2025年中考数学技巧专项突破：二次函数选填压轴7类常考热点问题（原卷版）

专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题

如■/题型•解读!

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称2023年湖北省黄石市中考真题

轴）

2023年内蒙古呼和浩特市中考真题

2023年湖南省娄底市中考真题

【题型4】二次函数实际应用

2023年四川省达州市中考真题

2022•四川广安中考真题

2023年山东省烟台市中考真题

2023•湖北襄阳中考真题

2023年四川省遂宁市中考真题

2023•吉林长春中考真题

2022年辽宁省丹东市中考真题

2022•四川南充・中考真题

【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对

【题型】求参数的值或范围

称轴和交点坐标）5

2022年吉林省长春市中考真题

2023年黑龙江省牡丹江市中考真题

2023•湖北十堰中考真题

2023年四川省乐山市中考真题

2022•内蒙古呼和浩特中考真题

2023年四川省眉山市中考真题

2023年福建省中考真题

2023年辽宁省营口市中考真题

2022•湖南湘西中考真题

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题

2022•江苏盐城中考真题

2023年四川省广安市中考真题

2023年四川省南充市中考真题

2023年辽宁省丹东市中考真题

2023•浙江衢州中考真题

2023武汉市华中科技大学附属中学二模

2023年四川省泸州市中考真题

2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题

2022•山东济南中考真题

2022黑龙江省牡丹江市中考真题

2022•湖北荆门中考真题

【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没

给出图像）

【题型6】二次函数新定义问题

•四川凉山中考真题

20222023年山东省荷泽市中考真题

•湖北武汉中考真题

20232023•四川巴中中考真题

•湖北黄冈中考真题

20232023年四川省乐山市中考真题

•青海西宁・中考真题

2023【题型7】二次函数中的规律探究问题

2023年湖南省邵阳市中考真题

2023•山东东营•九年级校考广东梅州•九年级统考

2023•四川达州・统考二模2023下•河北石家庄•九年级统考阶段练习

■R/满分•技巧/

二次函数图像与系数凡b,C的关系

如图，二次函数v=+c的图象关于直线x=1对称，与1轴交于4(8,0),两点

考法解决方法本题结果

a:二次函数图像开口向上时，a>0;a>0

开口向下，则a<0,b<0

①a,b,cc<0

b:和a共同决定了函数对称轴的位

置，“左同右异”

c；c为图像和y轴交点的纵坐标

两个交点：b2-4ac<0b1-4ac<0

一个交点：b1-Aac=Q

②/-4ac

没有交点：b1-Aac>Q

③Q+Z?+C用特殊值进行判断：a+b+c<0

a-b~\-ca+b+c即为当产1时的函数值；Q—b+cVO

4Q+26+C4Q—2b+c为当x=-2时的函数值

只有*b时，用对称轴代换，消去

----=1,b—-2Q,

④3a+2Z?一个未知数进行判断2a

3a+2b-3a-4a--a>0

只有a,c或只有b,c时，先用对称TQ—b+cVO,.\a+c<b,Vcr>0,

⑤C+Q轴代换，消去一个未知数，然后利用.\b=—2a<0,1.Q+CVO

④中的结果判断结果

若c的系数不是1,可以先化成1再b=-2a|b+2c=2(-a+c)

@b+2c进行计算，或这把③中的某个式子中而—u=〃+6,

的c的系数变成题里的形式2(-a+c)=2(a+b+c)〈0

@am+bm同时加上c,am2+bm+c,a+b+cam^+bm^a+b

和Q+b的第一个式子是当x=m时的函数值，

大小关系第二个式子是当x=l时的函数值；

由图可知，x=l时函数取最小值

⑧(a+c)~b2―/=(4+6+c)(a+0—6)(〃+c)2—62—(6z+Z?+c)(4z+c-b)>0

®b2-4ac可以把代数式变成顶点的纵坐标公假如定点纵坐标小于一1,则竺曰iv-1,

4a

和4a的大式，顶点坐标（—2,空卫）22

2a4a4ac—b<-4afb—4ac>4a

小关系

⑩若给出国a,C的数量关系可以知道，可以判断关于a,b,c任意式子的正负

的值也可以求出以a,瓦c为参数的方程的根

即xx=—,进而可知a,b,c的关系

x2a

*w/核心•题型!

【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）

2023年湖南省娄底市中考真题

1.已知二次函数y=。尤2+6x+c的图象如图所示，给出下列结论：①a6c<0；@4a-2b+c>0；

③a-6>加（M+6）（%为任意实数）；④若点（-3,%）和点（3,%）在该图象上,则%.其中

正确的结论是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

2023年四川省达州市中考真题

2.如图，抛物线y=ax2+6x+c(a/,c为常数)关于直线x=l对称.下列五个结论：①%>0；

②2。+6=0；③4a+2b+c>0；®am2+bm>a+b■,®3a+c>0.其中正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

2023年山东省烟台市中考真题

3.如图，抛物线了=。/+法+。的顶点A的坐标为加］,与x轴的一个交点位于0合和1之间,

则以下结论：@abc>0；②26+c>0；③若图象经过点(—3,*),(3,%),则%>%；④若关于工

的一元二次方程a/+6x+c-3=0无实数根，贝I加<3.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

2023年四川省遂宁市中考真题

4.抛物线＞="2+及:+。（。*0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2.下列说法：①％＜0；

②c-3a＞0；③4a2_2ab，at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点/（再,入）和点5（%,%）,

当沉＜西＜x?＜加+3时，满足乂=%,则加的取值范围为-5＜加＜-2.其中正确的个数有（）

D.4个

2022年辽宁省丹东市中考真题

5.如图，抛物线y=ax2+6x+c（"0）与x轴交于点/（5,0）,与y轴交于点C,其对称轴为直线x

=2,结合图象分析如下结论：①%＞0；②6+3a＜0；③当x＞0时，夕随x的增大而增大；④

若一次函数（胖0）的图象经过点/,则点E（左，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的

=—.其中正确的有（）

6

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）

2023年黑龙江省牡丹江市中考真题

6.如图，抛物线y=a/+6x+c经过点（-2,0）,（3,0）.下列结论：①丝>0；②c=2b；③若抛物

C

线上有点]|■/],（-3,力），贝④方程£?+历：+0=0的解为国=；,

2023年四川省乐山市中考真题

7.如图，抛物线y=ax?+6x+o经过点/（-1,0）、5（加,0）,且1<加<2,有下列结论：①6<0；

②a+6>0；③0<a<-c；④若点在抛物线上，则%.其中，正确的

结论有（）

2023年四川省眉山市中考真题

8.如图，二次函数>=ax?+bx+c（a^Q）的图象与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

下列四个结论：①abc<0；®4a-2b+c<0；③3a+c=0；④当-3<x<l时，ax2+bx+c<Q;

其中正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

2023年辽宁省营口市中考真题

9.如图.抛物线了="2+4+4"0）与x轴交于点/（-3,0）和点3（1,0）,与y轴交于点C.下列说

法：①％<0；②抛物线的对称轴为直线x=-l；③当-3<x<0时，ax2+bx+c>Q;④当尤>1

时，y随x的增大而增大；⑤amfmWa-b（加为任意实数）其中正确的个数是（）

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题

10.如图，二次函数>="2+bx+c（a40）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（3,0）,对称轴为

直线x=l,结合图像给出下列结论：

®abc>0；®b=2a；③3a+c=0；

④关于x的一元二次方程a/+bx+c+k2-O（a0）有两个不相等的实数根；

⑤若点G"，%），（-〃z+2,%）均在该二次函数图像上，则必=%.其中正确结论的个数是（）

2023年四川省广安市中考真题

11.如图所示，二次函数y=ax?+6x+c(a、b、c为常数，的图象与x轴交于点

4(-3,0),3(1,0).有下列结论:①abc＞0；②若点(-2,%)和(-0.5,%)均在抛物线上,则弘＜%；

@5a-b+c=O；@4a+c＞0.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023年辽宁省丹东市中考真题

12.抛物线了="2+云+«,-0)与x轴的一个交点为4(-3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的

顶点，对称轴为直线x=-l,其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞。；②片(%,%),

尸"2，%)是抛物线＞=依240)上的两个点，若再＜工2，且毛+马＜-2,则必＜%；③在x

轴上有一动点尸，当PC+尸。的值最小时，则点P的坐标为④若关于x的方程

依2+可工一2)+。=-4(。*0)无实数根，则b的取值范围是6＜1.其中正确的结论有()

y.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023武汉市华中科技大学附属中学二模

13.二次函数〉=^2+云+。（存0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2,-9a）,下列结论：①

abc>0；②16a-46+c<0；③若方程ax2+6x+c=-1有两个根x/和小且x/<X2,则-5<x/<

X2<1;④若方程1ax2+6x+c|=l有四个根，则这四个根的和为-8.其中正确结论的是.

2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题

14.如图，抛物线y=ax2+fec+c（020）的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点坐标为

（-1,0））,下列结论:①%<0；②3。+。=0；③当>>0时,x的取值范围是-lVx<3；④点（-2,必）,

（2,%）都在抛物线上，则有弘<0<%.其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2022黑龙江省牡丹江市中考真题

15.如图，抛物线>="2+反+。（。。（））的对称轴是％=—2,并与x轴交于4,5两点，若OA=5OB,

则下列结论中：①abc>0；②（〃+c）2-/=（）；③9Q+4c<0；④若冽为任意实数，贝U

am2+bm+2b>Aa,正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）

2022•四川凉山中考真题

16.已知抛物线y=a/+6x+c（0片0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在〉轴的左侧，则

下列结论错误的是（）

A.。>0

B.a+b=3

C.抛物线经过点（一1,0）

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=—1有两个不相等的实数根

2023•湖北武汉中考真题

17.抛物线y=#+6x+c"c是常数,c<0）经过（1,1）,0,0）,（",0）三点,且"23.下列四个结

论：

①6<0；

②4ac-b2<4a;

③当"=3时，若点（2J）在该抛物线上，则”1；

④若关于x的一元二次方程a/+6x+c=》有两个相等的实数根，贝U0<mvg.

其中正确的是（填写序号）.

2023•湖北黄冈中考真题

18.已知二次函数%。/+法+（7（.<0）的图象与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴为直线x=l,

下列论中：①0-6+。=0；②若点（-3,必）,（2,%）,（4,%）均在该二次函数图象上，则必<%<%；

③若m为任意实数，则am2+bm+c<-4a;④方程ax?+6x+c+l=0的两实数根为三,三,且占<马，

则再<-1,不>3.正确结论的序号为（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④

2023•青海西宁•中考真题

19.直线必=ax+b和抛物线％="2+乐（a,b是常数，且an0）在同一平面直角坐标系中，直线

%=办+6经过点（-4,0）.下列结论：

①抛物线%=a^+bx的对称轴是直线龙=-2

②抛物线％=a?+6x与x轴一定有两个交点

③关于x的方程ax?+6x=ax+6有两个根国=-4,x2=1

④若a>0,当x<-4或尤>1时，yt>y2

其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

2023年湖南省邵阳市中考真题

20.已知4（王,%），4优,%）是抛物线y=a/+4ax+3（a是常数，。#0）上的点，现有以下四个结

论：①该抛物线的对称轴是直线》=-2；②点（0,3）在抛物线上；③若%>%>-2,则

④若弘=%，贝1］网+3=一2其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023年湖北省黄石市中考真题

21.已知二次函数>="2+为+C0/0）的图像经过三点/（小弘）,8G2，%）,。（-3,0）,且对称轴为直

线x=-l.有以下结论：①a+6+c=0；②2c+36=0；③当-2<须<-1,0<x2<10^,有必<%；

④对于任何实数左>0,关于x的方程"2+加+。=左（》+1）必有两个不相等的实数根.其中结论

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2023年内蒙古呼和浩特市中考真题

22.关于x的二次函数夕=机工2-6机x-5（〃iw0）的结论

①对于任意实数。，都有玉=3+。对应的函数值与迎=3-。对应的函数值相等.

②若图象过点/（再,%），点以X2，%），点C（2,-13）,则当%＞%＞苫时，匚上＜0.

2再一工2

4114

③若3VJCV6,对应的V的整数值有4个，则-§＜加4-］或

④当机＞0且"4x43时，-14＜y＜M2+1,贝|”=1.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型4】二次函数实际应用

2022•四川广安中考真题

23.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米.

2023•湖北襄阳中考真题

24.如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进,篮球出手后距离地面的高度y（m）

137

与篮球距离出手点的水平距离x（m）之间的函数关系式是了=-1。-5）2+5.下列说法正确的是

（填序号）.

①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m；②篮球出手点距离地面的高度为2.25m.

Ox

2023•吉林长春中考真题

25.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航

班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）.如

图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形

状相同的地物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口/、3的水平距离为80米时，两条水

柱在物线的顶点〃处相遇，此时相遇点〃距地面20米，喷水口/、3距地面均为4米.若两辆

消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口H、夕到地面的距离均保持不变，则此时两条

水柱相遇点H'距地面米.

2022•四川南充•中考真题

26.如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物

线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m

时，水柱落点距。点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距。点3m.那么喷头高m

【题型5】求参数的值或范围

2022年吉林省长春市中考真题

27.已知二次函数y=-/-2x+3,当火时，函数值y的最小值为1,则0的值为.

2023•湖北十堰中考真题

28.己知点/（再,必）在直线尸3彳+19上，点8（工2，%）,“三,%）在抛物线>=/+4》-1上，若

%=%=%且玉<工2<三，则网+马+马的取值范围是（）

A.-12<%]+々+/<-9B.-8<%]+%2+£<-6

C.-9<七+%2+%3<°D.-6<匹+%2+、3<1

2022•内蒙古呼和浩特中考真题

29.在平面直角坐标系中，点。和点。的坐标分别为（-L-D和（4,-1）,抛物线

式J2TMV+2（加/0）与线段。只有一个公共点，则冽的取值范围是.

2023年福建省中考真题

30.已知抛物线>="2-20尤+6仅>0）经过/（2〃+3,%）,8（〃-1,%）两点，若48分别位于抛物线对

称轴的两侧，且必<%,则«的取值范围是.

2022•湖南湘西中考真题

31.已知二次函数y=-N+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折

到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=-x+6与新图象

有4个交点时，b的取值范围是.

2022•江苏盐城中考真题

32.若点—九〃）在二次函数y=f+2x+2的图象上，且点P到了轴的距离小于2,则〃的取值范围

是

2023年四川省南充市中考真题

33.抛物线了=f2+Ax+"：与x轴的一个交点为若-2Vw〈l,则实数左的取值范围是（）

2121

A.——<k<\B.k<——或左21

44

9、9

C.—5V左4—D.左（一5或左〉一

88

2023•浙江衢州中考真题

34.已知二次函数>="2—4QX（Q是常数，Q<0）的图象上有/（九必）和8（2九%）两点.若点A,

5都在直线>=-3。的上方，且外〉必，则加的取值范围是（）

3443

A.1<m<—B.—<m<2C.—<m<—D.m>2

2332

2023年四川省泸州市中考真题

35.已知二次函数>=办2一2ax+3（其中x是自变量），当0<x<3时对应的函数值了均为正数，贝1]4

的取值范围为（）

A.0<tz<1B.a<-\或Q>3

C.一3<。<0或0<"3D.一14〃<0或0<"3

2022•山东济南中考真题

36.抛物线〉=-/+2必-/+2与〉轴交于点。，过点C作直线/垂直于y轴，将抛物线在y轴右

侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点必），N（m+1,%）为图形

G上两点，若必<%,则根的取值范围是（）

A.加<-1或〃？>0B.—<m<—C.Q<m<42D.

22

2022•湖北荆门中考真题

x2-2x+3（x<2）

37.如图，函数y=39的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线（加

——%+-（%>2）

142

为常数）相交于三个不同的点N（X/,”），B（X2,y2）,C（X，"）（X/<X2<X3）.设,

则，的取值范围是

【题型6】二次函数新定义问题

2023年山东省荷泽市中考真题

38.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：41,3）,8（-2,-6）,。（0,0）等都

是三倍点"，在-3<x<l的范围内，若二次函数y=-/-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”,

则c的取值范围是（）

A.—Wc<lB.—4«。<—3C.—<c<5D.—4Wc<5

44

2023•四川巴中中考真题

39.规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数>=尤+3

与y=-x+3互为“Y函数若函数y=1x2+（a-l）x+左-3的图象与X轴只有一个交点，则它的

“Y函数”图象与x轴