安徽省滁州市某中学2025届高三年级上册第二次月考数学试题

安徽省滁州市凤阳中学2025届高三上学期第二次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

r3_3工-1尤<0

1.已知函数/（尤）=<3,；、’八的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数。的

x+log2（x+a）,x>0

取值范围是（）

A.(-8,0)B.。行)C.(-oo,4)D.[0,4)

2.已知a>0,beR,若关于x的不等式（。尤一2）（*2+区-8”0在（0,+8）上恒成立，则

的最小值是（）

A.4B.4点C.8D.80

3.已知函数/（x）=X>3若方程（/（“））2-力■（X）+2=0有6个不同的实数根,

则实数。的取值范围为（）

A.1-0-2应1B.卜6,-2及）

C.9'+°°]D._20]川_20,+co）

4.已知函数〃x）=|ln（x+l）|-无有两个零点。/（"加，则a+2（6+l）的取值范围是（）

A.|^2^2—1,+oojB.(2,+oo)C.(0,2)D.(0,2口

6.定义在R上的偶函数和奇函数g(x)满足“x)+g(x)=2M,若函数

/z(x)=g2(x)-2时(x)(%eR)的最小值为一⑵则m=()

A.1B.3C.20D.-2-72

7.若函数〃尤)=如2+旭-1-cos彳在区间(-1,1)上存在零点，则实数机的取值范围是()

A.(—8,2]B.C.^—,2D.(1,2]

8.E^/(x)=cos(sinx),则下列选项中正确的是()

A.f(x)=f^x+^B.“X)是奇函数

C.关于直线》=无对称D.〃x)的值域为[-M]

二、多选题

X

9.已知函数/。)=-则下列说法正确的是()

x+1

A./(x)的对称中心为(-1,1)

B./(x)的值域为R

C.f(x)在区间(-1,+划上单调递增

D./⑴+”2)+/⑶+…+/(2024)+f^+f^+...+f(壶]的值为浮

4

10.己知函数”尤)=至7-。，则()

A.〃元)是R上的减函数

B.y=〃x)的图象关于点(0,-24对称

C.若y=/(x)是奇函数，则。=2

D.不等式〃l+3x)+〃x)>4—2。的解集为卜。o，T

试卷第2页，共4页

11.已知〃、人均为正实数，且4+匕=1,贝!J()

h

A.仍的最大值为；B.22的最小值为5

ab

C.的最小值为gD-九十念b2的最小值足

三、填空题

12.已知a+b+c=l,a2+b2+c2=1,且a>6>c,则的取值范围是.

13.已知关于x的方程asinx+。+1)cosx+2b+2=0有解，则/+的最小值为.

14.已知〃x)是定义在R上的奇函数，且〃1-2力是偶函数，当xe[0,l]时,

100

则*小)=.

Z=1

四、解答题

1ccqA

15.记VA2C的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知”=代，且，"ftanC.

sinA

2

(1)若A=§n,求VABC的面积；

(2)若求匕的取值范围.

16.在四棱锥P—ABC。中，PA_L平面ABC。，AD//BC,ADLAB,AD=PA=4,AB=BC=2.

⑴证明：CO,平面E4C；

(2)若。为线段尸C的中点，求平面阴。与平面QA。的夹角的余弦值.

17.已知数列｛%｝是公差大于1的等差数列，%=3,且％+1,%T，%-3成等比数列,

若数列｛〃｝前，项和为S",并满足S“=2b“+〃，MN*.

⑴求数列｛%｝,但,｝的通项公式.

⑵若C„=(%-1)(勿T)，求数列｛cj前n项的和T„.

18.已知函数=其中aeR,

⑴当。<0时，求的单调区间；

(2)当。=1时，过点(-1,祖)可以作3条直线与曲线y=相切，求相的取值范围.

19.已知函数/(x)=-a\nx+(2a+V)x-x2.

⑴若a=g,求/(x)在。，/⑴)处的切线方程.

⑵讨论了(X)的单调性.

(3)求证：若a>0,有且仅有一个零点.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCABDCCCACDACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】根据对称性，先求出当x<0时/(x)关于原点对称的函数解析式g(x)=-/(-x),然

后将问题转化为当x>0时与g(x)的图象有公共点，再转化为方程有解问题，

最后结合图象即可得解.

【详解】由函数定义域可知，a>0,

当尤<0时，设g(x)=-/(-》)=丁+3-,+1,要题目条件成立，只需g(x)的图象与/'(x)的图

象有公共点，即方程f(x)=g(x)在x>0时有解，

所以d+log?(x+a)=V++1,即log?(尤+°)=3一*+1在x>0时有解，

作出函数y=iog2(x+a),y=3r+l的图象如图，

a<4,综上所述,0<a<4,

2.C

2

【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质,由不等式可得两函数有共同零点一，由此得

a

2

一是方程尤2+法一8=0的根，可得的关系,消。再利用基本不等式求解最值可得.

a

【详解】设/(x)=or-2,g(尤)=x?+bx—8,

又。>0,所以/>(X)在(0,+8)单调递增,

70

当0<x<：时，/(x)<0；当时，/(%)>0,

答案第1页，共15页

由g(x)图象开口向上，g(0)=-8,可知方程g(%)=0有一正根一负根，

即函数g(x)在(0,+8)有且仅有一个零点，且为异号零点；

29

由题意知/(x)g(x"0,贝IJ当0<x</时，g(x)〈0；当尤〉,时，g(x”0,

…2

所以一是方程/+/?%—8=0的根，

a

42b2

则=+——8=0,即力=4。一一,且〃〉0,

aaa

匕匚276.26.4、匚4门

所以b+—=4。---1--=4a+—>2.4a•一=8,

aaaa\a

4

当且仅当4a=3,即{a八=l。时，等号成立，

a\b=2

则"9的最小值是8,

a

【分析】方程(〃龙))2-4(无)+2=0有6个不同的实数根等价于产5+2=0有2个不同的

实数解。，G，再结合二次函数的性质求解即可；

【详解】作出了⑺图像，

令/(力=心则方程(〃龙)y-叭无)+2=0有6个不同的实数根等价于d-加+2=0有2个

不同的实数解％，弓，且Gt2«-3,0),

答案第2页，共15页

tz—8>0

9+3a+2>0,解得---<Q<—2^2,

3

故选：A.

4.B

【分析】条件化为丁=1卜(％+1)1与1=左的两个交点横坐标分别为。/，数形结合得到

(a+l)0+l)=l,应用对勾函数性质求目标式的范围.

【详解】由函数〃尤)=阿*+1)/左有两个零点a,b(a<b),

所以y=|ln(x+l)|与y=后的两个交点横坐标分别为，

y=|in(x+i)|

y=&

结合图象知一l<a<0,b>0,左>0且(a+l)(6+l)=l,

22

贝UQ+2(Z?+1)—QH----=6Z+1H-------1,

Q+1a+1

9

令a+l=te(0,l),贝Ua+2(6+l)=/+——1(0<?<1),

2?

又y=r+：一1在区间(0,1)上单调递减，>=/+：-le(2,+8),

故选：B

5.D

【分析】由已知可得分段函数的解析式，结合函数的单调性即可求解.

【详解】由己知函数的定义域为(―,O)U(。,田)，

x+—,x>0

且〃彳)=国+(=.X

—XH--,X<0

X

当工>0时，函数/(力=%+最先减后增，排除A,C,

当xvO时，因为丁=一九和y=—是减函数,

X

答案第3页，共15页

所以函数/(尤)=-尤+4是减函数，所以排除B.

X

故选：D.

6.C

【分析】先根据函数奇偶性得到〃兀)=2'+2一%,g(x)=2'-2一”,从而得到

〃⑺=(2'+2T7一2(2r+2一、)m-4,换元得到y=t2-2mt-4在fe[2,+8)上的最小值为一12,

根据对称轴，分相<2和〃zN2两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求

出答案.

【详解】〃x)+g(x)=2㈤①,故〃r)+g(r)=2T\

因为为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，

故/(r)=/(x)，g(r)=-g(x),所以/(x)-g(x)=2-x+1②,

式子①和②联立得=2*+2-,g(x)=2,-2一工，

AX

〃⑺=(2,-2T『_2(2+2T)m=(2'+2T『_2(2+2r)m-4,

其中r=2*+2rW2J2*.2一*=2，当且仅当2，=2-，即x=0时，等号成立，

所以y=--23-4在re[2,+oo)上的最小值为—12,

由于y=--2加-4的对称轴为t=m,

故当机<2时，y=t2-2皿-4在/€[2,+8)上单调递增，

故'min=2。-4根-4=-12,解得力=3>2,不合要求，舍去；

当相，2时，y=产-2〃"-4在t上单调递减，在fe上单调递增，

故Xnin=疝-2疗_4=-12,解得“7=20,负值舍去；

故选：C

7.C

【分析】根据函数的奇偶性及单调性，结合零点存在定理即可求解.

【详解】若根40,则当时，mx2+m-l<0>

则"x)<-cos£<0恒成立，不符合题意.

答案第4页，共15页

若〃z>0,函数y=和函数y=-cos万都是偶函数，

且都在(-1,0)上单调递减，在(0』)上单调递增，

所以/(“为偶函数，且在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

要使/(x)在(-U)上存在零点，

只需/⑴">0°，即[2相屋一1>。0，

所以!<相42.

2

故选：C.

8.C

【分析】根据函数解析式，结合函数的周期性，奇偶性，对称性以及值域的求解方法，逐项

求解即可.

【详解】对A：/C+^j=cossinC+^j=cos(cosx)^f(x),故A错误；

对B：/(x)的定义域为R,又/(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(;v),

故/(无)为偶函数，B错误；

对C：/(2兀一%)=cos[sin(2兀-%)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x),

故关于直线犬二兀对称，C正确；

对D：/(x)=cos(sinx),令方=sin%w[-l,l],故丁=cos//£1一1,1],

又y=cosr在[-1,0)单调递增,在[0』单调递减，又cos(-l)=cosl,

故cost£[cos1,1],也即y=/(X)的值域为kOS1,1],故D错误.

故选：C.

9.ACD

【分析】选项A,利用函数的对称性定义验证即可；选项B,计算值域即可；选项C,根据

函数的单调性运算判断单调性即可；选项D：找到了(力+/已]=/?+—[=1,计算即可.

\XJX十1X十1

x+1-l1I

【详解】由题可知小)=之---------=1---------

x+lX+1

答案第5页，共15页

选项A：由题可知〃—2—x）=:一产-

-2-x+lx+l

所以得〃_2_尤）+〃尤）=雪+/=2,故/⑺的对称中心为（—1,1）,

选项A正确;

选项B：因为“力=1-工，显然々*0,所以“X）的值域为｛中利,

%I1JiI1

选项B错误;

选项C：当%＞-1时，y=单调递减，所以y=-------单调递增,

X+lX+1

所以/（%）=1-+单调递增，选项C正确;

1

11后+占j所以有

选项D：fX所以〃》)+/

xX+1x

X+1

/⑴+/(2)+/(3)+…+/(2024)+f

1…1

=〃1)+7(2)+/+/(3)+/----F1+1+•,,+1

2'-------v-----'

I42023

4047

,选项D正确.

2

故选：ACD

10.ACD

【分析】利用函数单调性的定义可判断A选项；利用函数的对称性可判断BC选项；将所求

不等式变形为/（l+3x）＞〃r）,结合函数/（x）的单调性可得出关于x的不等式，即可得

出原不等式的解集，可判断D选项.

【详解】对于A选项，任取天、X2ER,且芯＞%，则e』＞e*2＞0,

贝“八斗）一八切:用一dY吃_"]=占一占

4（e巧一e*）

所以‘小）＜/（々），

所以，函数“X）是R上的减函数，A对；

对于B选项，因为函数/'（X）的定义域为R,

答案第6页，共15页

44e“4e“

则〃f)=—ci——a

e-x+le"el]1+e”

一44ex

所以，/(%)+/(t)=------〃H----------〃=4—2〃，

l+exl+ex

所以，函数y=〃>)的图象关于点(O,2-a)对称，B错;

对于C选项，因为函数y=/(x)是奇函数，即函数y=/(x)的图象关于原点对称，

由B选项可知，函数y=/(乃的图象关于点(0,2-。)对称，则2-。=0,解得。=2,C对;

对于D选项，由/(l+3x)+/(x)>4—2a=/(x)+/(—x),可得/(l+3x)>/(-x),

因为函数/(x)是R上的减函数，则3x+l<-x,解得x<-；,

故不等式/(l+3x)+/(x)>4-2a的解集为卜--,D对.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】对A,利用基本不等式即可解得；

对B,将2换成2(a+b),进而利用基本不等式得到答案；

对C,将原式化简为办2+(Q+b)2—+士，进而根据。+6=1代换，然后得到答案；

8'7464

对D,将原式变化为5+2—2)~+9+11)一,进而化简，然后设s=a+2/=6+l,而后用

。+2b+1

l=；(s+r)进行代换，最后用基本不等式得到答案.

【详解】对于A选项，由基本不等式可得?

\a=b1

当且仅当，।时，即当a=b=：时，等号成立，

[。+6=12

所以，“6的最大值为:，A对；

44Hb2b2(。+b)b2a__lb2a__/r--

对于B选项，——F—=——i——-------=——I------1-2>2A---------1-2=2,2+2,

ababab\ab

答案第7页，共15页

b_2a

ab

当且仅当卜+a=V2-1

A=1时，即当厂时,等号成立,

b=2-y/2

a>0,b>0

b2

所以，一+不的最小值为20+2,B错；

ab

对于C选项，[a?+(1=a2b2+^a2+b2^+^=a2b2+:(〃+/?『一；〃/?+专

=01bl-—ab+—+--[ab——+*，

864I8

71

ab=—2+02-V2

8ci--------a---二--------------

4T4时,

当且仅当a+b=\时，即当<L或1等号成立,

,2-V2

a>0,b>0b=---------b=丝立

44

所以，,2+5（/+'的最小值为。C对;

b2_(a+2-2)2(&+1-1)2

对于D选项,-----=------------------1----------------=々+2—4++*+1-2+—

a+2Z?+1a+2Z?+1a+2Z?+l

41-

-------+---------2

Q+2b+1

设S=Q+2,，=Z?+1,可得S+/=4,

贝U上式=亡1/4+1#、+>、2「=雷1+(丁小+"s)_2.71

82

S=a=——

(s=2t33

当且仅当/时，即当:时,即当：时,等号成立,

s+，=44

1t=-b=-

[3[3

a2+壬的最小值为:，对.

所以,D

Q+2

故选：ACD.

【分析】结合a+A+c=l,a2+b2+c2=l,万可视为函数=炉+（。一1卜+02一

的两个零点，且满足。>b>c,结合二次函数性质可得ce[-；,。），即可得解.

【详解】由已知a+b+c=l,a2+b2+c2=1,

答案第8页，共15页

a+b=l-c

则(a+b^-(a2

ab=------------

2

所以a,6可视为方程f+(c-l)x+c2-c=0的两个解，且满足a>6>c,

即。，6可视为函数”x)=V+(c-l)x+c2-c的两个零点，且满足a>"c,

A=(C-1)2-4(C2-C)>0

r,C—1

则\--—>C,

/(c)=C2+c(c-1)+C2-C>0

解得T<c<0,即ce［；,oj,

贝|Ja+b=1—ce［1,§］，

故答案为：m

3

13.-/0.75

4

【分析】利用三角函数的辅助角公式，结合三角函数的值域，可得不等式，整理不等式，利

用二次函数的性质，可得答案.

【详解】由asinx+(b+l)cosx+2Z?+2=^ja2+(Z?+1)2sin(x+°)+2Z?+2=0,其中tancp=----,

.zx-2b-212/7+21----------

―力行而，可得而▼<11，即的左耳+0+球,

两边平方化简可得30+1)2,因此1+万223(6+1)2+b2=4b2+66+3,

由462+68+3=4(6+』］+—>—,则片+6Z2°,当且仅当6=-。时，等号成立.

14)4444

3

故答案为：—.

4

14.5000

【分析】由奇偶性推导出“X)是周期为4的周期函数，再求出f⑴，“2),“3),/(4),

利用周期性及等差数列求和公式计算可得.

【详解】••"(1-2x)是偶函数，

:.f(l-2x)=f(l+2x),BP/(l+x)=/(l-x),

答案第9页，共15页

从而x)=/(x+2),又〃x)是奇函数，

则f(r)=-fix),

.-./(%+2)=-/(%),进而/■(久+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(x)是周期为4的周期函数.

由当xe[O,l]时，〃x)=f2,得"0)=0,/(1)=-1,

/(2)=/(0)=0,/(3)=3⑴=1,/(4)=0,

即/(4左)=0,/(4左+1)=—1,/(4左+2)=0,/(4左+3)=1(左wZ),

100

Jz2/(0=-I2+32-52+72-92+.•--972+992

1=1

=2x(3+l)+2x(7+5)+…+2x(97+99)

75x94

=25x8+———x16=5000.

2

故答案为：5000

15.(1)6

4

【分析】（1）利用切化弦以及三角恒等变换化简得出B=C,求出这两个角的值，利用正弦

定理求出6的值，然后利用三角形的面积公式求解即可；

（2）分析可得B=C=7,利用正弦定理化简可得"二二』，根据角A的取值范围可求

22sin—

2

A

出sin］的取值范围，由此可得出b的取值范围.

【详解】（1）因为l+c°sA=tanC=‘由。,可得sinAsinC=cosC+cosAcosC,

sinAcosC

所以，cosC=sinAsinC-cosAcosC=一cos（A+C）=一cos（兀一B）=cosB,

因为3、Ce（0,7i）,且余弦函数y=cos尤在（0,兀）上单调递减，则3=C,

2兀

当A=—兀时，则3=C=—,

36

答案第10页，共15页

tzsinB道义51

由正弦定理可得一二=三,贝U匕=-^=—^=1,

smBsinAsinAJ3

~2

因此，VABC的面积为5AM=—absinC=—x^3xlx—=.

△AABC2224

(2)由(1)可得B=C=?

A/3COS—

由正弦定理可得一二二一二,5/3sinB

则力=________2_

BAsinAc.AA

smsin2sin—cos—2sin-

222

r-j-i“兀4兀ryiii兀A兀—r4日1.A

因为彳〈Av7,则:VTrV：，可何一<sin一<—,

32624222

所以，匕=匚鼻e［当，白］即人的取值范围是(造,石

2%<)\2)

16.(1)证明见解析；

⑵第

【分析】(1)由线面垂直的性质得R4LCD,根据已知可得AC,CD,再应用线面垂直的判

定证结论;

(2)构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.

【详解】(1)由己4_L平面48cC£>u平面A8CZ),则上4_LCD,

由A£>〃2C,ADJLA3,则3CLAB,又AB=BC=2,可得AC=2应，

若E为中点，连接CE,而AD=4,则/比=DE=2=3C=AB,即ABCE为正方形,

所以CELAD,S.CE=DE=2,则CD=2加,

综上，AC2+C£>2=AD2,gpAC±CD,

由上4八4。=A都在面B4c内，所以C£)_L平面B4C；

(2)

答案第11页，共15页

由题设，可构建如图示的空间直角坐标系，A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4),

所以2(1,1,2),则而=(1,1,2),而=(0,4,0),

令记=(x,y,z)是面Q4D的一个法向量，则『当二j+y+2z-0,

令z=l,则而=(-2,0,1),又元=(1,0,0)是面用。一个法向量，

所以面与面的夹角的余弦值|cos保㈤|=|磊|=*=第

17.⑴4=2〃-1；b“=l-2”

⑵4=(2-〃)2"2-8.

【分析】(1)利用等差数列的基本量可求出为；利用S,和”的关系，构造出2-1=2(%-1)

即可求出〃；

(2)利用错位相减法求解即可.

【详解】(1)设等差数列｛”“｝的公差为d,

由。2=3,且4+1,a3-l,4-3成等比数列知：

q+d=3

"+l)(q+5/3Hq+2"-『整理得：§屋T2"4=。，

即d=2或者〃=；,因为公差大于1,故4=2.

且%=3-d=l,故%=2〃-1.

数列也｝前〃项和为S,,并满足5'=26"+〃①，

且4=1=24+1,解得4=一1,

故当〃22时，S,T=26,T+〃-1②，

①式减②式得：Sn-S“_=22-2bz+1=优，

即b„-1=2(^-1),故低—1｝是公比为2的等边数列，

则由一1=伯—l)x2"i=—2",

故勿=1-2"

答案第12页，共15页

(2)c„=(«„-l)(^-l)=(2n-2)(-2")=-(n-l)2"+1,

345n+,

^Tn=0-2-2X2-3X2-........-(n-l)2,

456n+2

则2Tn=0-2-2X2-3X2-...-(n-l)2,

Q3QM+2

故7；_2]=-23—24-2$-...-2向+(〃-1)2"+z=~+(77-1)2"+2,

1—2

故y=(〃_2)2-2+8,

则7；=(2-〃)2-2-8.

18.(1)单调递增区间为,+s],单调递减区间为1-8，—]

⑵IT

【分析】(1)利用导数直接求解单调区间即可；

⑵设切点为卜，¥),利用导数的几何意义可得於史部、儿/、x2+2x+1

，设g(x)=—£—，

结合题意可将问题转化为函数>=机与y=g(x)的图象有三个交点,进而结合导数分析y=

g(x)的单调性，再结合图象求解即可.

【详解】(1)由〃x)=M

,QV0,

则尸(x)="Y/+l)e”a-X-ax

(1—\ct—

令/'(%)>0，得---；令/'(%)<0,得x<----，

aa

所以函数/(X)的单调递增区间为,+。J,单调递减区间为

(2)当。=1时，〃尤)=昼，贝|广")=一十,

风上1-根

Xo+1

设切点为Ix0,'则广优)=-当

%+1

XQ+2x0+1

化简得机=

因为过点可以作3条直线与曲线y=f(x)相切，

所以方程m=%+且+1有三个不同的实根，

设g(x)=x2+；x+l,即函数y=根与y=g(x)的图象有三个交点,

答案第13页，共15页

而8'(力='，

e

令/⑺>0,得-Ivjvl；令g<x)<0,得％<-1或%>1,

所以函数g(x)在(-8,-1)和(1,+8)上单调递减，在上单调递增,

又g(T)=。，葭1)=+且无>0时，g(x)>0,

画出函数丁二m与y=g(%)大致图象，