新教材2024-2025学年高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用分层作业北师大版选择性必修第二册

第一章§4数列在日常经济生活中的应用A级必备学问基础练1.[2024湖北鄂州中学校联考期中]某人从2024年起,每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期),若年利率为2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2033年1月1日将之前全部存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为()(单位:万元)参考数据:1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243.A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.32.[2024江西吉安三中阶段练习]某公司有10名股东,其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半,则下列选项错误的是()A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的5B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的1C.公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的1D.公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的13.某市利用省运会的契机,激励全民健身,从2024年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台,安排8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2000台,则a的最小值为()A.243 B.172 C.122 D.744.某病毒探讨所为了更好地探讨某种病毒,安排改建十个试验室,每个试验室的改建费用分为装修费和设备费,每个试验室的装修费都一样,设备费从第一到第十试验室依次构成等比数列,已知第五试验室比其次试验室的改建费用高28万元,第七试验室比第四试验室的改建费用高112万元,并要求每个试验室改建费用不能超过1100万元,则该探讨所改建这十个试验室投入的总费用最多为()A.2806万元 B.2906万元C.3106万元 D.3206万元5.[2024四川成都七中阶段练习]有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预料,假如不实行措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,假如不实行有效措施,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨的年份是()(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.2024 B.2024 C.2024 D.20246.某运动员一脚把球踢到32米高处,从今处起先计算,假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,则第5次着地时,该球所经过的总路程为米.

7.有纯酒精a(a>1)升,从中取出1升,再用水加满,然后再取出1升,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共取出纯酒精升.

8.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保平安,指挥部确定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为其次道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入运用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成其次道防线?B级关键实力提升练9.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏 B.3盏 C.4盏 D.5盏10.[2024湖北十堰高二阶段练习]从2015年起到2024年,某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2024年5月1日将全部存款及利息全部取出,则可取出钱(单位:元)的总数为()A.a(1+q)4 B.a(1+q)5C.ap[(1+p)4-(1+p)] D.ap[(1+p)5-(111.[2024四川校联考模拟预料]“勾股树”,也被称为毕达哥拉斯树,是依据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示,以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形,如此接着,若共得到127个正方形,且AB=8,则这127个正方形的周长之和为()A.480+2242 B.224+2242C.60+282 D.56+28212.我们知道,当偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均安排到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的高校生小华向银行贷款的本金为48万元,小华跟银行约定,依据等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设小华第n个月的还款金额为an元,则an=()A.2192 B.3912-8nC.3920-8n D.3928-8n13.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为.

14.在我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.两匹马在第日相逢.

15.某企业2024年的纯利润为500万元,因设备老化等缘由,企业的生产实力将逐年下降.若不能进行技术改造,预料从2024年起每年比上一年纯利润削减20万元,2024年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预料在未扣除技术改造资金的状况下,第n年(2024年为第一年)的利润为5001+12n万元(n为正整数).(1)设从2024年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式.(2)依上述预料,从2024年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?C级学科素养创新练16.某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预料以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的安排存栏数依次为a1,a2,a3,….参考数据:1.088≈1.8509,1.089≈1.9990,1.0810≈2.1589.(1)写出一个公式,表示an+1与an之间的关系;(2)将(1)中的关系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r为常数;(3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(结果精确到整数).17.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液,容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液,先将A内的盐水倒1升进入B内,再将B内的盐水倒1升进入A内,称为一次操作;这样反复操作n次,A,B容器内的盐水的质量分数分别为an,bn.(1)求a1,b1,并证明{an-bn}是等比数列.(2)至少操作多少次,A,B两容器内的盐水浓度之差小于1%?(取lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(3)求an,bn的表达式.

参考答案§4数列在日常经济生活中的应用1.C由题意,2024年存的2万元共存了10年,本息和为2(1+0.02)10万元,2024年存的2万元共存了9年,本息和为2(1+0.02)9万元,……2032年存的2万元共存了1年,本息和为2(1+0.02)万元,所以到2033年1月1日将之前全部存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为2(1+0.02)10+2(1+0.02)9+…+2(1+0.02)=2×1.02×故选C.2.D不妨设10名股东所持股份为a1≤a2≤…≤a10,总股份为1,因为6a6≥a1+a2+…+a6≥12,a6≥112,a6的最小值为112,若a6=112,此时a1+a2+…+a5≤5a又因为a1+a2+…+a5≥12-112=512,此时a1+a2由于a6≥112,且a10≥a9≥a8≥a7≥a6故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的112因为a9≥a8≥a7≥a6,所以a1+a2+…+a9≥512+4×112=34,所以a因为a1+a2+…+a6≥12,所以a7+a8+a9+a10≤1又因为a8≥a7≥a6≥112所以a9+a10≤12-a7-a8≤12故选D.3.D设B型健身器材这6个月投放量构成数列{bn},则数列{bn}是首项b1=64,公比q=32的等比数列,其前6项的和S6=64×[1-(32)

6]4.A设每个试验室的装修费用为x万元,设备费从第一到第十试验室构成的等比数列为{an}(n=1,2,…,10),公比为q,则a解得q∴a10=a1q9=2×29=210=1024,依据题意x+1024≤1100,解得x≤76,∴该探讨所改建这十个试验室投入的总费用最多为10x+a1+a2+…+a10≤760+2×(即该探讨所改建这十个试验室投入的总费用最多须要2806万元.故选A.5.C由题意知,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨,且年平均增长率为50%,则我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列,且公比为1+50%=1.5,2016年我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1+50%)=400×1.5(万吨),则第n(n∈N+)年我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1+50%)n-2015=400×1.5n-2015万吨,则有400×1.5n-2015>4000,即1.5n-2015>10,两边取以10为底的对数得lg1.5n-2015>lg10=1,即(n-2015)lg32>则有n-2015>1lg3-lg2故n>2024.679.∵n∈N+,∴n=2024,故从2024年起先,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故选C.6.92足球第1次落地经过的路程为32;足球第2次落地经过的路程为32+32×12×2=足球第3次落地经过的路程为64+32×122×2=80;足球第4次落地经过的路程为80+32×123×2=88;足球第5次落地经过的路程为88+32×124×2=92.7.1-1a82-1a由题意可知,取出的纯酒精数量是一个以1为首项,1-1a为公比的等比数列,即:第一次取出的纯酒精为1升,其次次取出的纯酒精为1-1a升,第三次取出的纯酒精为1-1a2升,……第n次取出的纯酒精为1-1an-1升,则第九次和第十次共取出的纯酒精数量为a9+a10=1-1a8+1-1a9=1-1a82-1a.8.解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-1325辆翻斗车完成的工作时间为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-13=500(小时),而须要完成的工作时间为24×20=480(小时).∵500>480,∴在24小时内能构筑成其次道防线.9.A设顶层有x盏灯,则最下面有(x+8d)盏,则x+8d=13x,即23d=x,由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126,整理得9x+36d=126,所以9×2d3+36d=126,解得d=3,x=2,所以顶层有2盏灯10.D2015年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),则到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)4,2016年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),则到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)3,2017年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),则到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)2,2024年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),则到2024年5月1日存款及利息是a(1+p),到2024年5月1日将全部存款及利息全部取出的总数为a(1+p)+a(1+p)2+a(1+p)3+a(1+p)4=ap[(1+p)5-(1+p)]故选D.11.A依题意可知,不同边长的正方形的个数,构成以1为首项,2为公比的等比数列,故令1+2+22+…+2n-1=127,即1-2n1即有7种边长不同的正方形,又因为正方形的边长构成以8为首项,22故边长为8的正方形有1个,边长为42的正方形有2个,边长为4的正方形有4个,边长为22的正方形有8个,边长为2的正方形有16个,边长为2的正方形有32个,边长为1的正方形有64个,这127个正方形的周长之和为1×4×8+2×4×42+4×4×4+8×4×22+16×4×2+32×4×2+64×4×1=480+2242.故选A.12.D由题意可知,每月还本金2000元,设张华第n个月的还款金额为an元,则an=2000+[480000-(n-1)×2000]×0.4%=3928-8n.故选D.13.1-14nπ依据题意知第一个内切圆的半径为36×3=32,面积为34π,其次个内切圆的半径为34,面积为316π……这些内切圆的面积组成一个首项为14.4由题意,可知良马第n日行程记为an,则数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.∵数列{an}的前n项和为n(数列{bn}的前n项和为n(∴n(179+15整理得14n2+364n-1680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即两匹马在第4日相逢.15.解(1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,Bn=5001+12+1+122+…+1+12n-600=500n-5002n-100.(2)Bn-An=500n-5002n-100-(490n-10n2)=10n2+10n-5002n-100=10n(n+1)-502n-因为数列n(n+1)-502n-10为递增数列,当1≤n≤3时,n(n+1)-502n-10≤12-508-10=-当n≥4时,n(n+1)-502n-10≥20-5016-10=所以当n≥4时,Bn>An,所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利