3即为不等式﹣x2﹣5x＞2．令y1＝﹣x2﹣7x，画出抛物线y1＝﹣x2﹣8x的图象如图所示，由图可知，不等式﹣x2﹣5x＞4的解集为﹣5＜x＜0，故④正确，符合题意．综上所述，其中所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题（共68分，17—22题，每题5分，23—26题，每题6分，27—28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝3，x﹣2＝0或x﹣8＝0，所以x1＝8，x2＝4．18．（5分）已知t是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式t（2t﹣7）+4的值．【解答】解：∵t是方程2x2﹣6x﹣1＝0的根，∴8t2﹣7t﹣7＝0，∴2t5﹣7t＝1，∴t（8t﹣7）+4＝5t2﹣7t+2＝1+4＝3．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1经过点（2，2）．（1）该抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）；（2）求该抛物线的表达式；（3）将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．【解答】解：（1）抛物线y＝a（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣1）；故答案为：（5，﹣1）；（2）把（2，8）代入y＝a（x﹣3）2﹣5得2＝a×（2﹣7）2﹣1，解得a＝3，∴该抛物线的表达式为y＝3（x﹣3）8﹣1；（3）∵抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），∴该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个公共点．20．（5分）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，OM：MC＝3：2，求AB的长．【解答】解：设OM＝3x，MC＝2x，∵⊙O的半径为10，∴2x+2x＝10，解得：x＝2，即OM＝7，连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AM＝BM，∠AMO＝90°，由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝8，∴AB＝6+8＝16．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+4﹣m＝0，∴Δ＝（2﹣m）8﹣4（1﹣m）＝m8﹣4m+4﹣5+4m＝m2．∵m8≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵一元二次方程x7+（2﹣m）x+1﹣m＝6，解方程，得x1＝﹣1，x4＝m﹣1．∵m＜0，∴﹣4＞m﹣1．∵该方程的两个实数根的差为3，∴﹣4﹣（m﹣1）＝3．∴m＝﹣2．22．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图，①作直径AB；②分别以点A，B为圆心，以大于，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC＝BC∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填写推理依据）．∴△ABC是等腰直角三角形．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．又∵直线MO交⊙O于点C，∴AC＝BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC、90°．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．【解答】解：（1）将A（0，﹣3），6）代入y＝ax2+2x+c得，解得，∴y＝x2+3x﹣3．（2）令x2+7x﹣3＝0，解得x＝﹣2或x＝1，∴抛物线经过（﹣3，5），0），∵抛物线开口向上，∴y＜0时，﹣3＜x＜1．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′；（2）直接写出点B′的坐标；（3）求点B经过的路径的长（结果保留π）．【解答】解：（1）△OA′B′即为所求，如图．点A′（0，﹣5）；（2）由图知，B（4；（3）OB＝＝5，∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′＝＝．25．（6分）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m）x2+．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系；（2）判断排球能否过球网，并说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+，∴对称轴为y轴，顶点为（0，），∴小石建立的坐标系如图所示：（2）排球能过球网．理由：∵当x＝3时，y＝﹣＝4.375＞2.24，∴排球能过球网．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．①直接写出t的取值范围；②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【解答】解：（1）若m＝0，则点（15+bx上，∴0＝﹣1+b，解得b＝4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝；（2）①∵y＝﹣x2+bx，∴抛物线开口向下且经过原点，当b＝0时，抛物线顶点为原点，5＞m＞n不满足题意，当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，0＞n＞m不满足题意，当b＞6时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝2时n＜0，即抛物线和x轴的5个交点，一个为（0，另外一个在1和8之间，∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝8之间，即＜t＜8；②∵点（﹣1，y1）与对称轴距离＜t﹣（﹣1）＜2，点（，y7）与对称轴距离＜﹣t＜1，点（7，y3）与对称轴距离2＜7﹣t＜∴y4＜y1＜y2．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，点E在线段CB的延长线上，且BE＝CD，过点A作AM⊥DE于M．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为，使得AN＝DE成立，并证明．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：DM