2025年中考数学复习：二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题（3题型）（原卷版）

抢分秘籍14二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年

都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，二次函数图象的平移、翻折、旋转问题是几何综合，综合性比较强，同时也是高频

考点、必考点，所以必须对几何和函数图象的性质定理很熟练和贯通。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！

<（抢分通关

题型一二次函数图象的平移综合问题

典例精讲

【例1】（2024■浙江温州・一模）如图，直线了=-gx+2分别交x轴、了轴于点A,B,抛物线y=-f+机x

经过点A.

⑴求点B的坐标和抛物线的函数表达式；

⑵若抛物线向左平移〃个单位后经过点3,求”的值.

通关指导

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练

掌握知识点的应用是解题的关键.

【例2】（2024•江西赣州•模拟预测）如图，已知抛物线歹=-/与直线y=-l相交于B.

⑴4B=；

⑵抛物线4随其顶点沿直线y=gx向上平移，得到抛物线乙，抛物线4与直线y=-l相交于C,D（.点C

在点。左边），已知抛物线右顶点M的横坐标为社

①当加=6时，抛物线右的解析式是,CD=；

②连接当△/CD为等边三角形时，求点M的坐标.

名校模拟

—O

1.（2024•陕西西安三模）已知抛物线C:y=ox2+6x-4的对称轴为x=2,且过点/。,2）.

⑴求抛物线C的表达式及顶点坐标；

⑵对称轴直线x=2与x轴的交于点。，与抛物线C交于点N.平移抛物线C得到抛物线C',使得抛物线C'

的顶点M在直线x=2的右侧.若等腰三角形9VM面积为8,请叙述平移过程.

X

2.(2024•贵州安顺•一模)如图，二次函数必=2f+6x+c与x轴有两个交点，其中一个交点为/(-1,0),且

图象过点8(1,2),过A,8两点作直线

⑴求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；

⑵将二次函数必=2/+6x+c向左平移1个单位，得函数%=;%与〉轴的交点坐标为

⑶在(2)的条件下，将直线向下平移"(">0)个单位后与函数％的图象有唯一交点，求〃的值.

3.(2024•安徽池州•二模)如图，抛物线二三=办2+加+。与工正半轴交于点月(3,0),与V轴交于点3(0,3),

对称轴为直线x=l.

⑴求直线N8的解析式及抛物线的解析式；

⑵如图①，点尸为第一象限抛物线上一动点，过点P作PCLx轴，垂足为C,PC交于点D,求当点P

的横坐标为多少时，PD+4D最大;

⑶如图②，将抛物线匚了="2+法+。向左平移得到抛物线〃，直线N3与抛物线2;交于M、N两点，若

点B是线段的中点，求抛物线Z的解析式.

4.(2024・广东佛山•一模)综合运用：已知，抛物线y=a/+灰+2如图1所示，其对称轴是x=l.

⑴①写出“与6的数量关系；

②证明：抛物线与直线夕=-2尤+2有两个交点；

⑵如图2,抛物线经过点将此抛物线记为月，把抛物线片先向左平移2个单位长度，再向上平移

1个单位长度，得抛物线

①求抛物线用与x轴的交点坐标；

②点尸为抛物线片上一动点，过点尸作无轴的垂线，交抛物线外于点。，连接尸。，以点尸为圆心、尸。的

长为半径作。尸.当。尸与x轴相切时，求点尸的坐标.

5.(2024•江西南昌•一模)综合与实践

特例感知

7

(1)如图1,对于抛物线J]=——(x——3)+3,y2=———4)+3,y3=——+—5)+3,

y4=-1(x+2)(x-6)+3,下列结论正确的序号是.

①抛物线必，外，力，乂的对称轴是直线》=2;

②抛物线乂，%,力，”由抛物线＞依次向上平移2个单位长度得到；

③抛物线%,%,%,乂与直线尸=3的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等.

概念形成

把满足乙=-；(x+"-2)(x-〃-2)+3的抛物线称为“族抛物线".

知识应用

如图2,“族抛物线"州的顶点依次为M］,M2,M3,M.,Mn.

（2）试求线段角的长.（用含"的代数式表示）

（3）"族抛物线”必，y2,y3...笫上分别有点月，P2,A，P„,它们的横坐标分别是2,3,4,

“+L试判断点月，P2,P3,匕是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说

明理由.

题型二二次函数图象的翻折综合问题

典例精讲

【例1】（2024•湖北孝感•一模）如图1,抛物线yX+bx+g与x轴相交于唱,（）［、唁,。［两点，与y

轴交于点C,连接8C,抛物线顶点为点M.

⑴直接写出。，6的值及点M的坐标;

⑵点N为抛物线对称轴上一点，当ZN+OV最小时，求点N的坐标;

⑶平移直线BC得直线y=mx+n.

①如图2,若直线夕=加关+〃过点交x轴于点D,在x轴上取点E,连接求1的度数.

②把抛物线>="2+乐+：在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）.当直线y=+〃与新图象有

两个公共点时，请直接写出n的取值范围.

通关指导

本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根

与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解

题的关键.

【例2】（2024•四川德阳•模拟预测）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决

定.已知抛物线>-4"-4（。>0）.

新的函数图象W.翻折后，抛物线顶点/的对应点H恰好在x轴上，求抛物线>="_4«关_4的对称轴及

a的值；

⑵如图2,抛物线>=办2-4办-4（°>0）的图象记为"6”,与了轴交于点2；过点2的直线与（1）中的图象

"用'（x>2）交于p,C两点，与图象"G"交于点D

①当时，求证：PC=CD；

②当awl时，请用合适的式子表示=（直接写结果）.

名校模拟

1.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，已知抛物线J=X2-X-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下

方的部分沿无轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象沙"，图象少交了轴于点c.

⑴写出图象少位于线段48上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线y=-x+6与图象/有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

（3）P为主轴正半轴上一动点，过点P作尸”〃了轴交直线于点交图象用于点N,是否存在这样的点

尸，使ACW与△03C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

题型三二次函数图象的旋转综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•江西南昌•一模）如图、在平面直角坐标系中，抛物线q：y=f2+2x+3

与x轴交于点A,点B（点A在点3的左侧），与V轴交于点C,尸为抛物线。的顶点，连接尸B,将抛物线

G绕点。旋转180°得到抛物线C2.

⑴求抛物线的解析式.

⑵连接/C,BC,求sinN4cB的值.

⑶连接CP,。是抛物线。2上的点，若满足NQCO=NP8C,求点。的坐标.

通关指导

本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算.

【例2】（2023•陕西西安•模拟预测）已知抛物线=与x轴相交于48两点（点8在点/的

左侧），点N的坐标是（4,0）,与y轴相交于点C,将抛物线工绕点（2,0）旋转180。得到抛物线乙.

⑴求抛物线4的函数表达式.

⑵将抛物线4向左或向右平移，得到抛物线右，4与x轴相交于0、8'两点（点"在点4的左侧），与y

轴相交于点CL要使SA/B，U=2S4BC，求所有满足条件的抛物线4的函数表达式.

［名校模拟］|

1.（2023•河南周口・二模）如图1,抛物线弘=a/+6x+c分别交x轴于3（3,0）两点，且与V轴交

于点C（0,—3）.

⑴求抛物线的表达式及顶点尸的坐标.

(2)如图2,将该抛物线绕点(4,0)旋转180。.

①求旋转后的抛物线的表达式.

②旋转后的抛物线顶点坐标为。，且与x轴的右侧交于点。，顺次连接A,P,D,Q,求四边形/尸。0的

面积.

2.(2023•河北廊坊•二模)如图，抛物线右经过坐标原点和点/(-2,0),其顶点3的纵坐标为-2,点M的

坐标为(m,0)(m>0),将抛物线A绕点M旋转180。得到抛物线4