《自动控制原理及其应用》 课件 第2章控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型z2为什么要建立控制系统的数学模型？标题这里输入简单的文字概述这里输入简单文字概述这里输入简单的文字概述这里入简单的文字概述这里输入述简单的文字概述这里输入简单文字概述这里输入简单3目录Contents2.1微分方程2.2传递函数2.3结构图与信号流图2.4用MATLAB处理系统数学模型412.1微分方程要对控制系统进行分析和设计,首先要建立系统的数学模型。描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此可对系统进行性能分析。因此,建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。52.1微分方程2.1.1微分方程的建立2.1.2线性定常微分方程的求解62.1.1微分方程的建立系统构成

一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一定方式连接而成的，系统可以是由一个环节组成的小系统，也可以是由多个环节组成的大系统。对系统中每个（或某些）具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易地列出其微分方程，然后将这些微分方程联立起来，以求出整个系统的微分方程。下面以电学和力学两种基本物理系统为例来说明如何求得描述系统运动的微分方程。72.1.1微分方程的建立微分方程的定义描述自动控制系统输出量各阶导数和系统输入量各阶导数之间关系的数学方程。列写系统微分方程的一般步骤为：（1）确定系统的输入变量和输出变量。（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组。（3）消去中间变量，得到输入变量、输出变量的微分方程。（4）标准化。即将与输入量有关的各项放在等号右边，与输出量有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数归化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。82.1.1微分方程的建立1电学系统在电学系统中，所需遵循的两个基本依据是元件约束和网络约束。（1）元件约束：即表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压和电流关系，以及四端元件互感初、次级电压和电流的关系等。二端元件电阻、电感、电容各自的电压和电流关系如图所示：92.1.1微分方程的建立1电学系统（2）网络约束：由网络结构决定的电压、电流约束关系。以基尔霍夫电压定律（KVL）与基尔霍夫电流定律（KCL）表示。102.1.1微分方程的建立1电学系统112.1.1微分方程的建立1电学系统122.1.1微分方程的建立2力学系统132.1.1微分方程的建立2力学系统142.1.1微分方程的建立上面两个微分方程相似吗？相似不相似AB提交投票最多可选1项162.1.1微分方程的建立同样的数学模型描述了不同类型系统共同的内在特性。172.1.2线性定常微分方程的求解

当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法和拉普拉斯变换法(以下简称拉氏变换)两种，也可借助电子计算机求解。

采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。

本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程的方法，同时分析微分方程解的组成，为今后引出传递函数概念奠定基础。182.1.2线性定常微分方程的求解1.拉氏变换定义192.1.2线性定常微分方程的求解常见函数的拉氏变换202.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换解：例求下列函数的拉氏变换式。21补充知识：拉氏反变换拉氏反变换定义拉氏反变换：由F(s)求f(t)的运算，称为拉氏反变换。22补充知识：拉氏反变换拉氏反变换－部分分式展开法23补充知识：拉氏反变换拉氏反变换－部分分式展开法解：则所以25补充知识：拉氏反变换求其拉氏反变换.结果检查:【随堂练习】26补充知识：拉氏反变换结果检查:【随堂练习】27补充知识：拉氏反变换其中

28补充知识：拉氏反变换解：29补充知识：拉氏反变换【随堂练习】（1）（2）求下列象函数的拉氏反变换结果检查:（1）（2）30补充知识：拉氏反变换实系数方程虚根总是成对出现。当特性方程有虚根时，常采用配方的方法，使F(s)展开式中出现如下形式的部分分式31补充知识：拉氏反变换求其拉氏反变换。解：32补充知识：拉氏反变换求其拉氏反变换。解：

令同原式相比较，由对应项系数相等，得33补充知识：拉氏反变换【随堂练习】求其拉氏反变换结果检查:342.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换的线性定理352.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换的微分定理362.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换的终值定理在第3.6.2.1节给定输入作用下的稳态误差时，还需要使用到终值定理。更多拉氏变换的基本定理见教材表2-1-2。372.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程382.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程392.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程402.1.2线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程4122.2传递函数

根据所得的微分方程求微分方程的时域解，可以获得系统的运动规律。但是，在使用上有诸多不便，如系统内部结构不明确、微分方程求解麻烦等，因而需要寻求在应用上更为方便的数学描述方法。

将系统在时域的微分方程描述简化为变换域的传递函数描述。这样，许多在时域中的问题分析就可以方便地在复频域中进行了。422.2传递函数2.2.1传递函数的定义2.2.2传递函数的表达形式2.2.3典型环节的传递函数2.2.4控制系统的典型传递函数2.2.5传递函数的复数阻抗求解法2.2.6传递函数的性质432.2.1传递函数的定义442.2.1传递函数的定义452.2.1传递函数的定义462.2.2传递函数的表达形式472.2.2传递函数的表达形式482.2.2传递函数的表达形式492.2.2传递函数的表达形式502.2.2传递函数的表达形式512.2.3典型环节的传递函数

自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型，这样，不仅避开了各种实际系统的物理背景，容易揭示控制系统的共性，而且使研究的工作量大为减少。

但是即使只限于各种线性连续系统，要逐一加以研究也是不可能的。因为许多不同性质的物理系统常常有相同的数学模型。但是，要逐一研究数学模型的各种可能形式也是不可能的。

现在的问题是能否找出组成系统数学模型的基本环节，任何线性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的一部分组合而成。如果能找到，就可以研究这些为数不多的基本环节以及一些重要的组合系统。当弄清了这些基本环节的特性后，对任何系统也就容易分析其特性了。

下面先提出线性连续系统的传递函数的一般形式，然后再分析其结构，得到线性连续系统的基本环节。522.2.3典型环节的传递函数532.2.3典型环节的传递函数542.2.3典型环节的传递函数552.2.3典型环节的传递函数562.2.3典型环节的传递函数572.2.3典型环节的传递函数582.2.3典型环节的传递函数592.2.3典型环节的传递函数602.2.3典型环节的传递函数612.2.4控制系统的典型传递函数622.2.4控制系统的典型传递函数632.2.4控制系统的典型传递函数642.2.4控制系统的典型传递函数652.2.4控制系统的典型传递函数662.2.4控制系统的典型传递函数672.2.4控制系统的典型传递函数682.2.4控制系统的典型传递函数692.2.4控制系统的典型传递函数702.2.4控制系统的典型传递函数712.2.4控制系统的典型传递函数722.2.4控制系统的典型传递函数732.2.5传递函数的复数阻抗求解法

拉氏变换是求解线性微分方程的简捷方法。当采用这一方法时，微分方程的求解问题就转化为代数方程和查表求解的问题，从而使计算大为简便，得到了微分方程便可容易地写出其传递函数。对于由电阻、电容、电感组成的无源网络等，在求取其传递函数时可以不通过微分方程、拉氏变换的方法，而直接用复数阻抗法来求。

线性元件的复数阻抗是依据线性元件的V－I关系而成立的。时域上的关系所遵循的是欧姆定律，在变换域中也有相同的形式。可以把复数阻抗所遵循的V－I关系称为广义欧姆定律，而且符合传递函数的定义。742.2.5传递函数的复数阻抗求解法752.2.5传递函数的复数阻抗求解法762.2.5传递函数的复数阻抗求解法首先绘制复数阻抗时的电路图772.2.5传递函数的复数阻抗求解法782.2.5传递函数的复数阻抗求解法792.2.5传递函数的复数阻抗求解法802.2.5传递函数的复数阻抗求解法812.2.5传递函数的复数阻抗求解法822.2.6传递函数的性质832.2.6传递函数的性质同样的数学模型描述了不同类型系统共同的内在特性。842.3结构图与信号流图

控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。

与结构图相比,信号流图符号简单,更便于绘制和应用,特别在系统的计算机模拟仿真研究以及状态空间法分析设计中,信号流图可以直接给出计算机模拟仿真程序和系统的状态方程描述,更显示出其优越性。但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线性系统。852.3结构图与信号流图2.3.1结构图的组成与一般画法2.3.2结构图的等效变换与简化2.3.3信号流图的组成与一般画法2.3.4梅逊增益公式862.3.1结构图的组成与一般画法872.3.1结构图的组成与一般画法882.3.1结构图的组成与一般画法892.3.1结构图的组成与一般画法902.3.1结构图的组成与一般画法912.3.1结构图的组成与一般画法922.3.1结构图的组成与一般画法932.3.1结构图的组成与一般画法942.3.1结构图的组成与一般画法952.3.1结构图的组成与一般画法962.3.1结构图的组成与一般画法972.3.2结构图的等效变换与简化982.3.2结构图的等效变换与简化992.3.2结构图的等效变换与简化1002.3.2结构图的等效变换与简化串联相乘1012.3.2结构图的等效变换与简化1022.3.2结构图的等效变换与简化并联相加/减1032.3.2结构图的等效变换与简化1042.3.2结构图的等效变换与简化1052.3.2结构图的等效变换与简化1062.3.2结构图的等效变换与简化1072.3.2结构图的等效变换与简化1082.3.2结构图的等效变换与简化1092.3.2结构图的等效变换与简化1102.3.2结构图的等效变换与简化1112.3.2结构图的等效变换与简化1122.3.2结构图的等效变换与简化1132.3.2结构图的等效变换与简化1142.3.2结构图的等效变换与简化1152.3.2结构图的等效变换与简化1162.3.3信号流图的组成与一般画法1172.3.3信号流图的组成与一般画法1182.3.3信号流图的组成与一般画法1192.3.3信号流图的组成与一般画法1202.3.4梅逊增益公式1212.3.4梅逊增益公式1222.3.4梅逊增益公式1232.3.4梅逊增益公式1242.3.4梅逊增益公式由图可知，第1条前向通道的节点删掉后，没有能构成回路的节点，即所有的回路都与第1条前向通道接触。去除掉特征式里与第1条前向通道接触的回路，得去掉1252.3.4梅逊增益公式由图可知，第2条前向通道的节点删掉后，只剩1个回路。去除掉特征式里与第2条前向通道接触的回路，得去掉1262.3.4梅逊增益公式建议用梅逊增益公式的时候先把动态结构图化为信号流图，这样不容易出错。下面简单介绍一下将动态结构图化为信号流图的方法：

动态结构图的引出点和比较点当作节点。

注意：不要随意合并或交换相邻的节点位置，因为合并和交换规则较复杂，建议动态结构图的引出点和比较点简单替代为节点后连线，这样不容易出错。2.4用MATLAB处理系统数学模型2.4.1建立模型对于简单系统，可以直接采用基本模型“传递函数”进行建模，但实际系统较为复杂，通常由几个简单系统连接而成，常见连接方式为并联、串联、闭环和反馈。下面介绍采用这些连接方式的系统传递函数的MATLAB求法。1．并联将两个系统

和

按并联方式连接，在MATLAB中可用parallel函数实现，其调用格式为[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)式中，

，

，

。例

已知两个子系统为

，

，采用并联方式连接，请用MATLAB求解。解

输入以下MATLAB程序num1=3;den1=[1,4];num2=[2,4];den2=[1,2,3];[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)运行结果为num/den=5s^2+18s+25-----------------------s^3+6s^2+11s+12因此，系统的传递函数为

2．串联将两个系统

和

按串联方式连接，在MATLAB中可用series函数实现，其调用格式为[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)式中，

，

，

。3．闭环（单位反馈）将系统通过正负反馈连接成单位反馈系统，即

，

（式中“+”号对应负反馈，“

”号对应正反馈），在MATLAB中可用cloop函数实现，其调用格式为[num,den]=cloop(numg,deng,sign)式中，

；

；sign表示反馈形式，为可选参数，

sign=1为正反馈，

为负反馈，sign缺省时系统自动默认为负反馈。4．反馈将两个系统

和

按反馈方式连接成闭环系统，即

（式中“+”号对应负反馈，“

”号对应正反馈），在MATLAB中可用feedback函数实现，其调用格式为[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中，

，

，

，sign的意义与cloop相同。例

已知两个子系统为