2025新高考数学计算题型专练：数列求和（解析版）

2025新高考数学计算题型精练数列求和的运算

1.等比数列｛%｝的公比为2,且。2，%+2吗成等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=log2(«„•a„+1)+a„,求数列｛b„｝的前n项和Tn.

【答案】⑴盘=2"/eN*⑵7；=/+2〃+2"i-2;

【详解】(1)已知等比数列｛%｝的公比为2,且成等差数歹！1，

/.2(%+2)=%+〃4，

2(44+2)=24+8%，解得％=2,

/.%=2X2〃T=2〃,〃£N*;

Wn+1n2M+1nn

(2)bn=log2(2•2)+2=log22+2=2n+l+2,

/、2(1-2")

「.7；=2(1+2+…+〃)+〃+(2+2?+…+2〃卜21+2+・一+〃+〃+----匚

1—2

=M2+2»+2,,+I-2;

2.正项数列｛%｝的前〃项和为S”，已知2g=d+l.

⑴求证：数列代｝为等差数列，并求出％«„；

(2)若b„=上也-,求数列也｝的前2023项和T2023.

an

【答案】(1)S“=〃；a,，=J?-J〃-l；(2)7^023=-J2023.

【详解】(1)由2°囚=d+1可得，2S；=S；+1,

又因为S”为正项数列｛%｝的前〃项和，所以d=%=1,

因为%=S“一J-,所以2(S“一Sa)S“=(S"-J+1,

所以S；-S3=1(»>2),数列｛段｝为等差数列，

LI-I___

所以S：=n,Sn=4n,a〃=vJ1——〉？)，所以4=G-」n-\.

(2)4=d=(7)"(〃+V^i),

an

品23=-1+后+1-6-岳4+枢---3023-4022=-4023.

3.已知数列｛%｝为:1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4.…即先取q=1,接

着复制该项粘贴在后面作为电，并添加后继数2作为。3；再复制所有项1，1，2并粘贴在

后面作为g，生，必，并添加后继数3作为。7,…依次继续下去.记”表示数列｛明｝中〃首

次出现时对应的项数.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)求％+。2+“3--------。63-

【答案】(1也=2"-1⑵120

【详解】(1)由题意知:bn+l=2bn+1,即％]+1=2(4+1),且4+1=2,

所以数列出+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列，

所以£+1=2",则b“=2"-l.

(2)由(1)可知，绿=2'-1=63,所以6在前63项中出现1次，

5在前63项中出现2次，4在前63项中出现2x2=4次，3在前63项中出现4x2=8次，2在

前63项中出现8x2=16次，1在前63项中出现16x2=32次，

所以q+2+。3_|-------F03=lx32+2x16+3x8+4x4+5x2+6x1=120.

4.已知等差数列｛。"｝的前”项和为牝=5,邑=15,

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若“=」一，求数列｛»｝的前2023项和.

anan+\

【答案、】⑴4=〃⑵2髭023

%+4d=5

【详解】(1)设公差为d,由。5=5,要=15,得，5x4解得％="=1,

5aH-------a7=15

[y2

所以％

1_1__1

(2)由(1)可得2=-------

。必+1+nn+1

所以-^―+——+…+-------

%“2G2%”2023”2024

2023

2024

故数列上｝的前2023项和为翡.

5.已知｛与｝是首项为2,公差为3的等差数列，数歹£“｝满足4=4/用=3"-2”+1.

⑴证明｛b„-n｝是等比数列，并求｛5｝,｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝与也,｝中有公共项，即存在尼加eN*,使得％=超成立.按照从小到大的顺序

将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作｛cj,求q+Cz+i+g.

【答案】⑴证明见解析，％=3〃-l(〃eN*),，=3"+〃(〃eN*)

。)9(27"-+〃(3"+1)("N*)

262

【详解】⑴由题意可得：a“=2+(〃7)x3=3-l(〃€N*),

而4=4,bn+l=3"-2〃+1,变形可得：%]一(〃+1)=3或-3〃=3—哈可-1=3,

故是首项为3,公比为3的等比数列.

从而"-"=3",即6'=3"+〃(〃eN)

⑵由题意可得：3k-l=3>m+m,左,%eN*,令加=3〃-1(〃eN*),

则3"1=33"-1+3〃-1=3(32"-2+«)-1,此时满足条件,

即加=2,5,8,…,3〃-1时为公共项，

所以G+。2+…+g=打+&+…+&〃_1

=32+35+---+33,,-1+(2+5+---+3«1)=

262

6.设数列｛%｝的前〃项和为S“，已知S"+l=2a“(〃eN*).

⑴求｛%｝的通项公式;

[a,n=2k-\，、

(2)设2="c,且后eN*,求数列抄“的前〃项和为小

[n,n=2k

【答案】⑴。〃=2〃T

2〃-1〃(〃+2)

,n=2k

34

⑵(4eN*

,n=2k-l

34

【详解】(1)当〃=1时，4=1,

S"+l=2%

当“22时,nan=2%,

S“_I+l=2%

所以｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则。"=2"-1

2"-1,n=2k-]

(2)由题设知：bn=n,n=2k，壮N,

当〃为偶数时,

7；=囱+&+…+限1)+(a+,+•••+〃)=(2°+22+…+2”2)+(2+4+—+〃)=^11+”(丁)；

当〃为奇数时,

2n+1-12-1

_n

Tn=(b]+,H-----卜2)+(b2+a-l-----1b“_J=(2°+2?+…+2〃[)+(2+4+…—1)=------1---——

’2〃-1n(n+2)…

---------1——--------,n=2k

an〃是有数

7.已知数列｛%｝满足：%=2,且对任意的“eN*,。用=2"''

2"+%“+2,”是偶数.

(1)求。2，%的值，并证明数列上一+g；是等比数列；

(2)设或=%“一1(〃eN*),求数列也｝的前〃项和T”.

【答案】(1)电=1，。3=10，证明见解析(2)北=，4"-1)一：〃

_3

【详解】(1)。2='^=1，6Z3=24Z2+2=10.

由题意得出〃+1+|'=22〃+12〃+|=22n+1^1^^+1=4672^+：=4(。2〃-1，

又见+g=gwO,所以数列［出“T+三是等比数列.

o2

(2)由⑴知"

运用分组求和，可得(==4。+41+42+...+47)二"=色.上升二”

"3、7331-43

8.已知正项数列｛%｝的前〃项和为北，%=2且对任意2,。工吗，。工-成等差数列，又

411

正项等比数列上｝的前"项和为E,,邑=:邑=£.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(2)若数列匕｝满足g=T也，是否存在正整数〃，使G+C2+…+c”>9.若存在，求出〃的最

大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)%=2(6-而1),H'(2)不存在，理由见解析

【详解】(1)设也｝的公比为/显然4",

4

4131-93

由S2=H，S3=T，可得v

13

1一，9

解得q=g或4=-；（舍去），又4=1,所以"=

又对任意“22,。工,％,。工7成等差数列，%=2,

所以工T=4.

因为。“=Z「MT（"N2）,

所以⑵-射）（北+%）=4,所以叶一a=4（〃>2）,

故｛〃｝是以"=4为首项，公差"=4的等差数列，

所以臂=4+（〃-l）x4=4",又%>0,

所以4>0,所以（=2面.

当〃22时，«„==2（而-加T）,

〃=1时，4=2满足上式，

故氏=2（«_J”l）.

n-1

⑵C"=l>a=4〃xI

设K“=c1+c2+---+c„,

&=4x(4+8x(J+12xg)"+4呜①,

|^=4x1+8xL+12xL+...+4(,-l)x1+4〃xg②,

①一②，得3=4+4义]1+4义]]+4x+-4x])

所以K"=9-91]=9-(3+24.

<S,

故不存在正整数〃，使C1+C2+…+C">9.

9.已知各项均为正数的等比数列｛%｝,其前“项和为5“，满足25“=%+2-6,

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）记4为数列｛S,｝在区间m^m+2）中最大的项，求数列也J的前"项和小

【答案】⑴a,=3x2i；（2）北=3x2畸-12-3”.

【详解】（1）设｛七｝的公比为9,则4>0,又2S“=a”+2-6,

当〃=1时，2sl=a3-6,当〃=2时，2s2=a4-6,

两式相减可得，=a4-a3,所以2=/-q,

所以^=2或乡=T（舍去），

所以2sl=a3-6=4%-6,即％=3,

所以等比数列R｝的通项公式为4=3x.

（2）由%=3x2"、2Sn=a„+2-6,可得'—6）=；（3x2"”-6）=3x2"-3,

所以，=a”+i-3<%+1,又%>0,

所以S“Wa“，当且仅当”=1时等号成立，

所以勺《鼠<S.+1<am+2<S加+2,

所以%=S.=3x2.—3，

所以7；=3（22+23+24+…+2"，-3〃=3x^=^--3n=3x2"+2-12-3«.

即7；=3x2解一12—3".

10.已知等差数列｛七｝的公差d>0,且满足%=1,%,%,%成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

2%,〃为奇数

（2）若数列抄“｝满足"=〃为偶数求数列抄"｝的前2〃项的和T2„.

“+2'

【答案】（1）。“="（2）“，=―15

4«+4-12

【详解】（1）因为4,出，%成等比数列，所以媛=4。4,

即(l+d)2=1*(1+34),

解得"=0或d=l.

因为d>0,所以d=l,

所以%=l+lx(w-l)=«.

2",〃为奇数,

（2）由（。得"』〃为偶数,

n\n+2j

2〃,〃为奇数,

所以年=<4I1

，〃为偶数

n+2

所以T2n=4+，2+4+…+=(4+人3+…+，2〃一1)+(62+\+…+，2〃)

1

=(21+23+---+22n-1)+—

2

1-22

2〃+1]5

3--4^+4-12

所以数列也｝的前2"项的和&=・一而匕一:

11.设S“是数列｛%｝的前〃项和，已知的=0，。“+1+（-1）"邑=2".

⑴求生,a2；

(2)令2=。“+|+2。“，求&+a+4+…+

【答案】⑴％=1,出=3⑵22川-2

【详解】(1)由。用+(-l)"S"=2"得出一%=2,即出=%+2,

2

a-}+S2-2=4,即%+出+%=4,又的=0，所以％=L&=3，

2k

(2)当〃=2左时，a2k+}+S2k=2,

2M

当〃=2左一1时，a2k-S2k_x=2,

两式相加可得出用+%+如Ft=22丘+221,得%+23=22k+22k-l,

由于也,=%+1+2%,所以

b2+b4+b6-----卜瓦"=(%+2出)+(%+2a4)+(%+2a6)H----F(a2zi+1+2a2n)

=(22+21)+(24+23)+(26+25)+---+(22K+22,!-1)

=(22+24+26+---+22,,)+(21+23+25+---+22nt)

_4(1-4)2(1-4")_22向2

1-41-4

12.已知｛。“｝是递增的等差数列，也｝是等比数列，且%=1,b2=a2,b3=a5,4=%4.

⑴求数列｛6｝与也｝的通项公式；

(2)T"eN*,数列｛g｝满足*+…求｛%｝的前〃项和S".

“2”3。闻,

【答案】⑴%=21,b„=3^(2)Sn=3"

【详解】(1)解：由题意，设等差数列｛%｝的公差为d(d>0),

则Z?2=电=1+d,b3=a5=1+4d,“=。区=1+13d,

因为数列抄”｝为等比数列，则叫=她4，即(l+4d)2=(l+d)(l+13d),

因为d>0,解得d=2,.,.%=%+(〃—1)d=1+2(n-1)=2n—1.

又因为&=出=3,4=%=9,所以，等比数列也｝的公比为夕=g=3,

n2i

因此，bn=b2q-=y~\

(2)解：由?+£■+…+｝=勺匕①

仇4加3

可得今=1=1,所以，4=3,

当时，*+£+…+爷=?，②

打“43

①-②得所以，C,=：%=2-3"T(〃22),

4+1。。3

,、[3,〃=1

C]=3不满足c“=2-3"一值W2),所以，c„=｛1

[2•3，〃之2

当篦=1时，H=q=3,

1216

当〃上2时，sn=3+2X(3+3+---+3"-)=3+^I-^^=3"，

凡=3也满足S“=3"(n>2),

综上所述，对任意的〃eN*,1=3".

13.已知数列｛%｝的前〃项和为'，且5”=2。“+2〃一5.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)记a=log2(^-2),求数歹U」一|的前〃项和7；.

I4也+iJ

【答案】(1)*=2"T+2(2)T

n+\

【详解】(1)当〃=1时，E=%=24+2-5,解得%=3,

当〃22时，S〃T=2Q〃T+2优—1)—5.

可得S"-%=2。"+2/7-5_[2%+2（〃一1）一5],

整理得：。"=2%一-2,

从而。"-2=2（味_2）（葭*2）,

又4-2=1,所以数列｛%-2｝是首项为1,公比为2的等比数列;

所以a,_2=（a「2）2"T=2"T

所以%=2"一+2,经检验，％=3满足%=2"一+2,

综上，数列｛%｝的通项公式为。“=2".+2；

（2）由（1）得%-2=21，所以巴+「2=2",所以或=log2（a“+「2）=〃，

1111

心也〃（几+1）n〃+1

1111

所以北=---+----+----+-

6也b2b3b3b4妫+i

111111

+++」

122334nn+1

=1」=」

〃+177+1

2

14.已知S”为数列｛%｝的前"项和，%=1,S.nan-Sn=n-??,/?eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

2%

（2）若〃=产诃二°,求数列也｝的前"项和小

【答案】⑵7；=g1

1-

22n+1-1

【详解】（1）因为〃4-S0="2,

所以（〃一1）6T-Ar=（〃一I）2-（«-!）（«>2）,

两式相减得九%~（n~V）an_x-an=2n-2,

化简得%-%=2（"22）,

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公差的等差数列,

所以=1+（八一1）X2=2〃一1.

22〃-I111

（2）b=

n（22"-1-l）（22n+1-1）-3U2"'1-122,!+1-1

所以（=4+4+%+b,

______L+-________L

3(2-l23-123-125-12"T-123I+1-1,

=］卜一^7^)

所以7“mi

,、〃

15.已知函数｛%｝的首项生=：3,且满足。用=广3、.

J十1

⑴求证，-1为等比数列，并求知.

173100

⑵对于实数％,3表示不超过》的最大整数，求'+7+\+…+广的值•

3〃

【答案】⑴证明见解析，a⑵5051

'〃3〃+2

【详解】（］）因为为=3£,。用3%

2%+1

所以。〃。0,

所以'=2"“+121

=----1--------,

3区33a

%、

所以」---1=?

--1.

%+i3

1,2

又因为丁

所以数列心1-1是首项羽，公比为加等比数列,

12尸2

所以上—l=4x

an333〃

L121「3"

所以一=港+1,所以。“

a”D3〃+2

121

(2)因为一=港+1,

an3

123100242001。。…

所以「丁丁…+£=kk…+诃+1+2+3+-+100

12+100x(100+1)

=2x—j-H—-------

31322

、八T123100

设,+*+3+…+诃'

b21T123100

所以-7=—7+-^+^+…+F~,

33233343101

3

3203

所以T=

1，2--31003203=5。51.5一”

所以1+I+至+…+”=505。+二中

因为°〈翁<1，

八2031

所以。而<5'

203

所以5051<5051.5---------<5051.5,

2x3100

…123100

所以一+—+—+…+f=5051.

%a2a3a

16.已知各项均为正数的数列｛%｝满足%=14=2%T+3（正整数〃》2）

⑴求证：数列｛%+3｝是等比数列；

（2）求数列｛七｝的前n项和Sn.

【答案】⑴证明见解析⑵S“=2"+2-3〃-4

【详解】（1）证明：已知递推公式。“=2%_+3,两边同时加上3,

得：a„+3=2（a„_1+3）（M>2）,

因为%>0,4〃+3>0,

所以+?=2（"22）,

又%+3=4。0,

所以数歹必%+3｝是以％+3=4为首项、以2为公比的等比数列.

（2）由（1）a“+3=4x2"T=2"i,贝1J%=2用一3（〃eN*）,

所以*=%+&+…+%=22_3+23_3+--+2向_3

=（22+23+---+2"+1）-3«

==----3n=2-2一3〃一4-

1-2

17.已知在数列｛氏｝中，4=(,且］，］是公差为1的等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

(2)设6,=~+%，数列抄“｝的前"项和为求使得的最大整数加的值;

an5

1—a(、

(3)设4=不一，求数列g的前〃项和0“

【答案】(1)。，=々(2)8(3)。,=2-*

【详解】(1)由%=；可知:=2,又］，［是公差为1的等差数列，

所以一二2+(〃-1)义1=几+1,故〃=」一.

%n+1

(2)〃=，+%胆+-L=i+J---1

%w4-2n+1n+1〃+2

11111111

(二4+4+…+”=〃+++…+=n+

2334n+1n+22〃+2

ii42

则图=加+--------<—,整理得10(冽+2>-99(冽+2)—10W0,

2m+25

解得14加《8,故满足条件的最大整数冽的值为8.

\-an

(3)由题得g=刀产

2'an2〃

贝I」。”=lx；+2xJ+3x*…+〃x：，

—1(八J=l1x-1-+c2xl—+•••+/(«-l1)、x——1+nx——1-,

2n22232n2"i

两式相减得;2“=(；+]+：+…+3]-“x/=l—/一"X/,

2n_2+〃

所以2=2-^——2-----

2"2"

18.已知数列｛%｝各项都不为0,前〃项和为5“，且3a“-2=S"，数列也｝满足4=-1,

2+1="+〃•

⑴求数列｛%｝和｛b,,｝的通项公式；

(2)令%=*，求数列｛c“｝的前〃项和为1

【答案】(1)%=［［也=("+1),-2)；⑵北=8+3(〃—4)x［1］

【详解】（1）由3%—2=S〃，可得3al—2=SiW22）,两式相减得3c1n-3an_x=Sn-Sn_1=%,

整理得4因为数列｛%｝各项都不为0,所以数列｛%｝是以］为公比的等比数列.令

n=\,贝口q一2=岳=%,解得％=1,故4•

由题知bn+i-bn=n,

所以a=（2—〃—J+（%-%一2）+…M4-4）X4一4+々

/、/、n1-n-2（及+1）（〃一2）

二（〃-1）+（〃-2）-1---1-2+1-1=-------=----------

（2）由（1）得勺=口21=（〃—2）-,所以

71+112,

两式相减得_

所以7；=8+3（，—4）

19.已知等比数列｛%｝的公比为2,数列也｝满足4=2,4=3,a„b„+1-a„=2"bn.

⑴求｛4｝和｛4｝的通项公式;

（2）记S,为数列［卜］的前〃项和，证明：1<S„<3.

【答案】⑴4=2"；々,=〃+1⑵证明见解析

【详解】（1）当〃=1时，Q也一体=24，

又4=2,打=3,解得％=2.

所以｛。/是以2为首项，2为公比的等比数列，故4=2X2〃T=2〃.

则2〃%「2〃=2〃"，即"x=a+l.

所以｛2｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故％=2+(〃-l)xl=〃+l.

(2)由(1)可得Q“=2〃，bn=w+l,所以==告^.

an,

EIC234H+1Z7X

贝S'='+齐+g+…+F①，

〃小

子1c23=4/+1②’

1

①-②可得工s“=i+&+；+…+二n+12?〃+1_3n-F3

—r=l+~-

2〃122232"2"电I-12n41-22w4i

2

叱<3.

所以S”=3-

T

因为染「S,,=3-黑-3+g=g兽>0,所以｛Sj是递增数列.

则S"NS|=3-y=1,故14S“<3.

20.在数列｛%｝中，％=T,an=2a„_I+37?-6(M>2,neN*).

⑴求证：数列｛。"+3”｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

(2)设4=,求数列｛»｝的前〃项和却

n+1

【答案】⑴证明见解析;an=2-3n-(2)2"-2-«(«+1)

【详解】(1)=2/_]+3"-6("N2,〃eNf),

a„+3n2。“_1+3”一6+3〃2(%+3〃-3)

­•n«>2Hi,--------7；-----=---------------;---------=-----------------—

a〃_i+3(〃—1)%_]+3〃—3an+Ji—3

数列R+3"｝是首项为4+3=2,公比为2的等比数列，

.，.+3〃=2〃，an=2"—3n；

nn

(2)bn=an+n=an=2—3n+n=2—2n

n

数列｛〃｝的前项和Tn=bx+b2+...+a=(2]-2)+Q2-4)+03一6)+...+(2〃-2〃)

2(1-2")2+2〃

2

=2'+2+...+2"-(2+4+6+...+2T7)=2'--=2加一2-〃(〃+1)•

21.记5“为数列｛%｝的前九项和，已知%=1,｛2%,｝是公差为2的等差数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)证明：S„<4.

【答案】(1)%=?(2)证明见解析

【详解】(1)因为q=1，所以2%=2,

因为｛2"%｝是公差为2的等差数列，所以=2+2(〃-1)=2",

2nn

所以an

2n2〃T•

/、c123nc

(2)5„=-+-+-+-+—,①

所以'“=12n-\n

--------1-----------F•••H----------------1--------，②

21222〃T2n

11n〃+2

H—z-+…-I---------------------S=2

①一②呜S"=l+gg7-17

7

1--

2

〃+2

所以S〃=4—<4.

2"T

22.已知数列｛4｝满足%=2Q〃T-2〃+4(w>2,〃£N*),々=4.

⑴求证:数列｛%-2〃｝为等比数列,并求｛4｝的通项公式;

⑵求数列｛(-1)"。"｝的前n项和S,,.

【答案】⑴证明见解析,an=T+2n

2”+1

------\-n-为偶数

3I"

(2)S„=<

2向

-------n-为奇数

3

【详解】(1)..•4=2%_1-2几+4,

/.an-2n=2%-4〃+4=2[*-2(〃-1)],

a-2n

所以rl=2,又%-2=2,

an-\-2(«-1)

2〃｝是首项为2,公比为2的等比数列,

:.a,-2/7=2",

。〃=2"+2〃.

(2)：(-!)"%=(-2)"+2(-

；，

S„=(-2)1+(-2)2+---+(-2)+2[-l+2-3+4----+(-iyn

当〃为偶数时,

20+i_2“n2"+12

S"=+2[(-1+2)+(-3+4)+…+(-〃+2+n-1)-力]=+2x—=------1-n----

1一(-2)-3-233

当〃为奇数时,

(-2*1-(-2)"]__2"+1

22"1

S,=------L---------=1+2[(-1+2)+(-3+4)H------F(一〃+2+=-------------\-n-\-2n

1一(一2)33

5

—n——.

3

一〃—「为偶数

33

综上

——...为奇数

33

23.已知数列｛%｝是公差为的等差数列，且满足q=1,。用=M〃+2.

⑴求｛〃〃｝的通项公式；

4〃

(2)设。=(-1X---------，求数列低｝的前10项和几.

anan+\

、

【答案】(1)%=2〃-1⑵喘20

【详解】(])因为｛%｝是公差为d(d#0)的等差数列，ax=\,an+i=xan+2,

所以当〃=1时，&=xai+2=x+2,

当〃=2日寸，％=尤0，+2=x(x+2)+2=x~+2x+2,

因为%-%=&-%，BPx2+x=x+l,

解得x=±l,所以(7=2或"=0(舍去),

所以。*=1+2("-1)=2〃-1：

(2)由(1)得，

H4n4n(11、

b=(-l)-—=(-1)"---------当----?=(-1)"•二一+—.

a„an+l+2n+lJ

24.已知数列｛%｝的前"项和为S"，且S"=2%-4.

⑴求｛。,｝的通项公式；

(2)求数列上电｝的前“项和1.

【答案】⑴％=2*(2)7；=(〃一I"那一2n(n+1)+8

【详解】(1)因为S.=2%-4,所以当“22时,%=2%—4,

两式相减，得S"-S,i=2%-4-(2a"T-4),整理得%=2%-

即〃22时，又当”=1时，，=%=2%-4,解得q=4,

所以数列｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以%=4x27=2角.

(2)由(1)知S〃=2x2同一4=2-2一4,所以码=-4〃,

令6.=n-2*2,c“=-4n,易矢口，ct+c2-I---\-cn=-4x~-=-2n(n+1),

设数列也,｝的前”项和为K“，贝UK,,=1x23+2x24+3x25+…+/2+2①，

2K,=1X24+2X25+3X26+---+M-2"+3@,

由①-②,得-K“=1x23+24+25+26+…+2"+2-小2"+3,

3n+3,,+3

即-储=2+)-n.2"3=2-n-2-8,

"1-2

所以K=23+2(1-2-=(«-1)-2,,+3+8,

"1-2

所以北=K“-2〃(〃+l)=("-l).2"+3-2〃(〃+l)+8.

25.已知等比数列｛。“｝的各项均为正数，且。2+%+%=39,%=2%+3%.

⑴求｛g｝的通项公式;

(2)数列也“｝满足bn=n-an,求也｝的前"项和给

【答案】(l)a“=3"T；(2)方=(2〃一:3"+1.

【详解】(1)设数列｛%｝的公比为式4>0),

则卜"o.解得卜[

axq=2axq+3axq[0―

所以q,=料，即｛。“｝的通项公式为an=3"T；

(2)由题可知，=〃-3"T,

则7；=lx30+2x3i+3x32+…+(W-1)X3"-2+"X3"T,

3T“=1X3'+2X32+3X33+•••+^-1卜3"，八3",

两式相减得：-27；=1+3]+32+33+…+3"T-〃X3"

1-3"(1-2M)3H-1

一〃x3"

1-32

⑵I)3"+l

4

26.已知数列｛%｝中，%=1,%=芋，«eN,.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

(2)设2=log2d+3〃，数列的前〃项和S“，求证：\<1.

n(n—l)

【答案】(l)q=2k(2)证明见解析

un乙

【详解】(1)解：因为。1=1,矢=%("eN*),

所以也=2"(〃eN*),

an

r-rrica."Ta〃(〃T)

_n2n11+2++(n-1)2

所以〃_QAA]=2〃T.2〃-2…2-1=2-=2

〜-1“〃一2"1

当〃=1时，ax=\满足条件，

M(H—1)

所以u°=2-；

n乙

(2)因为a=log2屋+3〃=〃(〃+2),

LLI111A1、

所以至=而②=/1一/)，

所以s-+!」+...+!--―)=l(i+l--J--------)=1(---5...........—)

2324""+222/7+1«+222«+1n+2

所以s.〈:3.

27.数列｛%｝满足4=3,%+1-/=2a”,2'"=<+1.

⑴求证：也｝是等比数列;

n,、

⑵若。“=7+1,求｛q,｝的前“项和为人

〃+2

【答案】⑴证明见解析⑵4="+2-岁.

Z,

【详解】(1),.-2"=an+l,.-.bn=log2(a„+l),Z>1=log2(3+l)=2,

a2

n+i=a；+2a„,an+l+1=a；+2a„+1=(an+1),

10

§2(«„+1+1)=2log2(a„+1),

...弧=l°g2(a“+i+1)=2

'bnlog2(a„+l)

所以数列｛£｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)可得，4=2",所以gq+1,

设"“=£，设其前"项和为S”，

则S.=：+城+'+…+聂+今,①

n-ln

+…H-----1----，②

2-〃2〃+i

减②得

J

1-

1111n22n+2

-rH——H—r-H-----H-------

2122^2'T*'

〃+2

所以8=2—

2〃

n+2

所以Z,=S“+〃=〃+2-

2n

28.已知正数数列｛%｝,%=1,且满足_1-nat1=O(77>2).

⑴求数列｛%｝的通项公式;

〃一1

(2)设a=/，求数列低｝的前〃项和S".

【答案】(1)。”=加(2电=1一[

n\

【详解】(1)V0^-(77-l)a„a„_]-=0(w>2),

.・.(%-nan_1)(a„+%)=0(〃22),

又。“>0,a=na_,即刍-=〃(〃>2).

nnxa„-i

又a“=<7jX—x—x---x—=1X2X3X…x〃=〃g2),

"1。2"〃-1

且—1—1!,・・a”—拉!

n-l11/

A

(2)bn———,=0,bn7——r------(7，>2),

n\n\(77-1)!加'

「•S〃=4+打+“+“+.•.+

1111111111

=0A—I———।----—।——----------——]——

1!2!2!3!3!4!(«-1)!加n\

又，=4=1-1=0,

29.已知数列｛%｝、也｝,满足q=100,an+l=,bn=lgan.

⑴求数列抄“｝的通项公式；

(2)若cn=log?"+log2Z，„+1+•■•+log2fc2„求数列的前"项和S”.

c2〃

【答案】(1也=2"(2电=而而

【详解】(1)解：因为氏+1=d，=100>1,则出=。；>1,a3=<7；>1,L,

以此类推可知，对任意的“eN*,an>\,所以lg%=lg*

即lga“+i=21ga”,b.『2b",

又因为4=