2025年中考数学思想方法复习【数形结合】函数图象中的数形结合思想（解析版）

函数图象中的数形结合思想

知识方法精讲

1.两点间的距离公式

两点间的距离公式：

设有两点/（XI,yi）,B（X2,>2）,则这两点间的距离为48=J（X]-X2）2+。]-（2）2,

说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.

2.动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中

的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

3.一次函数图象与几何变换

直线（kWO,且左，b为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b,即y=-依-6；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y=k（-x）+b,即y=-kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b,BPy=kx-b.

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

4.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=Ax+6的值大于（或小于）。的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=fcc+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式fcc+6>0（或<0）

对应一次函数它与x轴交点为（-2，0）.

k

当左>0时，不等式fcv+b>0的解为：工，不等式fci+bVO的解为：x<-A；

kk

当人<0,不等式依+6>0的解为：X<上，不等式依+6<0的解为：x>上.

kk

5.一次函数与二元一次方程（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为"+6=0（a,

6为常数，。片0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，

求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与x轴交点的横坐标

值.

（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

元一次方程一次函数

表达式:ax+6y+c=0_'''--匕'

DD

图象上的坐标点am.n）,J（

方程的解:x=m・y=n

Um为横坐标.n为总坐标

m.。*齐实教（m.n）表示平面内一个点

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为

二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义.

6.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数〉=%x和反比例函数y=丝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为:

X

①当k\与fo同号时，正比例函数〉=所％和反比例函数歹=奥■在同一直角坐标系中有2个

x

交点；

ko

②当h与上异号时，正比例函数和反比例函数y=—当在同一直角坐标系中有0个

x

交点.

7.二次函数的图象

（1）二次函数（aWO）的图象的画法：

①列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在

顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序

用平滑的曲线连接起来.画抛物线QWO)的图象时，还可以根据它的对称性，先用

描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数yuad+fer+c(aWO)的图象

二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的图象看作由二次函数y=o?的图象向右或向左平移|上_|

2a

个单位，再向上或向下平移|个单位得到的.

8.二次函数的性质

2

二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的顶点坐标是(-3_4ac-b),对称轴直线x=-&

2a4a2a

二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线y=a/+6x+c(aWO)的开口向上，x<-且时，y随x的增大而减小;

2a-

2

X>一旦时，夕随X的增大而增大；x=--L时，y取得最小值立*一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线(QWO)的开口向下，X<-时，y随工的增大而增大;

2a

2

时，y随X的增大而减小；x=-M时，y取得最大值,420一，即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线ynad+bx+cCaWO)的图象可由抛物线>=办2的图象向右或向左平移|-生_|个单

2a

位，再向上或向下平移了a；个单位得到的.

9.二次函数图象上点的坐标特征

2

二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象是抛物线，顶点坐标是(-上一，二c-b一).

2a4a

①抛物线是关于对称轴x=-梃成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足

函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与》轴交点的纵坐标是函数解析中的C值.

③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(XI,0),(X2,0),则其

对称轴为x=红？2.

2

10.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

11.抛物线与X轴的交点

求二次函数y=ax2+6x+c（a,6,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=0,BPa^+bx+c

=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数〉=62+区+。（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+6x+c=0

根之间的关系.

△=房-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=庐-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=庐-4℃=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=庐-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛

物线与x轴的交点坐标（XI,0）,（X2,0）.

12.二次函数与不等式（组）

二次函数y=ax2+6x+c（a>b、c是常数，aNO）与不等式的关系

①函数值y与某个数值/之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围.

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

13.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

14.数形结合思想

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直

观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用

了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函

数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显

的几何意义。如等式。

3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形

结合的重点是研究“以形助数”。

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、

最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理,

大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要

争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

一.选择题（共5小题）

1.（2021秋•庄河市期末）已知°片0,函数y=ax与y=-ox?+。在同一直角坐标系中的大

xx

C.D.

【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质

【分析】分。>0和“<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.

【解答】解：当。>0时，函数y=ox的图象位于一、三象限，了=-办2+。的开口向下，交

y轴于正半轴，/选项符合；

当a<0时，函数y="的图象位于二、四象限，了=-办2+。的开口向上，交y轴于负半轴,

没有符合的选项.

故选：A.

【点评】本题考查了正比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系

数的符号确定其图象的位置，难度不大.

2.（2020秋•青岛期末）如图，函数/=依+6（左片0）与夕='（相片0）的图象交于点/（2,3）,

X

5（-6,-1）,则不等式履+6>'的解集为（）

A.x<-6或0cx<2B.-6<x<0或x>2C.x>3或一l〈x〈0D.x>2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】不等式区+6>'的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方

X

时的自变量的取值范围.

【解答】解：•.•函数y=H+6（左片0）与了=%（〃-0）的图象相交于点/（2,3）,5（-6,-1）,

二.不等式履+6〉％的解集为：x>2或-6Vx<0,

x

故选：B.

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应

用.

3.（2021秋•金安区期中）如图，在矩形中，48=4,/。=8,点M从点B出发,

以每秒1个单位的速度沿着3f4f。运动，同时点N从点C出发，以每秒2个单位的速

度沿着CfDf运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设59加=5,时间

为［s),则S与f之间的函数图象大致为()

【考点】动点问题的函数图象

【分析】利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论解答：①(MW，②2＜f＜4,③4寸力，

④6＜会；依据♦的取值范围画出对应的图形，求出对应的函数解析式，根据解析式的大致

图象即可得出结论.

【解答】解：①当时，此时，点”在48上，点N在CO上，

由题意得：CN=2t,

DN=CD-CN=4-2t.

.•.S=；DN.NO=；x(4-2/)x8=16-87.

•・•0,

此时函数的图象是以(0,16)和(2,0)为端点的线段；

②当2＜，＜4时，此时点M在48上，点N在4。上，如图，

B

由题意得：DN=2t—4,MB=t.

AM=AB-BM=4-t,

11

...S.ON./M=Q-4)(4-)=-r9+6"8=-3)29+1.

2</<4,

.•.此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线y3的抛物线的一段;

③当4vb时，此时点"，N均在线段/。上，

此时s=0,函数图象为x轴上以(4,0)和(6,0)为端点的线段；

④当时，此时点M在线段4D上，点N在线段48上，如图,

:.DM=AD-AM=U-t.

11,

:.S=-DM-AN=-(]2-。⑵-12)=-〃+18-72.

6<，

.•.当t=8时，S=8.

二.此时的函数的图象是抛物线S=-产+1&-72上以(6,0)和(8,8)为端点的一段.

综上，符合上述特征的函数图象为8,

故选：B.

【点评】本题主要考查了动点问题函数的图形，利用分类讨论的方法求出相应的函数的解析

式是解题的关键.

4.数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=/+l与y=3的

X

交点的横坐标X。的取值范围是()

A.0<x0<1B.1<x0<2C.2<x0<3D.-1<x0<0

【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象

【分析】建立平面直角坐标系，然后利用网格结构作出函数V=Y+1与的图象，即可

得解.

【解答】解：如图，函数了=Y+i与>=3的交点在第一象限，横坐标七的取值范围是

X

1<x0<2.

【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，准确画出大致函数图象是解题的关键,

此类题目利用数形结合的思想求解更加简便.

5.如图，直线>=履+6交坐标轴于/（-3,0）、8（0,5）两点，则不等式一区一6<0的解集为（

【考点】一次函数与一元一次不等式

【分析】首先根据不等式的性质知，不等式-6<0的解集即为不等式b+6>0的解集，

然后由一次函数的图象可知，直线>=履+6落在x轴上方的部分所对应的x的取值，即为不

等式质+6>0的解集，从而得出结果.

【解答】解：观察图象可知，当x>-3时，直线y=fcc+6落在x轴的上方，

即不等式kx+b>0的解集为x>-3,

*.*—kx—6<0

:.kx+b>Q,

-kx-b<0解集为x>-3.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题

关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合.

二.填空题(共17小题)

6.(2020秋•张店区期末)如图，直线y=办+6与x轴交于N点(4,0),与直线y=交于2

【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质

【分析】由图象可知直线y=ox+6与直线>=〃式的交点是2(2,〃)，则可求方程的解.

【解答】解：•.•3(2,〃)是直线y=ax+6与直线y=的交点，

二一元一次方程"+6=mx的解为x=2,

故答案为：x=2.

【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一元一次方程与一次函数的关系，数

形结合解题是关键.

7.(2021秋•崇川区校级月考)如图，若反比例函数必=«与一次函数%="+6的图象交

于/(2,%)、两点，则不等式巾+6>4的解集为_-l<x<0或x>2_.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等

式的解集.

【解答】解：观察函数图象，发现：当-2<x<0或x>l时，一次函数图象在反比例函数图

象的下方，

贝IJ不等式ax+6>—的解集是一l<x<0或x>2.

X

故答案为：-l<x<0或x>2.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上

下位置关系解不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的

上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键.

8.(2021秋•天长市月考)已知，在同一坐标系中二次函数必="2+6x+c与一次函数

+〃的图象如图，它们相交于点8(0,2),C(3,8),抛物线的顶点。(1,0),直线8c交

x轴于点A.

(1)当必<%时，x的取值范围是—0<x<3—.

(2)当弘力>0时，x的取值范围是.

【考点】二次函数与不等式(组)；抛物线与x轴的交点

【分析】(1)观察图象，即可得出答案；

(2)先求出点/的坐标，再结合图象，即可得出答案.

【解答】解：(1)•.・在同一坐标系中二次函数必=o%2+bx+c与一次函数%=/x+"的图象

如图，它们相交于点3(0,2),C(3,8),

二当功<%时，x的取值范围是0<x<3,

故答案为：0<x<3.

(2)♦.♦一次函数%KS+”的图象经过点3(0,2),C(3,8),

{n=\

[3m+〃=4

解得:

n=\

y2=x+l，

当y=0时，x+l=O,

解得：x=-1,

必%>0，

yi>%异号，

•在同一坐标系中二次函数必-ax2+6x+c与一次函数为=mx+n的图象相交于点8(0,2),

C(3,8),抛物线的顶点。(1,0),直线3C交x轴于点N(-l,0),

.,.当弘%>0时，x的取值范围是x>-l且xwl.

【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与不等式的关系，一次函数图象和

性质，学会观察图象，运用数形结合思想是解题关键.

9.(2021秋•黔西南州期中)如图，抛物线y=f在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵

坐标都为整数的点)依次为4,4,4,…4,将抛物线>=/沿直线/；>=x向上平移,

得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点“厂M2,M3,都在直线y=x

上；②抛物线依次经过点4，4，4，…，4，则顶点“2021的坐标为—(4041,4041)

L

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变

换；规律型：点的坐标；二次函数的性质

【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点4的坐标为(〃，/)，设点的坐

标为(a,°),则以点M“为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a,由点4的坐标利用待定系

数法，即可求出。值，将其代入点"”的坐标即可得出结论.

【解答】解：••・抛物线歹=尤2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)

依次4，^2，，...，4“，...,

.,.点4的坐标为(〃,〃2).

2

设点Mn的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)+a,

•.,点4,(凡"2)在抛物线y=(x-a)2+a上，

n2=(M-a)2+a,

解得：a=2〃—1或a=0(舍去)，

Mn的坐标为(21,21),

:.M2O2l的坐标为(4041,4041).

故答案为：(4041,4041).

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数

法求二次函数解析式，根据点4的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键.

10.(2021秋•宜州区期中)已知二次函数〉=亦2+酗+。的图象如图所示，贝IJ方程

ax2++c=0的两根之和是2

【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系

【分析】由二次函数的图象可知了="2+法+。=0(0w0)和工轴交点横坐标分别为-1和3,

进而可求出方程ax?+6x+c=0的两根之和.

【解答】解：由图象可知y=ax?+bx+c=O(aW0)和x轴交点横坐标分别为-1和3,

方程ax?+bx+c=Q的两根之和为-1+3=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的

关系是解答此题的关键.

11.(2021秋•台州期中)如图，“心”形是由抛物线夕=-/+6和它绕着原点O,顺时针旋

转60。的图形经过取舍而成的，其中点C是顶点，点N,8是两条抛物线的两个交点，点£,

F,G是抛物线与坐标轴的交点，则48=_6G_,FG=,CE=.(写出其中

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物

线与X轴的交点

【分析】如图1,连接OD,过点3作瓦/10C于点8,设比/，则03=2°,可得2(°,风),

根据抛物线>=-炉+6经过点8,建立方程可求得N3；由抛物线了=-/+6绕着原点。，

顺时针旋转60。的图形与x轴交于点G,ZBOG=60°,可得G(26,0),再令y=0,可

求得尸,0),即可求出尸G；如图2,设点E的坐标为(0J),设点E旋转前的点为

则。”=/,过点M作血轴于点N,可得出点M的坐标为(1-/,-万。，代入抛物线

>=_f+6,即可求得答案.

【解答】解：如图I,连接。£),过点2作8〃_L0C于点”，

•.•抛物线了=-f+6和它绕着原点。，顺时针旋转60。的图形交于/、3两点，

ZCOD=60°,C、。关于直线对称，

ZCOB=ZBOD=30°,

■：ZOHB=90°,

OB=2BH,设BH=a,贝U=2a,

OH—VOB2—BH2—-J(2a)2—a2=\[?>a,

B(a,s/3a),

•.・抛物线了=-V+6经过点8,

s/3u=—a~+6,

解得：0=6或一，

B(也，3),/(-2百，-6),

AB=7(-2V3-73)2+(-6-3)2=60,

•.•抛物线了=-d+6绕着原点。，顺时针旋转60。的图形与x轴交于点G,ZBOG=60°,

OG=OB=7(V3-0)2+(3-0)2=2V3,

GQ6,0),

在y=-x2+6中，令y=0,贝！|x=±V6，

/.F(―,0)f

FG=2y/3-(-V6)=2用#,

如图2,设点E的坐标为（0,。，设点E旋转前的点为M,则=

过点M作MN1x轴于点N，

ZMOE=60°,AMON=30°,

1h

:.MN=—t,ON=—t,

22

.•.点M的坐标为(^-t,--t),

二,点M《t,—g。在抛物线＞=—Y+6上,

--r=-(—02+6,

22

解得：”上工亘，

3

.•.点E的坐标为(0,1一，),

•・•C(0,6),

,「口,1-V73历+17

..CE—6-------------------------,

33

故答案为：673,2V3+V6,阮+17.

图2

图1

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，两点之间距离公式，直角三角形

性质，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和方程思想.

4

12.（2021•福州模拟）在平面直角坐标系中，己知点尸（见2-加），点。（〃,一），则线段尸。的

长度的最小值是—亚

【考点】勾股定理；两点间的距离公式

【分析】根据点的坐标可知点P在直线y=-x+2上运动，点。在双曲线夕=±上运动，则

根据图象的对称性可知：作直线y=x交图象与尸、。点，此时尸。最小，即可解决问题.

【解答】解：；尸（见2-加），点0（〃,3）,

4

点尸在直线y=-x+2上运动，点。在双曲线》=一上运动,

根据图象的对称性可知：作直线y=x交图象与尸、0点，此时尸。最小,

.•.0(2,2),尸(1,1),

尸。最小值为亚，

故答案为：41■

【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，反比例函数和一次

函数图象的轴对称性等知识，利用数形结合思想是解题的关键.

13.(2021秋•江汉区校级月考)抛物线的部分图象如图所示，则当夕<0时，x的取值范围

是—x<-l或x>3—.

x

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质

【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为X=l，从而可得到抛物线与X轴的另一个交点

坐标为(-1,0),y<0,找出抛物线位于X轴下方部分X的取值范围即可.

【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=l,抛物线与x轴一个交点的坐标

为(3,0),

由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).

y<Q,

x<—1或x>3.

故答案为：x<-l或x>3.

【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两

个交点的坐标是解题的关键.

14.(2021秋•姑苏区期中)如图①，在平面直角坐标系中，点/、C分别在y轴和x轴上,

4B//X轴，cos3=g.点P从B点出发，以lc〃?/s的速度沿边A4匀速运动，点。从点/出

发，沿线段/O-OC-C5匀速运动.点P与点。同时出发，其中一点到达终点，另一点也

随之停止运动.设点P运动的时间为f(s),A5P。的面积为S(q"2),已知S与/之间的函数

关系如图②中的曲线段OE、线段E尸与曲线段尸G.以下说法正确的是(填序号)

①点0的运动速度为3"i/s；

②点B的坐标为(9,18)；

Q

③线段EF段的函数解析式为S=-t-,

2

④曲线尸G段的函数解析式为S=-，/+%；

⑤若NBPQ的面积是四边形OABC的面积的,贝时间f=/或公”士普.

图①图②

【考点】动点问题的函数图象

【分析】结合函数图象得出当3秒时，BP=3,此时ASP。的面积为13.50小，进而求出NO

为9cm,即可得出。点的速度，进而求出的长即可，进而判断①②；过点。作四_L48

于点根据三角形的面积公式可表达此时的S,进而判断③；画出图形可得出依=/,

?9

50=30-3/,则0M=1(30-3/)=18-1/,求出即可面积可判断④；首先得出ASP0的面

积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断⑤.

【解答】解：由题意可得出：当3秒时，A3P0的面积的函数关系式改变，则0在/。上运

动3秒，

当3秒时，BP=3,此时ASP。的面积为13.5c/,

AO为9cm,

.•.点。的运动速度为：9+3=3(CM/S),故①正确；

当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO=6cw,

4

,/cosB=一,

5

二.可求出N8=6+12=18(5。，

.•.5(18,9)；故②错误;

当点。在OC上时，如图，。”_1/8于点出，

y(cm)

如图，PB=t,50=30—3/,过点。作于点

39

贝I」QM=W（30_3，）=18_?,

ioo

二•SAPS。=2*18-《，）=_历»+%（5JJO）,

Q

即曲线尸G段的函数解析式为：S=--t2+9t；故④正确；

10

.•.S.3=；（6+18）X9=108,

,-.5=-X108=12,

9

当0<，<3时，S=-t2,S=12时，1=2后或—2后（舍弃），

2

9

当5</<10时，12=--/+%；；

10

解得彳J5+VI而或15-丽（舍弃），

33

综上所述：1=2血或公”士咨，A5P。的面积是四边形043c的面积的：.故⑤错.

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解

析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题,

属于中考压轴题.

15.（2021春•花都区期末）已知一次函数＞=履+6的图象如图所示，则关于x的不等式

【考点】■次函数与元一次不等式；一次函数的图象

【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以得到不等式日+A4的解集，本题得以解决.

【解答】解：由图象可得，

当y=l时，夕=丘+6对应的自变量x的值是1,该函数图象y随x的增大而增大，

不等式Ax+A耳的解集为,

故答案为：.

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答

问题是解答本题的关键.

16.（2021•阜宁县二模）已知一次函数y=+6的图象如图所示，则关于x的不等式

【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到6=4后，k＜0,解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得，一次函数＞=履+6的图象经过（-4,0）,左＜0,

-4k+6=0,

/.b=4k,

不等式可化为：2丘-4左＜0,

解得，x＞2,

故答案为：x>2.

【点评】本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不

等式的解法是解题的关键.

17.（2021春•罗湖区校级期末）如图，若直线y=丘+6经过4,8两点，直线y=经过

【考点】一次函数与一元一次不等式

【分析】观察函数图象得到当x>1时,直线y=kx+b都在直线y=mx的上方，即丘+6>mx.

【解答】解：当x>l时，kx+b>mx,即关于x的不等式履+6>/nr的解集为x>1.

故答案为x>l.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式从函数的角度看，就是寻求使一次函数

>="+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线>=履+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

18.（2020•浙江自主招生）如图，抛物线>=!/一7》+竺与x轴交于点4,B,把抛物线

22

在x轴及其下方的部分记作G,将G向左平移得。2，与x轴交于点3，D.若直线

17Q5

y=—x+/与G，共有3个不同的交点，则〃7的取值范围是―—上<加<-±_.

282

【考点】抛物线与X轴的交点；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换；二

次函数的性质

【分析】先由题意得关于X的一元二次方程，从而求得点3和点/的坐标；再得出平移后的

解析式；然后分两种情况得出临界值：当直线y+加过8,有2个交点；当直线

2

>=；》+〃?与抛物线。2相切时，有2个交点；最后根据图形得出符合题意的取值范围即可.

【解答】解：•••抛物线=、竺与轴交于点/,

y2-7x+XB,

22

145

.,.令一X2-7XH----=0,解得：玉=5,x=9

222f

.­.5(5,0),4(9,0).

二.G向左平移4个单位长度得c2,

的解析式为：J=1(X-3)2-2,

当直线y=+m过B,有2个交点，

八55

0=—+冽,m=——；

22

当直线y=+与抛物线。2相切时，有2个交点，

11、2

TYI——(x-3)-2,

x2—7x+5—2m—0，

v相切，

.•.△=49—20+8冽=0

295

-----<m<——；

82

故答案为：-竺■<冽

82

【点评】本题主要考查了抛物线与'轴的交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本

题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.

19.（2021秋•揭东区期末）如图，直线4:y=x+2与直线（：了=履+6相交于点/机,4）,

则方程组卜二：+：的解是

[y=kx+b

【考点】一次函数与二元一次方程（组）

【分析】由两条直线的交点坐标（私4）,先求出加，再求出方程组的解即可.

【解答】解：・.・尸》=2经过尸（冽,4）,

4=加+2,

:.m=2，

二.直线4:y=x+2与直线4：y=税+J相交于点尸（2,4）,

x=2

y=4

x=2

故答案为

y=4

【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是

理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型.

20.（2021秋•青岛期末）如图，一次函数y=+6与y=x+2的图象相交于点尸（加,4）,则

方程组/=：+：的解是—

[y=kx+b

【考点】一次函数与二元一次方程（组）

【分析】由两条直线的交点坐标（私4）,先求出力，再求出方程组的解即可.

【解答】解：,.•y=x+2的图象经过尸（加,4）,

/.4=m+2，

..IYI=2,

.\一次函数〉=履+6与》=;（:+2的图象相交于点尸（2,4）,

>=：+2八的解是x=2

二方程组

y=kx+b>=4

故答案为.

1»=4

【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是

理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标.

21.（2021春•营口期末）如图，直线必=x+6与％=丘-1相交于点尸，则关于x的不等式

【考点】一次函数与一元一次不等式

【分析】观察函数图象得到，当x>T,函数y=x+6的图象都在函数^=米-1图象的上方,

于是可得到关于x的不等式x+6>fcc-l的解集.

【解答】解：当x>T,函数夕=x+6的图象在函数y=Ax-l图象的上方，

所以关于x的不等式x+6>kx-\的解集为x>-1.

故答案为x>-l.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数

>=赤+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直

线>=依+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

22.（2021春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，函数y=丘和y=-x+6的图象，如

图所示，则不等式fcv<-x+6的解集为x<1.

【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式

【分析】结合图象，写出直线>=依在直线y=-x+6下方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：如图所示：,一次函数y=Ax和y=-x+6的图象交点为(1,2),

二.关于x的一元一次不等式fcc<-x+6的解集是：x<l,

故答案为：x<l.

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解题是关键.

三.解答题(共6小题)

23.(2021•和平区一模)如图，抛物线>+*-豆，交>轴于点/,交x轴于2(-1,0),

C(5,0)两点，抛物线的顶点为。，连接/C,CD.

(1)求直线/C的函数表达式；

(2)求抛物线的函数表达式及顶点。的坐标；

(3)过点。作x轴的垂线交AC于点G,点H为线段CD上一动点，连接GH,将NDGH沿

翻折至ijAGM?(点R,点G分别位于直线CD的两侧)，GR交CD于点K,当AGHK为

直角三角形时.

①请直接写出线段J/K的长为_，—；

②将此RtAGHK绕点〃逆时针旋转，旋转角为戊(0。<£<180。)，得到AMW,若直线

分别与直线CD,直线。G交于点P,Q,当ADPQ是以尸。为腰的等腰三角形时，请直接

写出点尸的纵坐标为—.

备用图

【考点】二次函数综合题

【分析】(1)先根据抛物线交y轴于点/,求出点/坐标，再运用待定

系数法求直线4C的函数表达式即可；

(2)将8(-1,0),。(5,0)代入抛物线〉=犷2+/-b求出0,b,即可得抛物线解析式，

运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；

(3)①根据AG"为直角三角形，且点R,点G分别位于直线。的两侧，可分三种情况:

ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,经分析仅有ZGKH=90°符合题意，过点H作

血_1。6于点£,则HL=HK,先证明AGOKsACD尸，再运用面积法即可求出答案；

②由AZ)尸。是以P。为腰的等腰三角形，可分两种情况：PQ=DQ或PQ=DP,分别求出

点尸的纵坐标即可.

【解答】解：(1)设直线NC的函数表达式为：y=kx+c,

•.,抛物线卜=办2+6x-§,交y轴于点/,

...4(0,_争,

将/(0,-三)，C(5,0)分别代入〉=依+£：,

20

得：,二一丁，

5左+c=0

解得：9,

20

c=---

I9

直线4c的函数表达式为：=,

99

(2)・・•抛物线》="2+氏一三经过5(7,0),。(5,0)两点,

720八

a-b-----=0

9

20

25。+56——=0

9

a=——

解得：9

6」

9

，抛物线的解析式为尸学9得,

416204,2，

•/y=—x2-----x------=—(x-2)-4,

9999

二顶点。的坐标为(2,-4)；

(3)①如图1,•.•△G”为直角三角形，且点R,点G分别位于直线。的两侧,

ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,

当NGE/K=90。时，NGHD=90。，点R落在直线。C上，不符合题意,

当ZHGK=90。时，ZDGH=ZHGK=90。，点尺，点G位于直线CD的同侧，不符合题意,

当NGK〃=90。时，点R,点G分别位于直线CD的两侧，符合题意,

ZGKH=90°,ZDGH=ARGH，

过点H作HL工DG于点L,则HL=HK,

•1•D(2,-4),DG_Lx轴,

4

，G(2,_§),"2,0),

48

r>G=---(-4)=-,C尸=5-2=