2024学年福州市长乐一中高二数学上学期第一阶段考试卷附答案解析

学年福州市长乐一中高二数学上学期第一阶段考试卷完卷时间：120分钟，满分：150分单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．若直线x+y﹣1＝0是圆（x﹣m）2+（y﹣1）2＝1的一条对称轴，则m＝（）A．0 B．1 C．2 D．42．“a＝1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x+y＝0互相垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．向量，，且，若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或4．下列命题正确的是（）A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α B．若，则存在唯一的实数λ，使 C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为5．已知正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（）A． B． C． D．6．已知点A（2，﹣3），B（﹣5，﹣2），若直线l：mx+y+m﹣1＝0与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．B． C． D．7．点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时l的直线方程分别为（

）A．； B．；C．； D．；8.边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线l：，则下列结论正确的是（）A．直线l的倾斜角是30°B．过点与直线l平行的直线是C．直线到直线l的距离为D．若直线m：，则l⊥m10．下列说法正确的是（）A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面 B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则 C．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为1，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线 D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，则下列说法中正确的是（）A．长方体外接球的表面积等于7π B．P是线段BD上的一动点，则PA+PB1的最小值等于3 C．点A1到平面点C1BD的距离等于 D．二面角A1﹣BD﹣A的正切值等于2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．两条直线2x+3y﹣k＝0和x﹣ky+12＝0的交点在y轴上，那么k的值是．13．已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为已知P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣4，6），B（5，﹣1），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知ΔABC的顶点为，，，求：（1）边AC上的中线所在直线的方程；（2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.16．(15分)如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求平面A1BD与平面A1DC1的夹角的余弦值．17．（15分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线必过定点M；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值．18.（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．（1）若，，求的斜60°坐标；（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①若，求向量的斜60°坐标；②若，且，求．19.（17）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”．现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍“，如图2．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点；求证：AO∥平面GCF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．2024-2025学年第一学期长乐一中阶段一考试高二年级数学科参考答案第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678AABCDDCD二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCBCDABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．±613．214．10+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）（1）设中点为，所以，即，所以，直线：，即，所以边上的中线所在的直线方程为.（2）由题意得，所以边上高的斜率为-2，所以边上高所在直线的方程为：，即.（3）由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，由（1）得的垂直平分线过点，所以的垂直平分线的方程为：，即.16．（15分）（1）证明：设AB1∩A1B＝F，连接DE，DA，DB1，由题意知，四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，在Rt△ACD中，，在Rt△B1C1D中，，∴DA＝DB1，∵F是AB1的中点，∴AB1⊥DF，∵A1B∩DF＝F，且A1B，DF⊂平面A1BD，∴AB1⊥平面A1BD．（2）解：取BC的中点O，B1C1的中点E，连接AO，OE，则AO⊥BC，OE⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，∴AO⊥平面BCC1B1，又OE⊂平面BCC1B1，∴AO⊥OE，故以O为坐标原点，OB，OE，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，C1（﹣1，2，0），B1（1，2，0），∴，由（2）知平面A1BD的一个法向量为，设平面A1DC1的法向量为，则，取，得x＝﹣3，y＝0，∴，设平面A1BD与平面A1DC1的夹角为α，则cosα＝，∴平面A1BD与平面A1DC1的夹角的余弦值为．17．（15分）（1）证明：因为直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0，即a（x﹣1）+x+y+2＝0，联立，解得x＝1，y＝﹣3，故直线l过定点M（1，﹣3）；（2）解：因为l在两坐标轴上的截距相等，当直线l过原点时，可得a＝2，此时直线l的方程为3x+y＝0；当直线l不过原点时，可得a﹣2＝，解得a＝0，此时直线l的方程为x+y+2＝0，故直线l的方程为3x+y＝0或x+y+2＝0；（3）令y＝0，可得x＝＞0，令x＝0，可得y＝a﹣2＜0，则a＜﹣1，此时S＝|OA||OB|＝××（2﹣a）＝，令t＝a+1，则t＜0且a＝t﹣1，所以S＝﹣×＝（t+﹣6）＝（﹣t﹣）+3×+3＝6，当且仅当﹣t＝﹣，即t＝﹣3，此时a＝﹣2，S取得最小值6．18．（17分）解：（1）∵，∴＝，∴的斜60°坐标为[0，3，5]．（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①＝＝＝＝；②由题，由M＝[2，t，0]，知，由，知：，∴，∴，解得t＝﹣2则＝＝19．解：（1）证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，如图所示：由题意得四边形EBCF为矩形，AG＝EF，则O是EC的中点，∴OH∥EF，且OH＝EF，∴OH∥AG，OH＝AG，∴四边形AOHG是平行四边形，∴AO∥GH，又AO⊄平面GCF，GH⊂平面GCF，∴AO∥平面GCF；（2）建立以E为坐标原点，以EB、EF所在的直线为x轴、y轴，过点E作z轴⊥平面EBCF，如图所示：由图1可知AE⊥EF，EF⊥EB，由二面角的定义可知此时∠AEB即为平面AEF与平面EFB的一个二面角，即∠AEB＝π＝120