四川省成都市2024-2025学年高三数学上学期第一次模拟考试理科试题含解析

四川省成都市2024-2025学年高三数学上学期第一次模拟考试理科试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据集合的运算的定义求解.【详解】由解得,所以,又因为,所以,所以.故选:B.2.在复平面内，复数z满意，则复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数z，即可求出答案.【详解】，复数z对应的点为则复数z对应的点位于第四象限故选：D.3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】视察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.【详解】视察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，由平均数的计算可知，样本极差样本B的数据波动较小，故，故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增加分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题假如利用，求出的值，可能还须要分象限探讨其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一探讨．5.若直线与曲线有公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据直线与圆相交，结合点到直线的距离公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】曲线表示圆心，半径为的圆，由题意可知，圆心到直线的距离应小于等于半径，所以，，解得.故选：C.6.如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用向量的线性运算计算即可.【详解】因为，为以的直径的半圆的两个三等分点则//，且又为线段的中点，为的中点故选：A.7.下列命题中，不正确的是（）A.“若，则”的否命题为假命题B.在锐角中，不等式恒成立C.在中，若，则必是等腰直角三角形D.在中，若，则必是等边三角形【答案】C【解析】【分析】依据不等式的性质和正弦定理，余弦定理即可推断求解.【详解】对于A，原命题的否命题为“若，则”，由得，，得或或，所以该否命题为假命题，故A正确；对于B，在锐角中，因为,所以,因为,所以，又因为在单调递增，所以，即，故B正确；对于C，在中，由，利用正弦定理可得：，或，得或，是等腰三角形或直角三角形，故C错误;对于D，由余弦定理得，又因为，所以，所以，又因为，所以是等边三角形，故D正确，故选:C.8.函数，其部分图像如图所示，下列说法正确的有（）①；②；③是函数的极值点；④函数在区间上单调递增；⑤函数的振幅为1．A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤【答案】C【解析】【分析】依据函数的部分图像求出函数的解析式，即可推断①②⑤是否正确；若是函数的极值点则，可推断③是否正确；求出的单调增、减区间，即可验证④是否正确；【详解】设的最小正周期为，依据函数的部分图像可知，，是函数的两个相邻的零点，，，，故①正确；依据函数部分图像可知，,故⑤正确；，，，，将代入中，，，，，当时，，故②正确；，若是函数的极值点则必有，而，不是函数的极值点，故③错误；由，得，的单调递增区间为，由得，，的单调递减区间为，在上单调递减，在上单调递增，在上不单调，故④错误.故选：C9.已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，两式作差得，再求得，，得数列从第2项起构成以为公比的等比数列，求得时，，，代入推断可得选项.【详解】解：因为，所以，两式作差得，即，所以，又，，解得，，所以数列从第2项起构成以为公比的等比数列，所以，，，所以，故A不正确，B不正确；，所以，故C不正确，D正确，故选：D.10.设，分别为双曲线（a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得，且，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的定义得到，再由题意知，，三个式子组合即可得到，解出的值，在由双曲线的离心率为，即可得到答案.【详解】，即①.依据双曲线的定义可得，即②，①减去②得.，故，解得或（舍）.双曲线的离心率为.故选：B11.已知函数若正实数满意，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，由导数结合奇偶性得出在上单调递增，进而得出，最终由基本不等式得出答案.【详解】函数定义域为，令，易知和均奇函数，所以为奇函数，所以在上单调递增由得即，所以，即则当且仅当时，取等号故选：D【点睛】关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出，进而由基本不等式得出最值.12.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（）①棱上肯定存在点，使得②三棱锥的外接球的表面积为③过点作正方体的截面，则截面面积为④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】依据题意，建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出满意题意的位置即可，经计算可知点不存在，故①错误；依据三棱锥的几何特征，可计算出其外接球半径为，所以②正确；由图可知，过点的截面为边长是的正六边形，即可计算其面积，所以③正确；利用空间向量写出与所成角的余弦值的表达式求其最值即可，所以④正确.【详解】建立如图空间直角坐标系，设，其中，所以，若棱上存在点，使得，则，整理得，此方程无解，①不正确;设的中点为，则四边形是边长为的正方形，其外接圆的半径为，又底面，所以三棱锥的外接球的半径为；所以其表面积为，②正确;过点作正方体的截面，截面如图中六边形所示，因为边长均为，且对边平行，所以截面六边形为正六边形，其面积为，③正确;点在平面内，设，则，设是平面的一个法向量，则，令可得，即，因为平面，所以，即，设与所成角为，则，当时，取最小值，所以与所成角的余弦值的最大值为，故④正确;故选：C二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知实数，满意则的最大值为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查简洁的线性规划，属基础题，依据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，视察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.【详解】解：依据方程组画出可行域如图所示，可以求得B(1,1),当直线经过点B时取得最大值为5，故答案为：5.14.已知平面对量，，若向量，则______．（其中用坐标形式表示）【答案】【解析】【分析】依据向量的线性坐标运算，以及向量数量积的坐标运算可求得答案.【详解】解：因为平面对量，，所以，所以，故答案为：.15.已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________．【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.【详解】由，解得．．解得．，解得．故答案为:．16.已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点，给出以下命题：①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为；②若于M，则抛物线在A点处的切线平分；③若，则抛物线C方程为；④若的最小值为，则抛物线C方程为．其中全部正确的命题序号是________．【答案】①②③④【解析】【分析】依据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次推断即可.【详解】①若△MAF为正三角形时，，故①正确；②若于M，设，过的切线方程为:，代入得，，又，，，所以过点的切线的斜率为，因为，所以过的切线，又,故抛物线在A点处的切线平分，②正确③若，则三点共线，，由三角形的相像比得，故③正确；④设则，关于准线l对称，，，,解得，故④正确.故答案为:①②③④三．解答题（本题共6小题，共70分，写清晰必要的文字说明与演算步骤）17.设为数列的前项和，已知，．（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并推断是否成等差数列？【答案】（1）证明见解析（2），，，成等差数列【解析】【分析】（1）由已知可得：，，解得，可得，可得，即可证明；（2）由（1）知，，可得，．只要计算即可．【小问1详解】证明：，，，，，，，是首项为2公比为2的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，，，，，即，，成等差数列．18.某校高二期中考试后，教务处安排对全年级数学成果进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成果的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中随意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】（1）男30人，女45人（2）【解析】分析】（1）依据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出全部的基本领件以及满意条件的基本领件的个数，从而求出满意条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为人，女生优秀人数为人；（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．设两名男生为，，三名女生为，．则从5人中随意选取2人构成的全部基本领件为：，，，，，，，，，共10个，记事务：“选取的2人中至少有一名男生”，则事务包含的基本领件有：，，，，，，共7个．所以．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．19.如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE．（1）设F为的中点，若M为线段AB上的一点，满意．求证：平面；（2）求点B到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点N，证明AMFN是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，，由平面平面AECB，得到平面AECB，设点B到平面的距离为d，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取的中点N，连AN、NF，则，，∵，当时，，，是且，所以AMFN是平行四边形，则．又平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图所示：取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，．易知，．因为，，所以，平面平面，平面平面AECB，平面，所以平面AECB．设点B到平面的距离为d．在中，，，所以．在中，因为，，所以．由，得．即解得．20.已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当时，求的面积；（3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．【答案】（1）；（2）面积不存在；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据题意求出，再由离心率为和，求出与，即可得到椭圆方程.（2）把直线与椭圆进行联立，得到，直线与椭圆无交点，故的面积不存在．（3）设直线l的方程并和椭圆进行联立，由直线和椭圆有两个交点，，再由，T，M在同一条直线上，得；，T，N在同一条直线上，.化简得，故交点T的纵坐标为定值.【小问1详解】因为，所以，即，因为离心率为，所以，设，则，，又，即，解得或（舍去），所以，，，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】由得，所以直线与椭圆无交点，故的面积不存在．【小问3详解】由题意知，直线l的方程为，设，，则，整理得，则，因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，设，因为，T，M在同一条直线上，则，因为，T，N在同一条直线上，则，由于，所以，则交点T恒在一条直线上，故交点T的纵坐标为定值.21.已知函数（），.（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，无极值点，当时，有极大值点，无微小值点，（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过推断导函数的正负来推断函数的极点；（2）将不等式恒成立转化为对恒成立，构造函数，利用导数探讨函数的性质，求解的最值，即可得到的取值范围【详解】解：（1）函数的定义域为，由，得，当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值点，无微小值点，综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无微小值点，（2）因为恒成立，即恒成立，所以对恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，即，两边取对数可得，即，因为函数在上单调递增，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是恒成立，转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出的最大值即可，考查数学转化思想和计算实力，属于较难题选做题（多做，做错均依据第一题计分）22.如图，