湖北省鄂州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

湖北省鄂州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．围棋起源于中国，古代称之为“亦”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列计算中，正确的是（）A．a3⋅a=a4 B．(a33．在下列式子中，属于分式的是（）A．2xπ B．3yx C．2a4．一天课间，小轩同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a=15，则DE的长为（）A．100 B．120 C．105 D．1605．一个正多边形的一个内角等于它的外角的3倍，则这个正多边形是正（）边形．A．四 B．六 C．八 D．十6．若(x2+mx+8)(x2−3x+n)的展开式中不包含A．-4 B．3 C．4 D．67．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM=2.5，PN=3.5，A．4 B．5.5 C．6.5 D．78．定义运算“※”：a※b=aa−b(a>b)bb−aA．52 B．52或10 C．109．已知等腰△ABC，AB=AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为50°，则等腰△ABC顶角的度数为（）A．65° B．65°或25° C．50° D．40°或140°10．如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDCA．2.5 B．3 C．4 D．4.5二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．计算：4＝12．若分式x2−1x−113．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是(x−2，2)，此时对应的虚像S'的坐标是(3，y)，则3x−y=14．如图，等边△ABC的边长为12，点D为AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F，连接DF．若△DEF．也是等边三角形，则AD的长．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF；在（1）和（2）的条件下，若∠BAE=15°，则∠AEC=．16．已知关于x的分式方程10x−33−x=k−27x−3−3的解满足2<x<417．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果y2024=．（用含字母18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．三、解答题（本题有8个小题，共66分，解答要求写出文字说明证明过程或计算步骤）19．分解因式：（1）−2x（2）ax20．解分式方程：（1）2x−3（2）2xx+321．先化简，再求值：3−xx2−122．如图，A，D，E三点在同一直线上，AB=AC，∠B=∠CAE，∠BAD=∠ACE．（1）求证：BD=DE+CE；（2）请你探究：当△ABD满足什么条件时，BD∥CE．并证明它．23．“母亲节”前夕，下冯商店根据市场调查，用3000元购进康乃馨盒装花，上市后很快售完，接着又用4200元购进蓝玫瑰盒装花．已知蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元．（1）求康乃馨盒装花每盒的进价是多少元？（2）下冯商店响应习总书记“爱我母亲”的号召，商店决定再次购进康乃馨盒装花和蓝玫瑰盒装花两种盒装花，共1000盒，恰逢花市对这两种盒装花的价格进行调整：康乃馨盒装花每盒进价比第一次每盒进价提高了8%24．在如图所示的6×6的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上．（1）探究一：如图1，作出△ABC关于直线m对称的△A（2）探究二：如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；（3）探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点△ABC边AC上的高BE．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）25．问题情境：定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．（1）特例证明：如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”．∠BAC>90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED于N，求证：NE=AM；（2）拓展运用：如图2，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，且a，（1）a=，b=．（2）连接AB，P为△AOB内一点，OP⊥BP．①如图1，过点O作OC⊥OP，且OC=OP，连接CP，并延长交AB于D．求证：点D为线段AB的中点；②如图2，点M在PO的延长线上，连接BM、AM．若∠MBO=∠ABP，点P(2n，−n)，求：

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、黑白棋子的对称轴不一样，不符合题意；

B、黑白棋子的对称轴不一样，不符合题意；

C、黑白棋子的对称轴一样，符合题意；

D、黑白棋子都不对称，不符合题意.故答案为：C.【分析】平面内，一个图形沿一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合的图形是轴对称图形，据此逐项判断得出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：A、a3B、(aC、a+a=2a，故本选项不合题意；D、a6故答案为：A.【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断B；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、属于单项式，不符合题意；

B、是分式，符合题意；

C、是单项式，不符合题意；

D、是两个单项式组成的多项式，不符合题意.故答案为：B.【分析】如果A、B（B不等于0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB4．【答案】C【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等腰直角三角形

∴AC=CB，∠ACB=90°

∵∠ADC=∠CEB=90°

∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE

∴∠DAC=∠BCE

∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=CB

∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴AD=CE=15×4=60，DC=BE=15×3=45

∴DE=DC+CE=60+45=105故答案为：105.【分析】根据等腰直角三角形的性质得AC=CB，∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，根据AAS判断出△ADC≌△CEB，由全等三角形的性质得CE=AD，DC=BE，进而结合每块砖的厚度及线段的和差可算出DE的值.5．【答案】C【解析】【解答】解：设多边形的外角为x°，可得x+3x=180，

解得x=45；

∵360°÷45°=8

∴该正多边形是正八边形故答案为：C.【分析】根据正多边形的内角和外角之和为180°，列一元一次方程，即可求出外角的度数；根据正多边形的外角和为360°除以外角的度数即可得多边形的边数.6．【答案】B【解析】【解答】解：（x2+mx+8）（x2-3x+n）

=x4-3x3+nx2+mx3-3mx2+mnx+8x2-24x+8n

=x4+(m-3)x3+（8+n-3m）x2+（mn-24）x+8n

∵(x2+mx+8)(x2-3x+n)的乘积中不含x3与x2项，

∴m-3=0，8+n-3m=0，

解得m=3，n=1；

∴mn=31=3故答案为：3.，【分析】根据多项式乘以多项式法则将括号展开，合并同类项化简，再根据两多项式的乘积式中不含x3与x2项，故可令这两项的系数为零，从而列方程，即可求出m和n的值，进而求出mn的值.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上

∴PM=MQ=2.5，PN=NR=3.5

∴QN=MN-MQ=3-2.5=0.5

∴QR=QN+NR=0.5+3.5=4故答案为：A.【分析】根据轴对称的性质，可得PM=MQ=2.5，PN=NR=3.5；根据线段的计算，列代数式即可求出QR的值.8．【答案】D【解析】【解答】解：根据定义，当5＞x时，可得55-x=-1，

解得x=10，与5＞x相矛盾，不存在x；

当5＜x时，可得xx-5=-1，

解得x=52故答案为：D.【分析】根据新的定义，分当5＞x时与当5＜x时两种情况，分别列分式方程，解方程即可.9．【答案】D【解析】【解答】解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，由题意可知∠ADE=50°，如下图；∵DE垂直平分AB

∴BD=AD

∴∠BDE=∠ADE=50°

∴∠A=12（180°-50°-50°）=40°；

②当等腰三角形的顶角为钝角时，由题意可知∠ADE=50°，如下图；

∵DE垂直平分AB

∴∠DEA=90°

∴∠BAC=90°+50°=140°

综上所述，等腰三角形的顶角为40°或140°.

故答案为：D.【分析】根据等腰三角形的性质，顶角分为锐角和钝角进行讨论；根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出顶角的度数；根据三角形的外角性质，亦可求出顶角的度数.10．【答案】B【解析】【解答】解：作点D关于直线l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接E'C和E'D，如下图：∵点D'与点D关于直线l对称

∴BD=BD'=2，D'E'=DE'

∴DD'=4=AD

∵AD⊥BC

∴∠D'=45°

∵直线l⊥BC

∴BE'=BD=2

三角形ADE的周长=AD+AE+ED，当点A、E、D'在一条直线时，AE+ED的最小值为AE'+D'E'=AD'，此时三角形EDC为三角形E'DC，S△DEC=12×2×3=3.

【分析】根据轴对称-两点之间线段最短，可得三角形ADE的周长最小时点E的位置；根据等腰直角三角形性质，可得相应的直角边长；根据三角形的面积公式，即可求出三角形EDC的面积.11．【答案】2【解析】【解答】解：4=2故答案为：2.【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.12．【答案】-1【解析】【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0，解得x＝﹣1.故答案为﹣1.【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.13．【答案】-5【解析】【解答】解：由题意可知，x-2+3=0，y=2

解得x=-1；

∴3x-y=3×（-1）-2=-5故答案为：-5.【分析】关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解题即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：∵三角形ABC和三角形DEF都是等边三角形

∴∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60°

∵DE⊥BC，EF⊥AC

∴∠BDE=30°

∴∠ADF=90°=∠DEB

∵∠ADF=∠DEB，∠A=∠B，DE=DF

∴△ADF≌△BED（AAS）

∴BD=AF，∠AFD=30°

设AD=x，则AF=BD=12-x，

∴12-x=2x，解得x=4，

∴AD=4故答案为：4.【分析】根据等边三角形的性质，可得∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60°；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BD=AF，∠AFD=30°；根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，列一元一次方程，即可求解.15．【答案】70°【解析】【解答】解：设∠EAC=x；

∵线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E

∴AE=EC

∴△AEC是等腰三角形

∴∠EAC=∠ECA=x

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠ABC=∠ACB=x

∴∠BAE=15°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°

∴180°-（15°+x）2=x，解得x=55°；

∴故答案为：70°.【分析】根据等腰三角形的判定和性质，可得∠EAC=∠ECA=x，∠ABC=∠ACB=x；根据三角形的内角和定理，列一元一次方程，即可求出x和∠AEC.

​​​​16．【答案】−7<k<7且k≠0【解析】【解答】解：将分式方程整理可得x=3-k7；

∵2＜x＜4且x-3≠0

∴2＜3-k7＜4且3-故答案为：-7＜k＜7且k≠0.【分析】首先将k作为字母系数解分式方程，用含k的代数式表示x，然后根据分式方程的解的取值范围列不等式组，解不等式组即可.17．【答案】2【解析】【解答】解：第一次运算结果为2xx+1；

第二次运算结果为2×2xx+12xx+1以此类推，……；

第n次运算结果为2nx2n-1x+1；

∴【分析】根据程序运算的结果总结规律，用代数式表示结果即可.18．【答案】2或7或24【解析】【解答】解：①当点P在AC上，点Q在BC上时，如下图：设点P运动时间为t1，则AP=t1，BQ=3t1；

∵△PEC≌△CFQ

∴PC=QC

∴12-t1=16-3t1，

解得t1=2秒；

②当点Q在AC上，点P在BC上时，如下图：

设点P运动的时间为t2，则AC+CP=t2，BC+CQ=3t2；

∵△PEC≌△CFQ

∴PC=QC

∴t2-12=3t2-16，

解得t2=2，不符合题意t2＞12，不存在；

③当点P在AC上，点Q也在AC上时，如下图：

设点P运动的时间为t，则AP=t，BQ=BC+CQ=3t；

要使以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，则点P和Q重合；

此时，PC=CQ，即12-t3=3t3-16，解得t3=7秒；

④当点Q与点A重合，点P在CB上时，如下图：

设点P运动的时间为t4，则AP=AC+CP=t；

∵△PEC≌△CFQ

∴PC=QC

∴t4-12=12，解得t4=24；

综上所述，当点P运动的时间为2或7或24秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等.

故答案为：2或7或24.【分析】根据点P和Q位置的不同，进行分类讨论：①当点P在AC上，点Q在BC上时，②当点Q在AC上，点P在BC上时，③当点P在AC上，点Q也在AC上时，④当点Q与点A重合，点P在CB上时；分别根据三角形全等，对应边相等，列一元一次方程，解方程即可.19．【答案】（1）解：−2=2x(1−=2x(1+x)(1−x)（2）解：a=a(=a【解析】【分析】（1）先提取公因式2x，再用平方差公式进行第二次分解即可；

（2）先提取公因式a，再用完全平方公式进行第二次分解即可.20．【答案】（1）解：22x=x−3，解得：x=−3，经检验，x=−3是原方程的解（2）解：2x4x+2(x+3)=7，解得：x=1经检验，x=1【解析】【分析】（1）解分式方程，先同时乘以x(x-3)去掉等式两边的分母，再移项，合并同类项，最后根据分式分母不为0进行验证即可；

（2）解分式方程，先同时乘以（x+3）（2x+6）去分母，再根据乘法分配律去括号，然后移项，合并同类项，将未知数系数化为1，最后根据分式的分母不为0进行验证即可.21．【答案】解：3−x==−=−x+1∴当x=2时，原式=−【解析】【分析】先根据平方差公式将第一项分式的分母化为两个多项式乘积的形式；根据完全平方公式将第二个分式的分子化为完全平方式；括号内的多项式统分以后，分子合并同类项；然后根据分式的乘法性质进行约分；最后根据分式除法的性质，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数将分式的分子分母位置互换，再进行约分即可化为最简分式；将x的值代入分式即可求解.22．【答案】（1）证明：在△BAD和△ACE中∠B=∠CAEAB=AC∴△BAD≌△ACE(∴AD=CE，BD=AE，∵AE=AD+DE=CE+DE，∴BD=CE+DE（2）解：当∠BDA=90°时，BD∥CE．理由如下：∵∠BDA=90°，∴∠BDE=90°，∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB=∠CED=90°．∴∠BDE=∠CED．∴BD∥CE【解析】【分析】（1）根据ASA判断出△BAD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，BD=AE，根据等量代换原则即可求解；

（2）根据平角得∠BDA=∠BDE=90°；根据三角形全等，对应角相等，得∠ADB=∠CED=90°；根据内错角相等，两直线平行即可解题.23．【答案】（1）解：设康乃馨盒装花每盒的进价是x元/盒，则蓝玫瑰盒装花每盒花的进价是(x−3)元/盒，由题意得：4200x−3解之得：x=10，检验：x=10时，x(x−3)≠0，∴原分式方程的解为：x=10，答：康乃馨盒装花每盒的进价是10元/盒；（2）解：设此次可购买a盒蓝玫瑰盒装花，则购进康乃馨盒装花(1000−a)盒，由题意得：10×(1+8%)(1000−a)+7×0解得a≥6222∵a是整数，∴a最小值等于623，答：下冯商店此次最少要购买623盒蓝玫瑰盒装花.【解析】【分析】（1）根据题中的等量关系，蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元，列分式方程，解方程即可；

（2）根据总费用=购买蓝玫瑰的单价×购买蓝玫瑰的盒数+购买康乃馨的单价×0.9×购买康乃馨的盒数，列不等式，解不等式即可.24．【答案】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△A（2）解：作点A关于直线m对称点A″，连接A″C，交m则△ACP的周长=AC+CP+PA=AC+PC+P∴点P即为所求；（3）解：延长AC交BF于点E，则BE即为所求，如图所示：∵∠ADC=∠BGF=90∘．AD=BG=3，∴△ACD≌△BFG(SAS)，∴∠CAD=∠FBG，∵∠BCE=∠ACD，∴∠BEC=∠ADC=90∴BE⊥AC．BE即为所求△ABC边上的高【解析】【分析】（1）在直角坐标系中，根据网格分别找到点A、B、C关于直线m对称的带你A'、B'、C'，然后依次连接A'、B'和C'即可；

（2）根据轴对称-两点之间线段最短，找到点A关于直线m的对称点A''，连接CA''与直线m的交点即为点P的位置；

（3）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠CAD=∠FBG；根据对顶角相等得∠BEC=∠ACD；根据三角形内角和定理，可得∠BEC=∠ADC=90°，即可解题.25．【答案】（1）证明：将图中角进行命名：，∵△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，∴AB=AC=AD=AE，∠BAC+∠DAE=180∴∠B=∠C，又∵AM⊥BC，AN⊥ED，∴∠3=∠4=90∘，∠1=∠2，∴∠BAC+2∠1=180又∵∠BAC+2∠B=180∴∠B=∠2=∠1，在△ABM和△EAN中，∠3=∠4∴△ABM≌△EAN(AAS)，∴NE=AM（2）解：存在．证明：连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，，∵AD=AB，CD=BC，AC=AC∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠ABC=∠ADC=90∵P是AC的中点，∴PB=PA=PC=12AC∴PA=PB=PC=PD，又∵DC=BC，PB=PD，PC=PC，∴△PDC≌△PBC(SSS)，∴∠DPC=∠BPC，∵∠APB+∠BPC=180∴∠APB+∠DPC=18∴△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”【解析】【分析】（1）根据新定义，可得两个三角形腰相等，顶角之和为180°；根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的底角相等，底边的垂线和中线重合；根据等量代换原则，即可得∠B=∠1=∠2；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，即可得NE=AM；

（2）根据三角形全等的判定（SSS）和性质，即可得∠ABC=∠ADC=90°，∠DPC=∠BPC；根据等量代换原则，可得PA=PB=PC=PD；根据新定义进行判定即可.26．【答案】（1）3；-3（2）证明：①连接AC，如图所示：∵∠COP=∠AOB=90°，∴∠COP−∠AOP=∠AOB−∠AOP，∴∠COA=∠POB，在△OPB和△OCA中，CO=PO∠COA=∠POB∴△OPB≌△OCA(SAS)，∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，过点B作