高二上学期数学人教A版（2019）期末模拟测试卷B卷（含解析）

高二上学期数学人教A版（2019）期末模拟测试卷B卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C：，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为()A. B. C. D.2.如图，已知点P在正方体的对角线上，.设，则的值为()A. B. C. D.3.已知椭圆E：（）的左焦点为F，过焦点F作圆的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为()A. B. C. D.4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l，l与x轴的交点的横坐标为，称是r的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值．则()A. B. C. D.5.以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为()A.或4 B. C.或4 D.46.数列的前n项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149 B.-49 C.49 D.1497.已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为().A. B. C. D.8.设曲线，过点的直线l与C交于A，B两点，线段的垂直平分线分别交直线和l于点M，N，若，则l的斜率可以为()A. B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x，y满足圆C的方程，则下列说法正确的是()A.圆心，半径为1B.过点作圆C的切线，则切线方程为C.的最大值是D.的最大值是410.已知等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是()A. B. C.为递减数列 D.的前5项和为11.已知函数，对于任意实数a，b，下列结论成立的有()A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足.设点P的轨迹为E，则轨迹E的方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M的方程；（2）写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线，与C的左支分别交于M，N两点，且，，为垂足.（i）证明：直线恒过定点P，并求出点P坐标（ii）判断是否存在定点Q，使得为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标.

答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C的圆心，半径.因为，所以四边形PACB的面积.所以当最小时，S也最小，此时，.故PC的方程为，即.联立，，解得，，即.所以直线AB的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，所以，整理得，解得或，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O，半径为b，，设椭圆E的右焦点为，连接，因为，可知点Q为的中点，且点O为的中点，则，，由椭圆定义可知：，因为Q为切点，可知，则，可得，即，解得，即，所以椭圆E的离心率.故选：A.4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以，，所以过点做曲线的切线的斜率，设该切线为，则，整理得，所以，故选：C.5.答案：A解析：双曲线的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，则，所以，因为点A在圆上，所以，解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得，综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，可得，又，所以是以-1为首项，1为公差的等差数列，所以，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，可化为，即，设，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时的解集为，又因为为偶函数，故的解集为.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设，且（故A选项可排除），联立得，，所以，，，，的斜率为，.因为，所以，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为，C错误；对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，为递减数列，C正确；对于D，，所以的前5项和为，D错误，故选：BC.11.答案：ACD解析：对A，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A选项正确.对B，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B选项错误.对C，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确.对D，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D选项正确.故选：ACD12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q为整数，，，，解得，即，故答案为：512.13.答案：解析：设正方体中棱长为3，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14.答案：解析：设动点，则.又，.化简得，即，动点P的轨迹E的方程为.故答案为：.15.答案：（1）（2）最小值为，.解析：（1）圆M的半径，圆M的方程为.（2）直线l的方程为，，令解得：，定点Q的坐标为.，点Q在圆M的内部，故直线l恒与圆M相交.又圆心M到直线l的距离l被圆M截得的弦长为，当d取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为，此时.16.答案：(1)证明见解析；(2)解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O为的中点，因为E是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则，所以，平面与平面夹角的余弦值为.17.答案：(1)答案见解析(2)当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以，令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以，即存在时，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n项和为，则，，由，得，即．19.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，可得，解得，所以双曲线方程.（2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线